黑龙江省佳木斯市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学期末考试参考答案 一、单选题 1．抛物线的准线方程是 A． B． C． D． 2．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线， 则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 7．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为（     ）A． B． C． D．    8．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．-2 B． C．2 D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．的渐近线方程为 D．的右焦点到渐近线的距离为 10．已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4 11．记等差数列的前项和为，若，则（   ） A．的公差为2 B． C．的最大值为36 D．使得的的最大值为11 三、填空题 12．已知椭圆的方程为，则该椭圆的长轴长为 ． 13．已知，，且，则x的值是 ． 14．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为． 16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点． (1)证明：平面PBC．(2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 17．已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点． (1)求的长； (2)求的面积． 18．已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 19．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线的斜率成等差数列. 试卷第6页，共6页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末考试参考答案 一、单选题 1．抛物线的准线方程是 A． B． C． D． 【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C． 2．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设等差数列的公差为，则，则，解得， 则，所以，故选：A. 3．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B. 4．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线， 则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【详解】若，，则一定有，A正确；若，，，则，可能平行，也可能相交，B错误；若，，则一定有，C正确；若，，，则，显然成立，D正确． 故选：B 5．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为，∵所求双曲线过点， ∴代入，得，即，∴与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是，即.故选：A. 6．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【详解】数列是公差为2的等差数列，，，成等比数列，，即，解得，故选：C. 7．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为（     ）A． B． C． D．    【详解】记，由题知，，所以，又，所以， ，所以，所以直线AM和CN夹角的余弦值为.故选：B 8．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．-2 B． C．2 D． 【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，所以，两式相减，得， 得，又因为线段AB中点坐标为，，， 所以，故选：D. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为2 C．的渐近线方程为 D．的右焦点到渐近线的距离为 【详解】由双曲线：可得：，所以，故实轴长为，故A 错误，离心率为，故B正确，渐近线方程为，故C错误，右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，故选：BD 10．已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4 【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC. 11．记等差数列的前项和为，若，则（   ） A．的公差为2 B． C．的最大值为36 D．使得的的最大值为11 【详解】设数列的公差为，由题意得，解得，所以. 对于A，公差，故A错误；对于B，，则，故B正确； 对于C，，故的最大值为，故C正确；对于D，由，解得，又因为，所以使得的最大值为11，故D正确.故选：BCD. 三、填空题 12．已知椭圆的方程为，则该椭圆的长轴长为 ． 【详解】由题意椭圆标准方程是，所以，长轴长为．故答案为：4. 13．已知，，且，则x的值是 ． 【详解】因为，，且，所以，解得，故答案为：2 14．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为 . 【详解】依题意，如图所示： 其中，准线， 由抛物线的定义知：， 要使取得最小值，只需点移动到点时， 三点共线时取得最小值，此时准线，所以的最小值为：. 故答案为：7. 四、解答题 15．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得，即数列的通项公式为； （2）由，所以. 16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点． (1)证明：平面PBC．(2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 【详解】（1）在梯形ABCD中，因为，，所以．又平面PBC，平面PBC， 即可得平面PBC． （2）易知AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．∴，，， 设平面PBC的法向量，则，取，则，．∴平面PBC的一个法向量为．设直线AE与平面PBC所成角为，则， 即可知直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. 17．已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点． (1)求的长； (2)求的面积． 【详解】（1）椭圆，，，，即，所以直线的方程为， 联立，得，或，所以， （2）由，得，由，得，不妨设，，的面积. 18．已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得. 所以.由数列满足，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以； （2）由（1），得，则， 则，两式作差，得 所以. 19．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线的斜率成等差数列. 【详解】（1）解：设，由题意，得，两边平方并整理，得. 故所求C的方程为. （2）证明：C的方程为当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点，使，显然直线的斜率成等差数列；当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为，联立消去x，得. 设，则.若存在点满足条件，则， 即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以. 所以，将代入得，整理得，因为，所以，代入，得. 此时，存在C上的点，使得直线的斜率成等差数列.综上，存在C上的点P使得直线的斜率成等差数列. 试卷第6页，共6页 试卷第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $