第05讲 勾股定理的逆定理及其应用（3个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第05讲 勾股定理的逆定理及其应用 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 【知识点2 勾股数】 1.定义：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数：如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 【知识点3 勾股定理的逆定理的实际应用】 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： ①构建几何模型(从整体到局部)； ②标注有用信息，明确已知和所求； ③应用数学知识求解. 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理， 使用勾股定理判断每组边长是否能构成直角三角形，即检查两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①∵，∴不能构成直角三角形； ②∵，则，∴不能构成直角三角形； ③∵，∴能构成直角三角形； ④∵，∴能构成直角三角形. ∴只有③和④两组能构成直角三角形. 故选：B． 【变式1-1】五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形． 【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形； ∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形． ∴①②③④都是直角三角形，共4个， 故选：D． 【变式1-3】已知实数a，b，c满足． (1)求实数a，b，c的值． (2)以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)能构成直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，二次根式的乘方运算，勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的值； （2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：以a，b，c为边能构成直角三角形，理由如下： ∵ ∴， ∴， ∴以a，b，c为边能构成直角三角形． 【题型2 勾股数问题】 【例2】有下列说法： ∵，，不是勾股数，∴三边长分别为，，的三角形不是直角三角形； ∵三边长分别为，，的三角形是直角三角形，∴，，是勾股数； 若整数，整数，整数分别是直角三角形的三边长，则，，必定不是勾股数． 其中错误的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】由，，不是勾股数，但三边长分别为，，的三角形能构成直角三角形，故错误； 三边长分别为，，的三角形是直角三角形，但不是正整数，∴，，不是勾股数，故错误； 若整数，整数，整数分别是直角三角形的三边长，则，，可能是勾股数，故错误； 故选：A． 【变式2-1】观察下列各组勾股数有哪些规律： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 …… a，b，c 请解答： (1)当a=11时，求b，c的值； (2)判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】(1)b=60、c=61 (2)是勾股数，理由见解析 【分析】（1）观察各组勾股数可得b+1=c，当时，再结合即可求解； （2）只需求出，看结果是否等于即可求解． 【详解】（1）解：由，，， 得． 解得，； （2）是勾股数， 理由如下： 又， ， ，220，221是勾股数． 【变式2-2】已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数：当为奇数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，____，____；当为偶数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ， ____，____； (2)若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 【答案】(1)，；，； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股定理的逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：当为奇数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，，； 当为偶数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，，； 故答案为：，；，； （2）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴不论为何值，，，都是勾股数组． 【题型3 网格中判断直角三角形】 【例3】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【变式3-1】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   设网格中每个小正方形的边长为，连接, 由图可知，, , , , , , ; 综上，共有个格点使得． 故选：C． 【题型4 利用勾股定理逆定理在网格中求角的度数】 【例4】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式4-1】如图在的网格中， 【答案】45 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线． 连接，证明得，根据平行线的性质得出，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：45． 【变式4-2】如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 【例5】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【变式5-1】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】(1) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． (3) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， 故是直角三角形． （2）解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 【变式5-2】某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)乙船沿北偏西方向航行 (2)有小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，等腰三角形三线合一的性质，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理逆定理得出，再根据角的和差关系即可得出，进而可求解． （2）过点O作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 【变式5-3】如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【题型6 勾股定理与其逆定理的综合运用】 【例6】如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 【变式6-1】如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． 【变式6-2】如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可证，得到，设点到的距离为，由等积法即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 【变式6-3】如图，在四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积； (2)连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求出四边形面积即可； （2）过点作交的延长线于点，证明，可得，，，再根据勾股定理求出的长即可． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，把四边形的面积分解成两个直角三角形的面积来求是解本题的关键所在． 【详解】（1）解：连接，如图， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ； （2）如图，过点作交的延长线于点，则， 是直角三角形，， ， ， ， ， ∵， ， ，． ， ， ， ． 1．下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，； ，，； ，，； ，，； ，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 3．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点A到直线的距离是为h，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：， ， 为直角三角形，， 设点A到直线的距离是为h， ， ， ， ∴点A到直线的距离是2， 故选：B． 5．已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 6．如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1)30 (2)16 【分析】本题考查勾股定理逆定理，用勾股定理解三角形，三角形面积的计算； （1）先根据题干中所给出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，再根据直角三角形的两条直角边，计算出三角形的面积； （2）首先根据边长关系判断不是直角三角形，过点A作于点D，根据列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴. （2）解：∵，，， ∴， ∴不是直角三角形，如图， 过点A作于点D， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【详解】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 8．如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上． (1)四边形的周长为 ，面积为 ． (2)直接写出的边上的高的长度为 ． (3)若是以为斜边的直角三角形，且构成的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点共有 个，请在图中画出满足条件的一个． 【答案】(1)；18 (2) (3)4，图见解析 【分析】此题考查了无理数的概念、勾股定理以及逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用方法． （1）先分别求出、、、的长，即可求出四边形的周长，用面积分割法即可求出四边形的面积； （2）设边上的高为h，先用等面积法表示出的面积，再由勾股定理求出，即可求解； （3）根据勾股定理找到满足条件的格点E即可，并判断各边是无理数． 【详解】（1）解：由图可得：，，，， ∴ 四边形的周长； ∴ 四边形的面积； 故答案为：；18； （2）解：设边上的高为， ∴的面积， ∴， ∴的面积， 解得， ∴的边上的高为， 故答案为：； （3）解：如图所示， 由（1）得： ， ∴，， ∴， ∴为三边都为无理数的直角三角形，同理可证：、、为直角三角形； ∴ 满足条件的格点有4个，如图即为所求． 故答案为：4，如图即为所求． 9．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 【答案】(1) (2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析 (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。 （1）观察表格可知，（，且为整数），据此根据b的值求出m的值，进而求出a的值即可； （2）分别令的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可； （3）根据可知若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论． 【详解】（1）解：观察表格可知，（，且为整数）， ∴当时，则， ∴， ∴； （2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下： 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71； （3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下： 对于一组数：，，（，且为整数）．       ∵ ∴若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形． ∵当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数， ∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 10．如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 勾股定理的逆定理及其应用 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 【知识点2 勾股数】 1.定义：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数：如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 【知识点3 勾股定理的逆定理的实际应用】 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： ①构建几何模型(从整体到局部)； ②标注有用信息，明确已知和所求； ③应用数学知识求解. 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式1-1】五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】已知实数a，b，c满足． (1)求实数a，b，c的值． (2)以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【题型2 勾股数问题】 【例2】有下列说法： ∵，，不是勾股数，∴三边长分别为，，的三角形不是直角三角形； ∵三边长分别为，，的三角形是直角三角形，∴，，是勾股数； 若整数，整数，整数分别是直角三角形的三边长，则，，必定不是勾股数． 其中错误的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】观察下列各组勾股数有哪些规律： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 …… a，b，c 请解答： (1)当a=11时，求b，c的值； (2)判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【变式2-2】已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数：当为奇数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，____，____；当为偶数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ， ____，____； (2)若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 【题型3 网格中判断直角三角形】 【例3】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【题型4 利用勾股定理逆定理在网格中求角的度数】 【例4】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【变式4-1】如图在的网格中， 【变式4-2】如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【变式4-3】如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 【例5】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 【变式5-1】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【变式5-2】某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【变式5-3】如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【题型6 勾股定理与其逆定理的综合运用】 【例6】如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【变式6-1】如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【变式6-2】如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【变式6-3】如图，在四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积； (2)连接，求的长． 1．下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，； ，，； ，，； ，，； ，，． A．组 B．组 C．组 D．组 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 5．已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为 ． 6．如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 7．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 8．如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上． (1)四边形的周长为 ，面积为 ． (2)直接写出的边上的高的长度为 ． (3)若是以为斜边的直角三角形，且构成的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点共有 个，请在图中画出满足条件的一个． 9．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 10．如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $