第7章 专题1 平行线中的拐点问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学习题课件(人教版·新教材)河北专版

该初中数学课件以平行线中的拐点问题为核心，通过一题多变分“内拐外折”“内拐内折”等类型探究，结合作辅助线方法构建学习支架，衔接平行线性质与复杂图形角度关系的应用。 其亮点在于以“学霸说”提炼解题策略，通过规范解答和多折型拓展培养推理能力与几何直观，变式训练融入中考题与实际情境增强模型意识。学生能掌握辅助线技巧，教师可依托系统案例提升教学效率。

2 专题1　平行线中的拐点问题 3 【典例】 （一题多变）已知AB⫽CD，点P为平面内任意一点，连接AP，CP，某数学兴趣小组对∠APC，∠A，∠C之间的数量关系进行了探究学习. 【探究一：内拐外折型】当点P在如图1所示的位置时，通过测量，得到猜想结论：∠APC+∠A+∠C=360°.请你说明这个结论的正确性. 2 3 4 5 6 1 典例 【学霸说】 当两条平行线不是被第三条直线所截时，不能直接应用平行线的性质，此时需过折线的拐点作其中一条直线的平行线，有几个拐点就作几条平行线， 再利用平行线基本事实的推论得出图中直线互相平行，从而利用平行线的性质解决问题. 本题中，过点________作________∥AB，由平行线的 性质，可得∠A+∠________=180°，∠C+∠________=180°，即可 求解. P PE APE CPE 2 3 4 5 6 1 典例 【规范解答】 解：如图1，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， ∴∠APC+∠A+∠C=∠APE+∠CPE+∠A+∠C=180°+180°=360°. 2 3 4 5 6 1 典例 【探究二：内拐内折型】当点P在如图2所示的位置时，猜想∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由. 解：∠APC=∠A+∠C. 理由如下： 如图2，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE=∠A，∠CPE=∠C， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C. 2 3 4 5 6 1 典例 【探究三：外拐内折型】当点P在如图3所示的位置时，∠APC，∠A，∠C之间有怎样的数量关系？请说明理由. 解：∠APC=∠C-∠A. 理由如下： 如图3，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD， ∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A， ∴∠APC=∠EPC-∠EPA=∠C-∠A. 2 3 4 5 6 1 典例 【探究四：外拐外折型】若点P在直线AB的左侧，且∠APC=∠A-∠C，请在图4中找到一个符合条件的点P，补全图形，并说明理由. 解：如图4，点P符合条件. 理由如下： 过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠EPC+∠C=180°，∠EPA+∠A=180°， ∴∠EPC=180°-∠C，∠EPA=180°-∠A， ∴∠APC=∠EPC-∠EPA=180°-∠C-（180°-∠A）=∠A-∠C. 2 3 4 5 6 1 典例 【思维拓展：多折型】当点M，N在如图5所示的位置时，请写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，并说明理由. 解：∠1-∠2+∠3+∠4=180°. 理由如下： 如图5，点M作ME∥AB，过点N作NF∥CD. ∵AB∥CD，∴ME⫽AB⫽NF∥CD， ∴∠1=∠AME，∠FNC+∠4=180°， ∠MNF=∠NME， ∴∠NME=∠2-∠AME=∠2-∠1， ∴∠MNF=∠NME=∠2-∠1， ∴∠FNC=∠3-∠MNF=∠3-（∠2-∠1）=∠3-∠2+∠1. ∵∠FNC+∠4=180°，∴∠3-∠2+∠1+∠4=180°， 即∠1-∠2+∠3+∠4=180°. 2 3 4 5 6 1 典例 【变式训练】 1. 如图，AB∥CD，点E在AB和CD之间，∠BAE=α，F是CD上的动点，连接EF，当EF的长度最短时，∠AEF的度数是 （　　） A. 90°+α B. 90° C. 90°-α D. 180°-α A 2 3 4 5 6 1 典例 11 2. （山东潍坊中考）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为 （　　） A. 60° B. 55° C. 50° 　D. 45° A 2 3 4 5 6 1 典例 12 3. (原创题 燕风赵韵) 河北博物院是国家一级博物馆、全国爱国主义教育示范基地，它的一个停车场大门的栏杆示意图如图所示，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，若∠BCD=120°，则∠ABC的度数为________. 150° 2 3 4 5 6 1 典例 13 4. 如图，已知a∥b，∠1=55°，∠BAC=25°，则∠2的度数为________. 80° 2 3 4 5 6 1 典例 14 5. （1）如图1，AB⫽CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数. 解：如图，过点E作EF⫽AB， ∴∠A+∠AEF=180°（_________________________）. 又AB⫽CD（已知）， ∴________∥CD. ∴∠CEF+∠________=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式的性质）， 即∠A+∠AEC+∠C=________. 两直线平行，同旁内角互补 EF C 360° 2 3 4 5 6 1 典例 15 （2）根据上述解题过程及作辅助线的方法可知，在图2中，若AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E=________. （3）如图3，AB⫽CD，在B，D两点的同一侧有M1，M2，M3，…，Mn共n个拐点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=______________（用含n的代数式表示）. 540° （n+1）×180° 2 3 4 5 6 1 典例 16 6. （新趋势 探究性问题）（1）如图1，AB⫽CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由. （2）如图2，在（1）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠EGF的度数. 2 3 4 5 6 1 典例 17 解：（1）∠PFC=∠PEA+∠EPF. 理由如下： 如图1，过点P作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA=∠NPE. ∵∠FPN=∠NPE+∠EPF，∴∠FPN=∠PEA+∠EPF. ∵PN∥CD，∴∠FPN=∠PFC. ∴∠PFC=∠PEA+∠EPF. 2 3 4 5 6 1 典例 18 （2）如图2，过点G作GH∥AB. 又AB∥CD，∴GH∥AB∥CD. ∴∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG. 又∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠HGE=∠AEG= ∠PEA，∠HGF=∠CFG= ∠PFC. 由（1）可知，∠PFC=∠EPF+∠PEA. ∵∠EPF=α，∴∠HGF= （∠EPF+∠PEA）=（α+∠PEA）. ∴∠EGF=∠HGF-∠HGE= （α+∠PEA）− ∠PEA= α. 2 3 4 5 6 1 典例 19 20 $