第2卷 函数及其性质（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第2卷 函数及其性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 二、函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 三、函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 四、函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 五、函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 六、二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 【真题精讲】 考点01 函数的概念 1.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 2.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 考点02 函数的图象与性质 3.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 4.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 5.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 考点03 函数的综合应用 7.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 8.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 9.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【举一反三】 1.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是 . 2.（2021·内蒙古·真题T02）函数，已知，则=（ ） A. B. C. D. 2 3.（2021·内蒙古·真题T16）函数的定义域是 . 4.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 5.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（24-25高三下·四川·职教高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（    ） A． B． C． D． 8.已知定义在R上的函数是奇函数，满足：，则=（    ） A． B． C． D．5 9.设函数对任意实数，都有，那么（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知二次函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，函数有最小值，求的值. 11.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【拓展提升】 1．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（20-21高三·江西·职教高考）已知函数，则 . 4．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）函数的定义域是 . 5．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）函数的定义域是 . 6．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意实数x有，若函数的图像关于直线对称，且，则 . 7．（23-24高三·四川自贡·二模）已知函数为奇函数,,若,则 . 8．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的最小值为4，函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)设函数若，求的取值范围. 9．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知二次函数的图像过点，且的解集． (1)求的解析式； (2)若，求函数的值域. 10．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知二次函数满足． (1)若为偶函数，求的解集． (2)若函数在上最小值为，求实数的值． 11．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图像的顶点在直线上. (1)求函数的解析式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 12.（2021·内蒙古·真题T22）已知函数的图象过原点，且 （1）求解析式 （2）若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第2卷 函数及其性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 二、函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 三、函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 四、函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 五、函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 六、二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 【真题精讲】 考点01 函数的概念 1.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 2.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 考点02 函数的图象与性质 3.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 4.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 5.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 6.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 考点03 函数的综合应用 7.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 8.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 9.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不定点的定义，将两个定点代入函数即可求解 （2）根据两个相异的不动点转换成，由此构造成不等式，结合函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即， 解得． 所以，. 【小问2详解】 函数总有两个相异的不动点， 即关于x的方程有两个不等根， 化简得到， 所以，即， 由题意，关于b的不等式恒成立，所以． 解得：． 【举一反三】 1.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】 【分析】由求具体函数的定义域的解法求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，解得， 即函数的定义域是， 故答案为:. 2.（2021·内蒙古·真题T02）函数，已知，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接将代入得到得值，再直接运算，即得到结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：. 3.（2021·内蒙古·真题T16）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域、对数的相关运算和负指数幂的意义即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且. 故答案为：. 4.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的概念及二次函数的性质求解． 【详解】由题意，函数的定义域关于原点对称，则，得，∴， ∵是偶函数，∴它的图像关于对称， ∴，即，∴． 故选：A． 5.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． 6.（24-25高三下·四川·职教高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根底数为非负，且分母不为零，即可解得. 【详解】要使函数有意义，则， 即，所以函数的定义域为. 故选：B 7．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【详解】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 因为， 所以 . 故选：D. 8.已知定义在R上的函数是奇函数，满足：，则=（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，再根据，求得，即可求解. 【详解】因为在R上是奇函数， 故，得到. 且，，. 得到，而， 则，所以. 即. 故选：D. 9.设函数对任意实数，都有，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得函数关于轴对称，再由二次函数的单调性判断大小即可. 【详解】函数对任意实数，都有， 所以二次函数的对称轴为，且， 函数图象开口向上，在对称轴左侧单调递减， 因为，所以， 即． 故选：A. 10．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知二次函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，函数有最小值，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设，根据题意列方程组可得a， b， c的值，进而得解； （2）表示出，利用二次函数的性质可得关于m的方程，解出即可. 【详解】（1）设二次函数，则 ， 所以， 又因为，所以，所以， 所以. （2）由（1）得，又因为， 由二次函数的性质可得函数的对称轴为，且在上单调递增， 所以， 解得. 11.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程的两根一正一负可以用和两根之积小于0判断解决. （2）当时，不等式恒成立，就是，由得整理不等式求解即可. 【小问1详解】 设方程有一正根和一个负根， 则 ， 解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时,不等式恒成立， 即， 因为， 所以，， 而，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围为. 【拓展提升】 1．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】根据偶函数的概念及二次函数的性质求解． 【详解】由题意，函数的定义域关于原点对称，则，得，∴， ∵是偶函数，∴它的图像关于对称， ∴，即，∴． 故选：A． 2．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先代入自变量，求得，再根据奇函数的性质，求得. 【详解】当时，. ∵是定义在R上的奇函数，∴，即. 故选：A. 3．（20-21高三·江西·职教高考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可得解. 【详解】因为函数 所以. 故答案为：. 4．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于，分母不等于，以及真数大于，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 5．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由求具体函数的定义域的解法求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，解得， 即函数的定义域是， 故答案为:. 6．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意实数x有，若函数的图像关于直线对称，且，则 . 【答案】0 【分析】首先根据求出函数的周期，再根据图像平移的性质求出函数的奇偶性，再根据函数的周期以及奇偶性求解即可. 【详解】由函数的图像关于直线对称可知，函数的图像关于y轴对称，故为偶函数． 由，得，所以是周期的偶函数， 所以． 故答案为：0. 7．（23-24高三·四川自贡·二模）已知函数为奇函数,,若,则 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性即可得解. 【详解】因为. . 解得. 因为函数为奇函数,. 所以. 所以. . 故答案为:. 8．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的最小值为4，函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)设函数若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求出的值，再由二次函数最值的公式列方程求出的值. （2）根据对数函数单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）已知函数， 则 即， 因为为偶函数， 所以， 即，所以， 又因为函数的最小值为4， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可知，， 则，因为， 所以若，则， 又在为减函数， 所以，即， 解得，所以的取值范围为. 9．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知二次函数的图像过点，且的解集． (1)求的解析式； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的解析式，将已知点代入并结合二次不等式的解集，利用韦达定理，即可求解； （2）结合二次函数的图像和性质，即可求得函数在给定区间上得最值，继而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意，设二次函数解析式为，， 因为函数的图像过点，得到， 又的解集，所以1和3是方程的两个根， 所以，解得， 所以的解析式为； （2）由（1）知， 所以函数图像开口向下，对称轴为， 又，所以当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即； 所以时，函数的值域是. 10．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知二次函数满足． (1)若为偶函数，求的解集． (2)若函数在上最小值为，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由为偶函数解得，再解一元二次不等式即可求解. （2）讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，结合已知条件即可求得实数的值. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 即，所以，即，所以， 则，解得或，所以的解集为或. （2）由题意得为二次函数，且其图象开口向上，对称轴为直线. 当，即时，在上单调递增， 所以，解得. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 解得，（不合题意，舍去）. 当，即时，在上单调递减， 所以，解得. 综上所述，实数的值为. 11．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图像的顶点在直线上. (1)求函数的解析式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将二次函数化为顶点式，表示出顶点坐标，再将顶点坐标代入直线方程中即可求出的值. （2）令，再由的单调性表示出最小值，使其最小值大于0，列不等式求解即可. 【详解】（1）， 顶点的坐标为， 又顶点在直线上， 得， 函数的解析式为. （2）若时，不等式恒成立 即若时，不等式恒成立 令 当时，即时，在上符合题意 当时，即时，， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 12.（2021·内蒙古·真题T22）已知函数的图象过原点，且 （1）求解析式 （2）若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，进而求解即可. （2）利用二次函数在给定区间的最值求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图像过原点，且 即函数的对称轴 . 所以解得. 所以. 【小问2详解】 由可得. 令函数，则函数图像开口向下，对称轴为. 又因为 所以当时，函数取得最小值. 所以. 所以m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $