第2卷 函数及其性质（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第2卷 函数及其性质 （学生练习卷） 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 6．已知函数，则的值是（    ） A． B．6 C．1 D．0 7．定义在上的函数，满足对，，，有成立，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上是减函数，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是奇函数，若，则（    ） A．7 B．4 C． D． 10．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 12．已知偶函数在区间上是减函数，则与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题 13.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为 . 14．已知函数满足，且函数关于中心对称，，则 . 15．定义在上的奇函数，则常数，的值分别为 . 16．设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 17．若任意，是奇函数，则的解集为 . 18．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图正确的是 .（填序号） 三、解答题 19．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比x应在什么范围内？ 20．二次函数的顶点坐标为，且图像过点. (1)求二次函数的解析式； (2)若二次函数在区间上是减函数，求的取值范围. 21．已知二次函数的图像如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若函数为偶函数，求的值. 22．设函数（且）对任意非零实数，恒有 ，且对任意，． (1)求及的值． (2)判断函数的奇偶性． (3)求不等式的解集． 23．已知二次函数在区间上是增函数，在区间上是减函数. (1)求实数的值，并写出二次函数的解析式； (2)若对一切实数均成立，求实数的取值范围. 24.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第2卷 函数及其性质 （学生练习卷） 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式列出不等式组求解. 【详解】由题意得解得且， 故函数的定义域是. 故选：D. 2．若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的概念求出，然后解不等式即可. 【详解】由函数是奇函数知， 则，即，. 因为，即， 可化为，等价于， 得到， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 3.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合反比例函数的图象，及图象平移的规律，即可求解. 【详解】函数的图象，是将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到； 又由于函数图象关于原点中心对称， 所以图像关于中心对称， 所以C正确. 故选：C. 5．函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据与奇偶性确定函数的周期，再分别求出和使其相加即可. 【详解】由，且是定义在上的奇函数， 可得，即， 所以， 即函数是周期为的奇函数， 又，则， 所以，， 所以， 故选：D. 6．已知函数，则的值是（    ） A． B．6 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令得代入函数解析式求解即可. 【详解】令得， 又函数， 所以. 故选：B. 7．定义在上的函数，满足对，，，有成立，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用减函数的定义得出函数在上为减函数，结合题意列出不等式组即可得解. 【详解】由于在上满足， 因此在上为减函数， 又， 则即，解得， 所以的取值范围是， 故选：. 8．若函数在区间上是减函数，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性即可得解. 【详解】选项A，当时，，则； 但当时，，则，因此该式不恒成立； 选项B，，当或时，，则； 但当时，，则，因此该式不恒成立； 选项C, ，当时，， 则，因此该式不恒成立； 选项D，，即， 则，因此该式恒成立. 故选：D. 9．已知函数是奇函数，若，则（    ） A．7 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可得出结果. 【详解】奇函数性质， 所以， 故选:C. 10．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为偶函数，不等式可转化为，又由在区间上单调递增，进而可得，解绝对值不等式可求解. 【详解】函数为偶函数， ， 等价于， 在区间上单调递增， 函数在区间上单调递减， 于是有：， ， 即。 故选：C 11．下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由常见的基本初等函数的单调性，奇偶性判断即可. 【详解】A选项，二次函数是非奇非偶函数，在上是减函数，在上是增函数，故A错误； B选项，函数是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故B正确； C选项，指数函数是非奇非偶函数，故C错误； D选项，函数是奇函数，故D错误. 故选：B. 12．已知偶函数在区间上是减函数，则与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】因为函数是偶函数，则, 又因为偶函数在区间上是减函数， 则函数在区间上是增函数， 所以，则. 故选：B. 二、填空题 13.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 14．已知函数满足，且函数关于中心对称，，则 . 【答案】5 【分析】根据函数的周期性，奇偶性即可求解. 【详解】由可知的对称轴为直线关于中心对称， 故关于原点对称即为奇函数，所以，， 则，得， 所以，所以周期为， 则. 故答案为：. 15．定义在上的奇函数，则常数，的值分别为 ． 【答案】0；0. 【分析】根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以. 且，解得. 故答案为：0；0. 16．设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质以及函数的单调性来求解的取值范围. 【详解】为定义在上的奇函数，且在区间上单调递减， 因为奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以在上单调递减， 若，则，即， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．若任意，是奇函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得到，再求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，经验证满足奇函数的定义， 所以，即，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 18．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图正确的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】根据，知道图像的第一段应为正比例函数模型，到达目的地后游玩了一段时间即第二段应为常值函数，原路返回匀速行驶了即第三段应为一次函数模型且呈下降趋势，再折回匀速前进，即第四段又为上升趋势. 【详解】注意理解两坐标轴，的含义，这里是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合． 【点睛】本题考查函数图像的识别，根据实际问题中距离与时间的关系选出合适的函数图像，属于基础题. 三、解答题 19．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比x应在什么范围内？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据年利润公式进行分析得到解析式求解即可. （2）根据（1）的解析式列不等式求解即可. 【详解】（1）因为每辆车投入成本增加的比例为x，所以成本为. 因为出厂价相应地提高比例为0.75x，所以出厂价为. 因为预计年销售量增加的比例为0.6x，所以年销售量为. 根据年利润公式，，， 整理得：， （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须， 即，． 解得，所以投入成本增加的比例应在范围内． 20．二次函数的顶点坐标为，且图像过点. (1)求二次函数的解析式； (2)若二次函数在区间上是减函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的顶点式方程，将点的坐标代入求解即可； （2）根据二次函数的单调性，分析求解即可. 【详解】（1）因为二次函数的顶点坐标为， 所以设二次函数为， 又二次函数过点，代入二次函数解析式， 解得， 所以. （2）由（1）知二次函数的图像开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上是减函数，所以， 因此的取值范围为. 21．已知二次函数的图像如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若函数为偶函数，求的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据图像得到函数的零点为，设出函数的解析式，再根据截距为，求解即可. （2）利用二次函数为偶函数，可求解析式，进而求解. 【详解】（1）根据图像得到函数的零点为，故设， 将点代入，得，解得， 所以，即. （2）， 因为为偶函数，所以，所以， 故，所以. 22．设函数（且）对任意非零实数，恒有 ，且对任意，． (1)求及的值． (2)判断函数的奇偶性． (3)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)函数为偶函数 (3) 【分析】（1）利用赋值法，对，赋值，即可求解. （2）利用赋值，通过函数的奇偶性的定义，即可求解. （3）判断函数的单调性，然后转化不等式，即可求解. 【详解】（1）对任意非零实数，恒有， 所以令，代入， 可得， 又令，代入， 可得，即. （2）取，，代入， 得， 又函数的定义域为， 所以函数为偶函数. （3）任取，，且，则， 由题设有， 所以， 所以，即函数在上为单调递减函数， 由（2）得函数是偶函数， 所以， 解得：或， 所以解集为：. 23．已知二次函数在区间上是增函数，在区间上是减函数. (1)求实数的值，并写出二次函数的解析式； (2)若对一切实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知，对称轴为，利用对称轴公式求出，进而写出的解析式. （2）由一元二次不等式恒成立，列不等式求出即可. 【详解】（1）二次函数， 该二次函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 所以该二次函数对称轴为， 即，解得， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）可得， ，即， 整理得， 若对一切实数均成立， 即对一切实数均成立， 可得，解得. 所以实数的取值范围. 24.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程的两根一正一负可以用和两根之积小于0判断解决. （2）当时，不等式恒成立，就是，由得整理不等式求解即可. 【小问1详解】 设方程有一正根和一个负根， 则 ， 解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时,不等式恒成立， 即， 因为， 所以，， 而，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $