专题08 基本不等式小题（含考点交汇）（4维精讲+3维精练）（7维体系35题）讲义-【新高考风向标】2026高考数学考前百日冲刺（二轮复习模考真题演练之会一题通一类系列）（新高考通用）

专题08 基本不等式小题（含考点交汇） （4维精讲+3维精练） 考前百日冲刺目录 引领风向--最新模考新颖题（5题） 1 最新热点热搜题（5题） 4 最新高频经典题（5题） 7 最新高考真题回顾（5题） 10 最新模考基础练（5题） 13 最新模考能力练（5题） 15 最新模考压轴练（5题） 18 引领风向--最新模考新颖题（5题） 【典例】1．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 【典例】2．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【典例】3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 【典例】4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合函数的单调性可得，进而可求的最小值. 【详解】函数的定义域为， 可得函数在上单调递增， 又， 由，得， 因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【典例】5．（2025·辽宁·三模）（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】通过消元转化为二次函数求最值判断A选项,通过平方后用基本不等式判断B选项,通过变形将转化为再利用基本不等式求最值, 变形，转化为为整体的一元函数最值问题求解,利用基本不等式或双勾函数求最值即可. 【详解】由题意得，A项错误； ，所以（当且仅当时取等号），B项正确； ，当且仅当时取等号，C项正确； ， 又因为， 所以， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，D项正确． 故选:BCD． 最新热点热搜题（5题） 【典例】6．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 【典例】7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得 【详解】依题意，且，即， 又，所以，当且仅当时取等号，由，解得， 故当，时该同学的得分最高. 故选：A 【典例】8．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 【典例】9．（2025·全国·模拟预测）（多选）样本数据0，2，3，，，7的平均数为3，方差为，中位数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均数计算可判断A；根据基本不等式化简计算可判断B；由方差计算公式列式化简即可判断C，根据中位数计算公式分类讨论即可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， 当时，有，当且仅当时等号成立， 所以，故B错误； 对于C，方差， 由可知，当时，，此时， 当时，，此时， 综上所诉，，故C正确； 对于D，当时，样本数据的中位数， 当时，设，由可知，， 按照从小到大的顺序排列，中间两个数可以是或， 此时中位数，综上所述，中位数，故D正确. 故选：ACD 【典例】10．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知，则下列不等式中，正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为5 C． D． 【答案】CD 【分析】利用作差比较法，可判定A错误；根据基本不等式等腰成立的条件，可判定B错误；转化为不等式，求得不等式的解集，可判定C正确；化简得，构成函数，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由， 因为，可得，所以，即，所以A错误； 对于B，由， 当且仅当时，显然不成立，所以B错误； 对于C，由不等式两边同除，可得， 即，即，因为，解得，所以C正确； 对于D，由不等式，可得， 即，构造函数， 可得，所以函数在上单调递增， 因为，所以，即，所以D正确. 故选：CD. 最新高频经典题（5题） 【典例】11．（25-26高三上·山东济南·月考）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定点可知点坐标，将点坐标代入直线方程，得到的关系，利用基本不等式求得结果. 【详解】∵对数函数经过定点， 则令，即，即点， ∴，即， ∵，∴， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴的最小值为5. 故选：A. 【典例】12．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据，将原式乘以，进行化简后，利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】因为，所以 ， 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 【典例】13．（25-26高三上·天津·月考）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 【典例】14．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将两边取对数， 运用对数运算法则，将式子化简为，将运用对数运算法则及换底公式化简为，运用“1”的代换和基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，等式两边取对数可得 化简可得： 即， ， 当且仅当“”，即时最值成立； 故的最小值为 故答案为： 【典例】15．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，根据基本不等式可得，利用作差法注意检验四个选项，结合指数函数以及对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由，，则，当且仅当时，等号成立， 对于A，由，则，所以，故A正确； 对于B，由，即，则，所以， 由函数在上单调递增，且，即，则， 所以，即，故B错误； 对于C，由 ，当且仅当时，等号成立， 所以，故C正确； 对于D，由，且函数在上单调递减， 则，所以，故D错误. 故选：AC. 最新高考真题回顾（5题） 【典例】16．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【典例】17．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 【典例】18．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 【典例】19．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【典例】20．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 最新模考基础练（5题） 21．（2025·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 22．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 23．（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为； 故选：B 24．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 故选：A. 25．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 最新模考能力练（5题） 26．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，结合基本不等式可得，再结合可得，可得，即可求解. 【详解】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 27．（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 28．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，得，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】由，，且，得. 当且仅当，即，即，或时，等号成立. 所以，当，或时，取得最小值，最小值为4. 故选：A. 29．（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 30．（2025·安徽芜湖·模拟预测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式即可判断AB；C利用基本不等式判断，但取等条件不成立；D构造函数，通过求导研究其单调性. 【详解】对于A，，则，等号成立时， 因，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当，即时，等号成立，这与已知不符合，故等号不成立，故C错误； 对于D，， 设，求导得， 则在上单调递减，则，即， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 最新模考压轴练（5题） 31．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 32．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 33．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，设，得到，结合条件得到，根据求出；D选项，由，结合条件得到；B选项，先得到，由D知，，故，求出；C选项，，，等号成立的条件均为，故. 【详解】A，正实数，满足， 设，则， 因为，所以，整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则，解得，故，A正确； D，因为，所以，故， 又，故，即，， 当且仅当时，等号成立，D正确； B，因为，所以，由D知，故， 当且仅当时，等号成立，解得，故，B错误； C，通过以上分析得，，等号成立的条件均为， 故，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：ACD 34．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式计算可得A正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B正确，将表达式化简计算可得，解不等式可得，即可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由可得， 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，将表达式化简可得， 将方程参数化可知，； 所以，其中； 又，所以，可得B正确； 对于C，由可得， 即， 因此，解得， 当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式计算即可得出结论. 35．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 【答案】8 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 基本不等式小题（含考点交汇） （4维精讲+3维精练） 考前百日冲刺目录 引领风向--最新模考新颖题（5题） 1 最新热点热搜题（5题） 2 最新高频经典题（5题） 3 最新高考真题回顾（5题） 3 最新模考基础练（5题） 4 最新模考能力练（5题） 5 最新模考压轴练（5题） 5 引领风向--最新模考新颖题（5题） 【典例】1．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【典例】2．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例】3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【典例】4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【典例】5．（2025·辽宁·三模）（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 最新热点热搜题（5题） 【典例】6．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【典例】7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例】8．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【典例】9．（2025·全国·模拟预测）（多选）样本数据0，2，3，，，7的平均数为3，方差为，中位数为，则（   ） A． B． C． D． 【典例】10．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知，则下列不等式中，正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为5 C． D． 最新高频经典题（5题） 【典例】11．（25-26高三上·山东济南·月考）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【典例】12．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【典例】13．（25-26高三上·天津·月考）已知，，，则的最小值为 . 【典例】14．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知，且，则的最小值为 . 【典例】15．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知，且，则（　　） A． B． C． D． 最新高考真题回顾（5题） 【典例】16．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【典例】17．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【典例】18．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【典例】19．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【典例】20．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 最新模考基础练（5题） 21．（2025·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 22．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 24．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 25．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 最新模考能力练（5题） 26．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 27．（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 28．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 29．（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽芜湖·模拟预测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 最新模考压轴练（5题） 31．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 32．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 33．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 34．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 35．（2025·四川成都·一模）在锐角中，若，则的最小值是 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $