2026年九年级中考数学真题分类训练考点19全等三角形的判定与性质练习

考点19全等三角形的判定与性质 命题点1 全等三角形的判定 1.(2024北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法. (1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D; (2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C',以点C'为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D'; (3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB.其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是 (　　) A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2.(2023长春)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是 (　　) A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 D.两点之间,线段最短 (第2题)　　(第3题) 3.(2024牡丹江)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,CF∥AB,D,E,F三点共线.请添加一个条件:　　　　,使得AE=CE.  4.(2024云南)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD. 求证:△ABC≌△AED. 命题点2 全等三角形的判定与性质 角度1平移型 5.(2024内江)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数. 6.(2024盐城)已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AE∥BF,AE=BF.若　　　　,则AB=CD.  请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由. 角度2轴对称型 7.(2024临夏州)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是　　　　.  8.(2024福建)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD. 求证:BE=DF. 9.(2024陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF.求证:AF=DE. 10.(2024苏州)如图,△ABC中,AB=AC,分别以B,C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E. (1)求证:△ABD≌△ACD; (2)若BD=2,∠BDC=120°,求BC的长. 11.(2024滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现: ①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C; ②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗? 基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法. 小军 证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 　小民 证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理,得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明; (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 　备用图 角度3中心对称型 12.(2024河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴　　　　①　　　　.  又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(　　　　②　　　　),  ∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形. 若以上解答过程正确,①,②应分别为 (　　) A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA 13.(2024南充)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证:△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证:BA=BE. 14.(2023临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD. (1)写出AB与BD的数量关系. (2)延长BC到E,使CE=BC,延长DC到F,使CF=DC,连接EF,求证:EF⊥AB. (3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH. 角度4旋转型 15.(2024广西)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为 (　　) A.1 B.2 C.5 D.10 16.(2024长沙)如图,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)求证:△ABC≌△ADE; (2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数. 17.(2024北京)已知∠MAN=α(0°<α<45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E. (1)如图(1),当点D在射线AN上时,求证:C是AE的中点. (2)如图(2),当点D在∠MAN内部时,作DF∥AN,交射线AM于点F.用等式表示线段EF与AC的数量关系,并证明. 　　　图(1)　　　　　　　　　图(2) 角度5“一线三等角”型 18.(2023北京)如图,点A,B,C在同一条直线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线AC同侧,AB<BC,∠A=∠C=90°,△EAB≌△BCD.连接DE.设AB=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论: ①a+b<c;②a+b>;③(a+b)>c. 上述结论中,所有正确结论的序号是 (　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ (第18题)　　(第19题) 19.(2023重庆A)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为　　　　.  20.(2023广西)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,满足AD=BE=CF. (1)求证:△ADF≌△BED; (2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式; (3)结合(2)所得的函数,描述△DEF的面积随AD的增大如何变化. 考点19全等三角形的判定与性质答案 1 A　2 A　 3 DE=EF(答案不唯一) 4 证明:∵∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中, ∴△ABC≌△AED. 5 (1)证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)∵△ABC≌△DEF,∴∠FDE=∠A=55°, ∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°. 6 选择①,理由如下: ∵AE∥BF, ∴∠EAC=∠FBD. ∵CE∥DF, ∴∠ACE=∠BDF, 在△AEC和△BFD中, ∴△AEC≌△BFD(AAS), ∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC, ∴AB=CD. 选择③,理由如下: ∵AE∥BF, ∴∠EAC=∠FBD, 在△AEC和△BFD中, ∴△AEC≌△BFD(ASA), ∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC, ∴AB=CD. 7 (1,4) 8 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D. 在△ABE和△ADF中, ∴△ABE≌△ADF, ∴BE=DF. 9 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠B=∠C=90°. ∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, ∴△ABF≌△DCE(SAS), ∴AF=DE. 10 (1)证明:由作图知BD=CD. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD. (2)∵△ABD≌△ACD,∠BDC=120°, ∴∠BDA=∠CDA=60°. 又∵BD=CD,∴DA⊥BC,BE=CE. ∵BD=2,∴BE=BD·sin∠BDA=2×=, ∴BC=2BE=2. 11 (1)证明:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ADB和△ADC中, ∴△ADB≌△ADC, ∴∠B=∠C. (2)补充完整小军的证明过程如下: 分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,如图所示. ∵AB+BD=AC+CD, ∴BE+BD=CF+CD,即DE=DF. ∵AD⊥BC,∴∠ADE=∠ADF=90°. 在△ADE和△ADF中, ∴△ADE≌△ADF,∴∠E=∠F. ∵BE=BA,CF=CA, ∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF. 又∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF, ∴∠ABC=∠ACB. 补充完整小民的证明过程如下: ∵AD⊥BC,∴△ADB与△ADC均为直角三角形, 根据勾股定理,得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2, ∴AB2-BD2=AC2-CD2, ∴AB2+CD2=AC2+BD2. ∵AB+BD=AC+CD, ∴AB-CD=AC-BD, ∴(AB-CD)2=(AC-BD)2, ∴AB2-2AB·CD+CD2=AC2-2AC·BD+BD2, ∴AB·CD=AC·BD, ∴=. 又∵∠ADB=∠ADC=90°, ∴△ADB∽△ADC, ∴∠B=∠C. 12 D 13 (1)证明:∵D为BC的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C. 在△BDE和△CDA中, ∴△BDE≌△CDA(AAS). (2)证明:∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD. ∵AD⊥BC,∴BD垂直平分AE,∴BA=BE(依据:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 14 (1)∵∠A=90°,AB=AC, ∴BC=AB. ∵BC=AB+BD, ∴AB=AB+BD,即(-1)AB=BD. (2)证明:如图(1), 图(1) ∵CE=CB,∠1=∠2,CF=CD, ∴△CEF≌△CBD, ∴∠E=∠DBC, ∴EF∥BD. ∵BD⊥AB, ∴AB⊥EF. (3)证明:如图(2),延长EF,CH交于点G. 图(2) ∵EF⊥AB,AC⊥AB, ∴GE∥AC, ∴∠CGE=∠ACG. ∵CH平分∠ACE, ∴∠ACG=∠ECG, ∴∠CGE=∠ECG, ∴EG=EC, ∴EG=BC. ∵△CBD≌△CEF, ∴EF=BD. ∵BC=AB+BD,EG=FG+EF, ∴AB+BD=FG+EF, ∴FG=AB=AC(点拨:通过等量代换得到线段相等). ∵AC∥FG,∴∠HAC=∠HFG. 在△AHC和△FHG中, ∴△AHC≌△FHG, ∴AH=HF. 15 C　如图,易证△DCF≌△CBE,∴∠1=∠2.又∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠DPC=90°.同理可得∠CNB=90°,从而易证△DPC≌△CNB,∴DP=CN.∵GC􀱀AE,∴四边形GAEC是平行四边形,∴GA∥CE.又DG=GC,∴DQ=QP.同理可得CP=PN,∴DP=2CP.设CP=x,则DP=2x,∴x2+(2x)2=52,∴x=(负值已舍去,不合题意),∴CP=,DP=2.易知S△DPC=S△CNB=S△BMA=S△AQD,∴S四边形MNPQ=5×5-4×××2=5. 16 (1)证明:在△ABC和△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)∵△ABC≌△ADE, ∴AC=AE,∠DAE=∠BAC=60°, ∴∠AEC=∠ACE. ∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°, ∴∠ACE=60°. 17 (1)证明:如图(1),连接CD. ∵BC=BD,∠CBD=180°-2α, ∴∠1=(180°-∠CBD)=α, ∴∠1=∠A,∴CD=CA. ∵∠2=90°-∠A=90°-α,∠3=90°-∠1=90°-α, ∴∠2=∠3,∴CD=CE, ∴CA=CE,即点C为AE的中点. 图(1)　图(2) (2)EF=2AC. 证明:如图(2),在AM上取点H,使BH=BA,连接DH,则∠4=∠A=α, ∴∠ABH=180°-2α=∠CBD, ∴∠6=∠9. 又AB=HB,CB=DB,∴△ABC≌△HBD, ∴DH=AC,∠5=∠A=α,∴∠DHF=2α. ∵DF∥AB,∴∠7=∠A=α,∠FDE=90°. 取EF的中点G,连接DG,则EF=2DG,DG=FG, ∴∠8=∠7=α,∴∠DGH=2α=∠DHF, ∴DH=DG,∴DG=AC, ∴EF=2AC. 18 D　∵∠A=∠C=90°,∴AE∥CD.∵△EAB≌△BCD,∴CD=AB=a,AE=BC=b,EB=BD,∠EBA=∠BDC,∴∠EBA+∠CBD=∠BDC+∠CBD=90°,∴∠EBD=90°,∴△BDE是等腰直角三角形,∴ED=BE,∠BDE=45°.∵AB<BC,∴CD<BC,∴∠CDB≠45°,∴∠EDC≠90°,即ED不与CD垂直,∴a+b<c,故结论①正确.在Rt△EAB中,AB+AE>BE,∴a+b>,故结论②正确.∵a+b>,∴(a+b)>·,即(a+b)>c,故结论③正确.故选D. 19 3 【解析】∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BEA=∠AFC=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠FAC=90°,∴∠FAC=∠ABE.又AB=AC,∴△ABE≌△CAF,∴AF=BE=4,AE=CF=1,∴EF=AF-AE=4-1=3. 20 (1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=60°,AC=AB. 又∵CF=AD,∴AF=BD. 在△ADF和△BED中, ∴△ADF≌△BED. (2)如图,分别过点C,F作AB的垂线,垂足分别为H,G,则CH=AC·sin 60°=4×=2, ∴S△ABC=AB·CH=4. AD=x,则AF=BD=4-x, ∴FG=AF·sin 60°=(4-x), ∴S△ADF=AD·FG=x(4-x). 同(1)易证△CFE≌△BED≌△ADF, ∴y=S△ABC-3S△ADF=4-x(4-x)=x2-3x+4. (3)由题意知0<x<4. ∵抛物线y=x2-3x+4的对称轴为直线x=-=2,>0, ∴当0<x≤2时,y随x的增大而减小,当2<x<4时,y随x的增大而增大, 即当0<x≤2时,△DEF的面积随AD的增大而减小,当2<x<4时,△DEF的面积随AD的增大而增大. 学科网（北京）股份有限公司 $