7.1.2 两条直线垂直-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学讲解课件(人教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中“两条直线垂直”，涵盖垂直定义、性质及点到直线的距离。通过回顾对顶角与邻补角旧知，结合窗户木条等生活实例创设情境，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以灌溉挖渠等生活问题培养数学眼光，通过例题推理（如用垂直定义证OE⊥OF）发展数学思维，用符号语言（如AB⊥CD）与图形结合强化数学语言。归纳小结结构化呈现知识，助力学生系统掌握，也为教师提供完整教学资源，提升教学效率。

第七章 相交线与平行线 7. 1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 学习目标 1.理解垂直、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，掌握垂线的性质. 2.知道点到直线的距离的意义，能求解相关问题. 学习重难点 垂线、垂线段的概念，垂线的性质，点到直线的距离的意义. 理解掌握垂线的两条性质. 难点 重点 回顾复习 角的 名称 特 征 性质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 ①两条直线相交形成的角； ②有公共顶点; ③没有公共边 对顶 角相 等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的 ①有无公共边； ②两直线相交时， 对顶角只有两对， 邻补角有四对 邻 补 角 ①两条直线相交而成； ②有公共顶点; ③有一条公共边 邻补 角互 补 创设情境 日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条. 新知引入 知识点1 垂直的定义 垂直的定义：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置发生变化时，a，b所成的∠α也会发生变化.当∠α= 90°时，这两根木条垂直. 一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.在下图中，AB⊥CD，垂足为O. A B C D O A B C D O 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键是：只要找到两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角. 垂直的定义可以写成下面的形式： 因为∠AOC = 90°， 所以AB⊥CD（垂直的定义）． 反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC 是多少度？ A B C D O A B C D O 垂直的定义具有双重作用： ①知线垂直得直角； ②知直角得线垂直. 如图，①若 AB⊥CD， 则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. A B C D O 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的直线.你能再举出其他例子吗? 窗户上的木条 网球拍上的网线 例题示范 例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射线OE，OF是什么位置关系？请说明理由． 解：射线OE⊥OF．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°.　 所以OE⊥OF(垂直定义)． 例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数． 解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直的定义)． 因为∠BOE＝50°，所以∠AOC＝∠BOD＝ ∠DOE－∠BOE＝90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF，所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°. 知识点2 垂直的性质1 新知引入 如图，用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. 1.经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 2.经过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ l A B 1.靠； 2.过； 3.画. 如图，经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线. 这样画直线 l 的垂线可以画几条？ 一条. l A B 如图，经过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线. 这样画直线 l 的垂线可以画几条？ 一条. 1.靠； 2.过； 3.画. 用三角尺画垂线的方法： 一靠，用三角尺的一条直角边靠在已知直线上； 二过，用三角尺的另一条直角边过已知点； 三画，画出垂线． 注意：画垂线也可用以下两种方法： (1)利用量角器画；(2)用折叠法画． 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 存在且唯一 注意：不能忽略“在同一平面内”这个条件，如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. (1)在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条. (2)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上. 例题示范 例3 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 如果画一条射线或线段的垂线，就是画他们所在直线的垂线. ┌ ┌ O ┌ O 知识点3 垂直的性质2 新知引入 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ （1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ （2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ （3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ （4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ 垂直的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离． 总结归纳： 注意： (1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条. (2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量. (3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量. 将小河抽象成直线l，过点P作PO⊥l，垂足为O，则从点P到点O挖渠能使渠道最短. l ┌ O 例题示范 例4 如图，在铁路旁边有一村庄，现在要建一火车站，为了使该村的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由. 村庄 理由：垂线段最短. N ┌ 随堂练习 1.如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ） A. 26° B. 64° C. 54° D. 以上答案都不对 B 2.如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA = 6 cm，PB = 5 cm，PC = 7 cm，则点 P 到直线 l 的距离是 cm. 5 3.如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么A、B、C 三点在同一直线上吗？为什么？ 解：A、B、C 三点在同一直线上. 因为AB ⊥ l ，BC ⊥ l . 且交点都为 B . 所以A、B、C 三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）. 4.如图，AO⊥FD，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB = 40°，求∠EOF，∠COE 的度数． 解：因为AO⊥OD且∠AOB=40°， 所以∠BOD=90°-40°=50°，所以∠EOF=50°. 又因为OD平分∠BOC，所以∠DOC=∠BOD=50°， 所以∠COE=180°-50°-50°=80°． A F D O B C E 5.如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据. 解：（1）如图，连接AD，BC 交于 H ，因为两点之间线段最短，所以 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小. （2）如图，过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G .“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据. G H 1.点 P 为直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，PA = 2 cm，PB = 3 cm，PC = 4 cm，则点 P 到直线 l 的距离( ) A.等于 2 cm B.小于 2 cm C.大于 2cm D.不大于 2 cm D 拓展提升 2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的有( ) ①线段 CD 的长度是点 C 到 AB 的距离； ②线段 AC 是点 A 到 BC 的距离； ③ AB > AC > CD； ④线段 BC 是点 B 到 AC 的距离； ⑤ CD < BC < AB. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 3.如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，OM⊥AB 于 O . （1）若∠1 =∠2，求∠NOD； （2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC 与∠MOD. 解：（1）因为 OM ⊥ AB ，所以∠1 + ∠AOC = 90°. 又∠1 = ∠2，所以∠2 + ∠AOC = 90°， 所以∠NOD = 180°-（∠2 + ∠AOC）= 180°- 90°= 90°. （2）因为∠BOC =4∠1，即 90°+∠1 = 4∠1，可得∠1 = 30°， 所以∠AOC = 90°- 30° = 60°， 所以由对顶角相等可得∠BOD = 60°， 所以∠MOD = 90°+∠BOD = 150°. 归纳小结 定义 两条直线垂直 性质1 垂直 性质2 点到直线的距离 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 垂线的画法 绿卡图书—走向成功的通行证 35 $