分段函数-黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》第15卷 教师讲解卷

编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第15卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第15卷 分段函数 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知函数则的值等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．2 B． C．0 D． 4．已知函数则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 6．已知函数，若，则实数a的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 7．已知，则的值为（    ） A．7 B．3 C． D．4 8．已知函数，则等于（    ） A．2 B． C． D． 9．已知函数，则（   ） A． B．10 C． D．28 10．已知函数则（    ） A．2 B． C．1 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知函数，则 ． 12．已知函数则 . 13．设，则 . 14．若，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．分段函数的图像如图所示，写出函数的解析式． 16．已知函数 (1)画出的图象，写出单调递增区间； (2)求的解集. 17．设 (1)写出函数的定义域； (2)求与的值； (3)作出函数的图像．   18．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，在讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.用表示学生接受和掌握概念的能力（的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），则有以下关系式： (1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)一道数学难题，需要55的接受能力以及13min 的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第15卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第15卷 分段函数 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知函数则的值等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求分段函数值时，根据分段函数定义，的不同取值对应不同的对应法则． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义域求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数的定义域是. 故选:C. 3．已知函数，则（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据自变量的范围代入相应的函数式中，由内到外求值可求解. 【详解】， . 故选：B 4．已知函数则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义域判断对应法则，分别求出函数值即可. 【详解】∵ ∴，，， ， 故选:A． 5．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得出结果，但必须主要x的取值范围. 【详解】由已知得， 则， 故选：D. 6．已知函数，若，则实数a的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由函数的解析式分类讨论代入求值即可. 【详解】当时，由，该方程无实根； 当时，，显然符合. 故选：B. 7．已知，则的值为（    ） A．7 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】因为，将带入分段函数解析式中即可得解. 【详解】已知，因为，所以. 故选：. 8．已知函数，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量求解. 【详解】由函数，， 则. 故选：C． 9．已知函数，则（   ） A． B．10 C． D．28 【答案】C 【分析】由分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】由题意得， . 故选：C. 10．已知函数则（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据函数的周期性，指数幂的运算，分段函数的概念即可求解. 【详解】当时，，故当时，为周期函数，且周期为1， 所以. 又当时，，所以，所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知函数，则 ． 【答案】5 【分析】根据自变量的范围，代入相应的函数式中，先内后外计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：5 12．已知函数则 . 【答案】4 【分析】根据分段函数的性质求. 【详解】由题意知，， 当时，， ∴. 故答案为：4. 13．设，则 . 【答案】 【分析】根据解析式代入求值即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 14．若，则 ． 【答案】5 【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答. 【详解】因函数，所以. 故答案为：5 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．分段函数的图像如图所示，写出函数的解析式． 【答案】 【分析】由于图像是由两条端点重合在点的射线组成的，函数是分段函数，自变量取值分成两个区间，所以函数的解析式有两部分．并且每一部分的解析式都是一次函数． 【详解】解： 当时，图像过点， 故一次函数的表达式为； 当时，图像过点， 故一次函数的表达式为． 所以所求分段函数为. 16．已知函数 (1)画出的图象，写出单调递增区间； (2)求的解集. 【答案】(1)图象见解析，单调增区间为和； (2). 【分析】（1）根据分段函数的函数解析式可得函数的图象，由图象可得函数的单调增区间； （2）根据函数的解析式分段解不等式即得. 【详解】（1）因为， 可得函数的图象， 由图像可知单调增区间为和； （2）当时，由，解得， 当时，由，解得， 所以的解集为. 17．设 (1)写出函数的定义域； (2)求与的值； (3)作出函数的图像． 【答案】(1) (2)， (3)图像见详解. 【分析】（1）根据分段函数的解析式即可求解定义域. （2）根据x的值代入对应的函数解析式即可求解. （3）由分段函数解析式作出对应的函数图像即可. 【详解】（1）因为函数为， 所以的定义域为. （2）因为，所以， 因为，所以. （3）作出函数图像如图所示:    18．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，在讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.用表示学生接受和掌握概念的能力（的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），则有以下关系式： (1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)一道数学难题，需要55的接受能力以及13min 的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题? 【答案】(1)开讲10min 后，学生达到最强接受能力，能维持6 min. (2)老师来不及在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题. 【分析】（1）先求分段函数每一段的最值，再综合求最大值. （2）分类讨论，在不同定义域内取，解出的值，进而判断是否能够完成. 【详解】（1）由题意， 当时，， 故当时，函数单调递增，故其最大值为 . 当时，. 当时，单调递减，且. 因此，开讲10min 后，学生达到最强接受能力，能维持6 min. （2）当时，令，解得或， 因为，所以舍去， 当时，令，解得. 因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为. 故老师来不及在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $