充要条件-黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》第3卷 教师讲解卷

编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第3卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第3卷 充要条件 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由可得到，充分性成立， 但，可得到，推不出，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．甲：是整数，乙：是自然数，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念分析即可. 【详解】因为自然数集是整数集的真子集，所以甲推不出乙，故充分性不成立， 但乙能推出甲，故必要性成立， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选:B． 3．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出集合A，B，再根据充分与必要条件进行判断. 【详解】由题知， 或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A． 4．设甲：是等腰三角形，乙：是等边三角形，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】等腰三角形包括等边三角形，所以“如果是等腰三角形，那么得不到是等边三角形”，故充分性不成立， “如果是等边三角形，那么是等腰三角形”成立，故必要性成立， ∴甲是乙的必要不充分条件． 故选:B. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】由，解得或，所以必要性不成立. “”可以推出 “”，所以充分性成立. 所以“”是“”充分不必要条件. 故选:A． 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解方程，再判断充分条件与必要条件. 【详解】解得或， 能推出，而不能推出，因为还可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程以及充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】当方程表示椭圆时，必有所以且； 但当3时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆． 所以“”不能推出“方程表示椭圆”， “方程表示椭圆”可以“”， 所以”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 8．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】对于A，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故A错误； 对于B，，则不能推出；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故B错误； 对于C，或能推出；能推出或， 故条件p是结论q的充要条件，故C正确； 对于D，不能推出，如；而能推出， 故条件p是结论q的必要不充分条件，故D错误， 故选：C. 9．成等差数列是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等差中项和对数运算求解即可. 【详解】若成等差数列， 则有，即，， 且，，， 成等差数列是成立的充分条件； 若，但，，则不存在， 推不出成等差数列， 则成等差数列是成立的不必要条件； 综上，成等差数列是成立的充分不必要条件. 故选：A. 10．“”是“函数在R上为增函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数型复合函数的单调性及充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为函数为指数型复合函数，在上为增函数，则，即， 故时，为增函数，充分性成立， 但为增函数即，推不出，故必要性不成立. 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．是的 条件（填“充分”，“必要”，“充要”）． 【答案】必要 【分析】根据必要不充分条件即可求解. 【详解】因为， 则或. 而， 则. 所以是的必要条件. 故答案为：必要. 12．“”是“”的 条件．（填“充分”，“必要”，“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分 【分析】根据含绝对值不等式的解法，结合充分必要条件的判定求解即可. 【详解】由“”可以得到“”， 由得或， 所以“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 13．“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的概念分析即可. 【详解】因为当两个三角形相似时不一定全等，所以充分性不成立， 但是全等肯定相似，所以必要性成立， 所以“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件． 故答案为:必要不充分. 14．已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用充分条件与集合的关系得到，从而得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 即，所以， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 16．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (2)如果，那么； (3)如果，那么直线平行于轴． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】参照命题格式“如果，那么”找出条件和结论，再根据命题真假与充分条件的关系判断即可. 【详解】（1）条件：一个三角形是等腰三角形；结论：这个三角形的两个底角相等． “如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；”此命题是真命题，是的充分条件． （2）条件：；结论：． ∵当时，，∴此命题是真命题，是的充分条件． （3）条件：；结论：直线平行于轴． ∵当时，直线可化为，直线平行于轴，∴此命题是假命题，不是的充分条件． 17．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称； (2)如果一个数是有理数，那么这个数是实数； (3)如果，那么角是第一或第二象限角． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将已知命题改写成“若p，则q”的形式，可确定条件和结论；由题意，根据，可判断结果； （2）将已知命题改写成“若p，则q”的形式，可确定条件和结论；由题意，根据，可判断结果； （3）将已知命题改写成“若p，则q”的形式，可确定条件和结论；由题意，根据，可判断结果； 【详解】（1）条件：一个函数是奇函数，结论：它的图像关于原点对称． ∵奇函数的图像关于原点中心对称， ∴此命题是真命题， 故是的充分条件； （2）条件：一个数是有理数，结论：这个数是实数. ∵实数由有理数和无理数构成， ∴此命题是真命题， 故是的充分条件； （3）条件：，结论：角是第一或第二象限角. ∵当时，角是第一或第二象限角，或终边为轴正半轴， ∴此命题是假命题， 故不是的充分条件. 18．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） (1)若，则； (2)若x为无理数，则为无理数； (3)若，则； 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义判断. （2）根据充分条件和必要条件的定义判断. （3）根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】（1）因为若，则， 若，则， 所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． （2）若x为无理数，则不一定为无理数，如为无理数，但不是无理数. 若为无理数， 则x为无理数，所以p是q的必要不充分条件． （3）若，则. 若，则不一定成立.所以p是q的充分不必要条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第3卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第3卷 充要条件 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．甲：是整数，乙：是自然数，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设甲：是等腰三角形，乙：是等边三角形，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是（   ） A． B． C．或 D． 9．成等差数列是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“函数在R上为增函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．是的 条件（填“充分”，“必要”，“充要”）． 12．“”是“”的 条件．（填“充分”，“必要”，“充要”或“既不充分也不必要”） 13．“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）． 14．已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 16．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (2)如果，那么； (3)如果，那么直线平行于轴． 17．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称； (2)如果一个数是有理数，那么这个数是实数； (3)如果，那么角是第一或第二象限角． 18．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） (1)若，则； (2)若x为无理数，则为无理数； (3)若，则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $