【讲义篇】新课预习讲义：专题07 圆锥（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题07 圆锥 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“圆锥”预习讲义，专为你们衔接新学期立体图形重点内容打造。我们从圆锥的基本特征、各部分核心含义，到体积推导原理、公式变形，再到与圆柱的对比认知、等积变形及生活实际应用，都做了系统清晰的梳理。搭配各地期中期末典型真题作为例题，每道题都拆解思路、细致分析，还有分层巩固练习帮你们及时检验成果。希望大家通过这份讲义，吃透圆锥的本质与应用，扫清预习障碍，为新学期数学学习筑牢基础，轻松开启圆锥知识的学习之旅！ 知识精讲 知识点一、圆锥的认识 1. 圆锥的定义与图形特征 （1）圆锥的定义 ① 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，将直角三角形旋转一周所形成的封闭立体图形叫做圆锥，作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边对应圆锥底面的半径。 ② 生活中存在大量近似圆锥的物体，如沙堆、铅锤、圣诞帽等，其形态符合圆锥的基本结构特点。 （2）圆锥的整体图形特点 ① 圆锥由一个曲面和一个平面共同围成，整体呈现下宽上尖的对称形态。 ② 圆锥的底面与侧面的交界处为完整的圆周，侧面与底面之间光滑过渡，无明显棱角。 2. 圆锥的各部分名称及核心含义 （1）底面 ① 圆锥的底面是一个标准圆形，且圆锥仅有一个底面。 ② 底面包含圆心、半径、直径、周长、面积等要素，各要素的计算规则与平面图形圆的对应计算完全一致。 （2）高 ① 从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离叫做圆锥的高，圆锥有且仅有一条高。 ② 圆锥的高是内部不可见线段，需通过特定方法测量：将圆锥底面放平，用水平平板置于圆锥顶点上方，竖直测量平板与底面的距离，即为圆锥的高。 知识点二、圆锥的体积 1. 圆锥体积的推导原理 （1）实验推导的核心逻辑 ① 通过等底等高的圆柱容器与圆锥容器开展倒水或倒沙实验：将圆锥容器装满水或沙，倒入圆柱容器中，连续倒3次可装满圆柱容器；反之，将圆柱容器装满的水或沙，恰好能装满3个圆锥容器。 ② 该实验直接证明：在等底等高的前提下，圆锥的体积是圆柱体积的 。 （2）推导结论的前提条件： “圆锥体积是圆柱体积的”这一结论仅适用于等底等高的圆柱与圆锥，若两者底面积或高不相等，则不存在此倍数关系。 2. 圆锥体积的计算公式及变形 （1）基本体积公式：圆锥的体积（ ）等于底面积（ ）与高（ ）乘积的 ，公式表达式为： 。 （2）基于底面参数的公式变形 ① 已知圆锥底面半径（ ）和高（ ）时，结合圆的底面积公式 ，体积公式变形为： 。 ② 已知圆锥底面直径（ ）和高（ ）时，先由 求出半径，再代入公式，变形后为： 。 ③ 已知圆锥底面周长（ ）和高（ ）时，先由 求出半径，再代入公式，变形后为： 。 3. 体积计算的注意事项 （1）参数的对应性 ① 计算时需确保所使用的底面积、高属于同一个圆锥，避免混淆不同圆锥的参数数据。 ② 若题目给出的高不是从顶点到底面圆心的垂直距离，需先将其转化为标准的圆锥高，再代入公式计算。 （2）单位的统一性：底面积与高的单位需保持一致，若单位不同，需先统一单位再计算，最终体积单位为底面积单位与高单位的复合单位，如立方米、立方分米等。 知识点三、圆锥的综合认知与应用 1. 圆锥与圆柱的对比认知 （1）相同点 ① 两者均为立体图形，都有底面（圆柱2个、圆锥1个）和高的概念。 ② 侧面均为曲面，展开后分别为长方形（或正方形、平行四边形）和扇形。 （2）不同点 ① 底面数量不同：圆柱有2个完全相同的圆形底面，圆锥仅有1个圆形底面。 ② 高的数量不同：圆柱有无数条长度相等的高，圆锥仅有1条高。 ③ 体积关系有条件限制：仅等底等高时，圆锥体积为圆柱体积的 。 2. 等积变形中的圆锥应用 （1）核心原理 ① 当物体形状改变但体积不变时，可依据“变形前体积=变形后体积”的关系，结合圆锥体积公式解决问题。 ② 常见场景包括：将圆锥形物体熔铸成圆柱、长方体等立体图形，或从圆柱、长方体中削出最大的圆锥。 3. 生活中圆锥的实际应用逻辑 （1）容器容积计算：圆锥形容器的容积计算方法与体积一致，需从容器内部测量底面半径、高的数据；若容器厚度可忽略，容积数值与体积数值相等。 （2）堆体体积估算：沙堆、煤堆、粮堆等近似圆锥形的堆体，需先测量底面周长（或直径、半径）和高，再代入圆锥体积公式计算，以此估算堆体的质量或容量。 例题讲解 题型一、圆锥的认识及特征 【典型例题】（24-25六年级下·福建厦门·期中）下面（    ）图形旋转一周就会形成圆锥。 A． B． C． D． 【跟踪训练】（23-24六年级下·广东广州·期末）四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（    ）。 A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 题型二、圆柱与圆锥体积的关系 【典型例题】（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是78cm3，削去部分的体积是( )cm3。 【跟踪训练】（24-25六年级下·云南德宏·期末）一张长12.56cm、宽6cm的长方形纸，卷成一个圆柱形纸筒。以长方形的长作为圆柱的底面周长时，圆柱的高是( )cm；与圆柱等底等高的圆锥的体积是( )cm3。 题型三、圆锥的体积（容积） 【典型例题】（24-25六年级下·江西赣州·期末）一个圆锥的底面积是18平方米，高6米，它的体积是( )立方米。 【跟踪训练】（24-25六年级下·广东汕头·期末）小欣在高速服务区喝水，用了服务区提供的这款圆锥形的一次性纸杯（如图）。小欣测得纸杯的底面直径是8厘米，高是12厘米。请计算出这个纸杯的容积。 题型四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）一块圆柱形橡皮泥，底面积是4cm2，高是3cm，可以把它捏成底面积和高分别是（    ）的圆锥形。 A．6cm2和6cm B．4cm2和3cm C．6cm2和1cm D．4cm2和1cm 【跟踪训练】（24-25六年级下·河南南阳·期中）一个圆锥形的碎石堆，底面直径是10米，高是1.5米。用这堆碎石去铺一条10米宽的公路，铺的厚度是10厘米。这堆碎石能铺路多少米？ 题型五、立体图形的切拼（圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·山东济南·期中）一个圆锥底面直径是4厘米，沿直径剖成两半后，表面积增加了12平方厘米，原来圆锥体的体积是( )立方厘米。 【跟踪训练】（23-24六年级下·河北邯郸·期末）有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。 题型六、组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的体积。（单位：cm） 【跟踪训练】（24-25六年级下·陕西安康·期中）计算下面图形的体积。（单位：分米） 题型七、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·海南海口·期中）一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所示），如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【跟踪训练】（23-24六年级下·河南许昌·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·福建厦门·期中）在下面图形中，沿着给出的虚线为轴旋转一周，可以形成的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·河南信阳·期末）如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（    ）。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 3．（24-25六年级下·黑龙江鸡西·期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 4．（24-25六年级下·河北保定·期中）底面积相等的圆柱和圆锥，体积的比是1∶1，圆锥体的高是18厘米，那么圆柱的高是（    ）厘米。 A．6 B．18 C．9 D．54 5．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）把一个圆柱形木块削成最大的圆锥后，体积减少了4.8立方分米，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．2.4 B．1.6 C．7.2 D．9.6 二、判断题 6．（24-25六年级下·河南驻马店·期中）一个圆锥的体积是48cm3，高是8cm，那么底面积是6cm2。( ) 7．（24-25六年级下·江西九江·期中）圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。( ) 8．（23-24六年级下·内蒙古阿拉善盟·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48dm3，那么这个圆柱的体积是12dm3。( ) 三、填空题 9．（24-25六年级下·江西九江·期末）李奶奶收获的稻谷堆成了圆锥体，高是5分米，底面半径是3分米，这堆稻谷的体积是( )立方分米，如果每立方分米稻谷重2千克，这堆稻谷重( )千克。 10．（24-25六年级下·湖南娄底·期末）一个圆柱形容器的底面直径为10cm，高为20cm，一个圆锥形容器的底面直径也为10cm。小亮先用这个圆柱形容器装满水，然后将圆锥形容器灌满，结果如图所示。则这个圆锥形容器高( )cm。（容器壁厚度忽略不计） 11．（24-25六年级下·甘肃天水·期中）一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是( )cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是( )dm。 12．（24-25六年级下·广西贵港·期中）等底等高的一个圆柱体和一个圆锥，已知它们的体积差是16立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 13．（24-25六年级下·河南南阳·期中）一堆煤呈圆锥形，高为2m，底面周长为18.84m，这堆煤的体积是( )m3。已知每立方米的煤大约重1.4t，这堆煤大约重( )t。（得数保留整数） 四、计算题 14．（24-25六年级下·新疆阿克苏·期中）计算圆锥的体积。（单位：厘米） 15．（24-25六年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算下面图形的体积。 五、解答题 16．（24-25六年级下·湖南郴州·期末）某工地有一堆圆锥形细沙，其底面半径1米，高0.6米，若每立方米细沙重1.5吨，这堆细沙重多少吨？ 17．（24-25六年级下·辽宁鞍山·期中）把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 18．（24-25六年级下·河北唐山·期中）一个长方体水槽（尺寸如图）中装有一部分水，水中浸没着一个高为25厘米的圆锥形铅锤，当铅锤被取出后，水面下降了3厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 19．（24-25六年级下·河南南阳·期末）用底面直径和高都是12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器（如图）。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细沙高3厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？（π取3.14） 试卷第1页，共3页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题07 圆锥 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“圆锥”预习讲义，专为你们衔接新学期立体图形重点内容打造。我们从圆锥的基本特征、各部分核心含义，到体积推导原理、公式变形，再到与圆柱的对比认知、等积变形及生活实际应用，都做了系统清晰的梳理。搭配各地期中期末典型真题作为例题，每道题都拆解思路、细致分析，还有分层巩固练习帮你们及时检验成果。希望大家通过这份讲义，吃透圆锥的本质与应用，扫清预习障碍，为新学期数学学习筑牢基础，轻松开启圆锥知识的学习之旅！ 知识精讲 知识点一、圆锥的认识 1. 圆锥的定义与图形特征 （1）圆锥的定义 ① 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，将直角三角形旋转一周所形成的封闭立体图形叫做圆锥，作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边对应圆锥底面的半径。 ② 生活中存在大量近似圆锥的物体，如沙堆、铅锤、圣诞帽等，其形态符合圆锥的基本结构特点。 （2）圆锥的整体图形特点 ① 圆锥由一个曲面和一个平面共同围成，整体呈现下宽上尖的对称形态。 ② 圆锥的底面与侧面的交界处为完整的圆周，侧面与底面之间光滑过渡，无明显棱角。 2. 圆锥的各部分名称及核心含义 （1）底面 ① 圆锥的底面是一个标准圆形，且圆锥仅有一个底面。 ② 底面包含圆心、半径、直径、周长、面积等要素，各要素的计算规则与平面图形圆的对应计算完全一致。 （2）高 ① 从圆锥的顶点到底面圆心的垂直距离叫做圆锥的高，圆锥有且仅有一条高。 ② 圆锥的高是内部不可见线段，需通过特定方法测量：将圆锥底面放平，用水平平板置于圆锥顶点上方，竖直测量平板与底面的距离，即为圆锥的高。 知识点二、圆锥的体积 1. 圆锥体积的推导原理 （1）实验推导的核心逻辑 ① 通过等底等高的圆柱容器与圆锥容器开展倒水或倒沙实验：将圆锥容器装满水或沙，倒入圆柱容器中，连续倒3次可装满圆柱容器；反之，将圆柱容器装满的水或沙，恰好能装满3个圆锥容器。 ② 该实验直接证明：在等底等高的前提下，圆锥的体积是圆柱体积的 。 （2）推导结论的前提条件： “圆锥体积是圆柱体积的”这一结论仅适用于等底等高的圆柱与圆锥，若两者底面积或高不相等，则不存在此倍数关系。 2. 圆锥体积的计算公式及变形 （1）基本体积公式：圆锥的体积（ ）等于底面积（ ）与高（ ）乘积的 ，公式表达式为： 。 （2）基于底面参数的公式变形 ① 已知圆锥底面半径（ ）和高（ ）时，结合圆的底面积公式 ，体积公式变形为： 。 ② 已知圆锥底面直径（ ）和高（ ）时，先由 求出半径，再代入公式，变形后为： 。 ③ 已知圆锥底面周长（ ）和高（ ）时，先由 求出半径，再代入公式，变形后为： 。 3. 体积计算的注意事项 （1）参数的对应性 ① 计算时需确保所使用的底面积、高属于同一个圆锥，避免混淆不同圆锥的参数数据。 ② 若题目给出的高不是从顶点到底面圆心的垂直距离，需先将其转化为标准的圆锥高，再代入公式计算。 （2）单位的统一性：底面积与高的单位需保持一致，若单位不同，需先统一单位再计算，最终体积单位为底面积单位与高单位的复合单位，如立方米、立方分米等。 知识点三、圆锥的综合认知与应用 1. 圆锥与圆柱的对比认知 （1）相同点 ① 两者均为立体图形，都有底面（圆柱2个、圆锥1个）和高的概念。 ② 侧面均为曲面，展开后分别为长方形（或正方形、平行四边形）和扇形。 （2）不同点 ① 底面数量不同：圆柱有2个完全相同的圆形底面，圆锥仅有1个圆形底面。 ② 高的数量不同：圆柱有无数条长度相等的高，圆锥仅有1条高。 ③ 体积关系有条件限制：仅等底等高时，圆锥体积为圆柱体积的 。 2. 等积变形中的圆锥应用 （1）核心原理 ① 当物体形状改变但体积不变时，可依据“变形前体积=变形后体积”的关系，结合圆锥体积公式解决问题。 ② 常见场景包括：将圆锥形物体熔铸成圆柱、长方体等立体图形，或从圆柱、长方体中削出最大的圆锥。 3. 生活中圆锥的实际应用逻辑 （1）容器容积计算：圆锥形容器的容积计算方法与体积一致，需从容器内部测量底面半径、高的数据；若容器厚度可忽略，容积数值与体积数值相等。 （2）堆体体积估算：沙堆、煤堆、粮堆等近似圆锥形的堆体，需先测量底面周长（或直径、半径）和高，再代入圆锥体积公式计算，以此估算堆体的质量或容量。 例题讲解 题型一、圆锥的认识及特征 【典型例题】（24-25六年级下·福建厦门·期中）下面（    ）图形旋转一周就会形成圆锥。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥由一个底面和一个侧面组成，底面是圆，侧面是一个曲面。根据圆锥的特征，逐项分析各平面图形旋转一周后形成的立体图形，再找出正确的选项，据此解答。 【详解】 A．旋转一周会形成圆柱； B．旋转一周会形成圆锥； C．旋转一周会形成圆台； D．旋转一周会形成球。 故答案为：B 【跟踪训练】（23-24六年级下·广东广州·期末）四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（    ）。 A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 【答案】D 【分析】圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离，因此，测量它的高时，首先要把直尺垂直放置，0刻度线和底面对齐，上面的直角三角尺（或者直尺）要与竖直的直尺的边垂直，这样才能准确量出圆锥的高，据此即可作出选择。 【详解】 ，直尺没有垂直，测量方法错误； ，0刻度线和底面没有对齐，测量方法错误； ，直尺没有垂直，缺少上面的直尺；测量方法错误； ，直尺垂直放置，0刻度线和底面对齐，上面的直角三角尺要与直尺的边垂直，测量方法正确。 四位同学测量圆锥高的方法正确的是。 故答案为：D 题型二、圆柱与圆锥体积的关系 【典型例题】（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是78cm3，削去部分的体积是( )cm3。 【答案】156 【分析】当把一个圆柱削成一个最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。已知圆锥的体积是78cm3，因为圆柱体积是等底等高圆锥体积的3倍，所以圆柱体积为78×3＝234cm3。削去部分的体积等于圆柱体积减去圆锥体积，用234减78计算即可。 【详解】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 78×3＝234（cm3） 234－78＝156（cm3） 削去部分的体积是156cm3。 【跟踪训练】（24-25六年级下·云南德宏·期末）一张长12.56cm、宽6cm的长方形纸，卷成一个圆柱形纸筒。以长方形的长作为圆柱的底面周长时，圆柱的高是( )cm；与圆柱等底等高的圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 6 25.12 【分析】长方形的长作为圆柱的底面周长，则圆柱的高等于长方形的宽；根据圆柱的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径；根据圆柱的体积＝底面积×高，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，用圆柱的体积×，即可求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的高是6cm。 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（cm） 3.14×22×6× ＝3.14×4×6× ＝12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（cm3） 一张长12.56cm、宽6cm的长方形纸，卷成一个圆柱形纸筒。以长方形的长作为圆柱的底面周长时，圆柱的高是6cm；与圆柱等底等高的圆锥的体积是25.12cm3。 题型三、圆锥的体积（容积） 【典型例题】（24-25六年级下·江西赣州·期末）一个圆锥的底面积是18平方米，高6米，它的体积是( )立方米。 【答案】36 【分析】圆锥的体积＝底面积×高×，据此代入数据列式计算即可。 【详解】18×6× ＝108× ＝36（立方米） 一个圆锥的底面积是18平方米，高6米，它的体积是36立方米。 【跟踪训练】（24-25六年级下·广东汕头·期末）小欣在高速服务区喝水，用了服务区提供的这款圆锥形的一次性纸杯（如图）。小欣测得纸杯的底面直径是8厘米，高是12厘米。请计算出这个纸杯的容积。 【答案】200.96毫升 【分析】由图可知，纸杯是一个圆锥体，圆锥的体积公式为V＝πr2h（r表示底面半径，h表示高，π取3.14）。已知底面直径是8厘米，可得底面半径为8÷2＝4厘米，高是12厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×12 ＝×3.14×16×12 ＝4×3.14×16 ＝12.56×16 ＝200.96（立方厘米） 200.96立方厘米＝200.96毫升 答：这个纸杯的容积是200.96毫升。 题型四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·湖北武汉·期中）一块圆柱形橡皮泥，底面积是4cm2，高是3cm，可以把它捏成底面积和高分别是（    ）的圆锥形。 A．6cm2和6cm B．4cm2和3cm C．6cm2和1cm D．4cm2和1cm 【答案】A 【分析】已知一块圆柱形橡皮泥，底面积是4cm2，高是3cm，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出圆柱的体积为4×3＝12cm3，即橡皮泥的体积；将橡皮泥捏成圆锥形，体积不变，然后根据“圆锥体积＝×底面积×高”分别计算出各选项中圆锥的体积，找出体积是12cm3的圆锥形。 【详解】4×3＝12（cm3） A．×6×6＝12（cm3） B．×4×3＝4（cm3） C．×6×1＝2（cm3） D．×4×1＝（cm3） 因此，可以把它捏成底面积和高分别是6cm2和6cm的圆锥形。 故答案为：A 【跟踪训练】（24-25六年级下·河南南阳·期中）一个圆锥形的碎石堆，底面直径是10米，高是1.5米。用这堆碎石去铺一条10米宽的公路，铺的厚度是10厘米。这堆碎石能铺路多少米？ 【答案】39.25米 【分析】一个圆锥形的碎石堆，底面直径是10米，那么底面半径为10÷2＝5米，高是1.5米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。把数据代入计算得碎石堆的体积为：×3.14×52×1.5＝×3.14×25×1.5＝39.25立方米。 铺路厚度10厘米，因为1米＝100厘米，10厘米为10÷100＝0.1米，铺路宽10米。碎石铺在公路上形成长方体，体积等于圆锥体积。长方体体积公式为V＝a×b×h（a是长，b是宽，h是高，这里的高就是铺路厚度），那么a＝V÷b÷h，把数据代入计算即可解答。 【详解】10÷2＝5（米） ×3.14×52×1.5＝×3.14×25×1.5＝39.25（立方米） 1米＝100厘米 10÷100＝0.1（米） 39.25÷10÷0.1＝39.25（米） 答：这堆碎石能铺路39.25米。 题型五、立体图形的切拼（圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·山东济南·期中）一个圆锥底面直径是4厘米，沿直径剖成两半后，表面积增加了12平方厘米，原来圆锥体的体积是( )立方厘米。 【答案】12.56 【分析】根据题意可知，增加的面积是两个底是4厘米，高是圆锥的高的三角形面积和；用增加的面积÷2，求出一个三角形的面积；再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，求出三角形的高，也就是圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】12÷2×2÷4 ＝6×2÷4 ＝3（厘米） 3.14×（4÷2）2×3× ＝3.14×22×3× ＝3.14×4×3× ＝12.56（立方厘米） 一个圆锥底面直径是4厘米，沿直径剖成两半后，表面积增加了12平方厘米，原来圆锥体的体积是12.56立方厘米。 【跟踪训练】（23-24六年级下·河北邯郸·期末）有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。 【答案】159.48 【分析】将正方体削成一个最大的圆锥体，圆锥的底面直径和高都等于正方体棱长，要削去的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3 ＝216－3.14×32×6÷3 ＝216－3.14×9×6÷3 ＝216－56.52 ＝159.48（立方分米） 要削去159.48立方分米。 题型六、组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】75.36cm3 【分析】该图形由一个圆柱和一个圆锥组成，且等底，底面直径为4cm，那么半径为4÷2＝2cm，圆柱高为5cm，圆锥高为3cm。圆柱体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为圆柱高，π取3.14），圆锥体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥高），把数据代入公式计算后，再把体积相加即可。 【详解】4÷2＝2（cm） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（cm3） ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（cm3） 62.8＋12.56＝75.36（cm3） 该图形的体积是75.36cm3。 【跟踪训练】（24-25六年级下·陕西安康·期中）计算下面图形的体积。（单位：分米） 【答案】81.64立方分米 【分析】已知圆柱和圆锥的底面直径都是4分米，圆柱的高是8分米，圆锥的高是4.5分米，这个图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积。先用直径÷2求出半径，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h，分别代入数据计算，求出体积，再相减即可。 【详解】（4÷2）2×3.14×8－×（4÷2）2×3.14×4.5 ＝22×3.14×8－×22×3.14×4.5 ＝4×3.14×8－×4×3.14×4.5 ＝100.48－18.84 ＝81.64（立方分米） 这个图形的体积是81.64立方分米。 题型七、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典型例题】（24-25六年级下·海南海口·期中）一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所示），如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【答案】1.2厘米 【分析】圆锥形铝块的放入使得杯子中水面上升，那么把铝块从水中取出，相当于与铝块同等体积的水排除，所以水面下降。先根据求出圆锥的体积，它等于下降那部分水的体积，变化圆柱体积，得到下降水面的高度，据此解答。 【详解】 （立方厘米） （厘米） 答：容器中的水面高度将下降1.2厘米。 【跟踪训练】（23-24六年级下·河南许昌·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【详解】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·福建厦门·期中）在下面图形中，沿着给出的虚线为轴旋转一周，可以形成的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据图形绕轴旋转的特性，分析每个选项中的图形沿虚线旋转一周后形成的立体图形，与目标立体图形（上面是圆柱、下面是圆锥的组合体，且圆柱的底比圆锥的底小）进行对比。进而得出答案。 【详解】 A．该图形沿虚线旋转一周，会形成两个圆锥的组合体（上下各一个圆锥），与目标图形（上圆柱下圆锥）不同，不符合。 B．此图形沿虚线旋转一周，会形成两个圆柱的组合体（上下各一个圆柱），不是上圆柱下圆锥，不符合。 C．这个图形沿虚线旋转，上面的长方形旋转形成圆柱，下面的三角形旋转形成圆锥，但旋转后圆柱的底和圆锥的底相等，不符合。 D．该图形沿虚线旋转一周，形成的是一个圆柱和一个圆锥，圆锥与圆柱的位置和目标图形一致，符合。 所以图形沿着虚线为轴旋转一周，可以形成。 故答案为：D 2．（24-25六年级下·河南信阳·期末）如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（    ）。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 【答案】D 【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。 【详解】图①：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝12π 图②：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝36π 图③：π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π 图④：π×（4÷2）2×3 ＝π×22×3 ＝π×4×3 ＝12π A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确； B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确； C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确； D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误； 故答案为：D 3．（24-25六年级下·黑龙江鸡西·期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，当圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。据此解题。 【详解】把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，那么这个圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，所以圆锥的高是圆柱高的3倍，即高将扩大到原来的3倍。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·河北保定·期中）底面积相等的圆柱和圆锥，体积的比是1∶1，圆锥体的高是18厘米，那么圆柱的高是（    ）厘米。 A．6 B．18 C．9 D．54 【答案】A 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。现在圆柱和圆锥底面积相等，体积比是1∶1，也就是体积相等。那我们可以根据圆柱和圆锥的体积公式来分析它们高的关系，进而求出圆柱的高，据此解答。 【详解】圆锥的体积公式是V锥＝Sh锥（S是底面积，h_锥是圆锥的高），圆柱的体积公式是V柱＝Sh柱（h柱是圆柱的高）。因为圆柱和圆锥底面积S相等，体积V柱＝V锥，所以Sh柱＝Sh锥。两边同时÷S（S不为0），得到h柱＝h锥。已知圆锥的高h锥＝18厘米，那么圆柱的高h柱＝×18＝6（厘米）。 故答案为：A 5．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）把一个圆柱形木块削成最大的圆锥后，体积减少了4.8立方分米，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．2.4 B．1.6 C．7.2 D．9.6 【答案】A 【分析】当把圆柱削成最大的圆锥时，这个圆锥与原来圆柱是等底等高的。等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是这样的3份，3－1＝2，则削去部分的体积是2份，2÷1＝2，即削去部分的体积是圆锥体积的2倍。已知削去部分体积是4.8立方分米，而削去部分体积是圆锥体积的2倍，所以圆锥体积为4.8÷2＝2.4（立方分米）。 【详解】3－1＝2 2÷1＝2 4.8÷2＝2.4（立方分米） 即圆锥的体积是2.4立方分米。 故答案为：A 二、判断题 6．（24-25六年级下·河南驻马店·期中）一个圆锥的体积是48cm3，高是8cm，那么底面积是6cm2。( ) 【答案】× 【分析】根据圆锥体积公式V＝Sh，已知体积和高求底面积时，需用体积除以再除以高。代入数据计算可得实际底面积为18cm2，与题目中的6cm2不符。 【详解】48÷÷8 ＝48×3÷8 ＝144÷8 ＝18（cm2） 所以，这个圆锥的底面积是18cm2，而不是6cm2。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·江西九江·期中）圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。( ) 【答案】× 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，由此可知，等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，不等底等高的圆柱的体积不一定是圆锥体积的3倍，据此解答。 【详解】根据分析可知，等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。 原题干说法错误。 故答案为：× 8．（23-24六年级下·内蒙古阿拉善盟·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48dm3，那么这个圆柱的体积是12dm3。( ) 【答案】× 【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。将体积之和看作（3＋1）份，求出每份对应的体积，再计算圆柱的体积即可判断。 【详解】48÷（3＋1） ＝48÷4 ＝12（dm³） 12×3＝36（dm³） 题目中圆柱体积写为12dm³，与计算结果不符， 故答案为：× 三、填空题 9．（24-25六年级下·江西九江·期末）李奶奶收获的稻谷堆成了圆锥体，高是5分米，底面半径是3分米，这堆稻谷的体积是( )立方分米，如果每立方分米稻谷重2千克，这堆稻谷重( )千克。 【答案】 47.1 94.2 【分析】稻谷堆成了圆锥体，圆锥的体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r表示底面半径，h表示高）。已知底面半径为3分米，高为5分米，把数据代入公式计算即可得出这堆稻谷的体积，每立方分米稻谷重2千克，然后用体积与2相乘即可解答。 【详解】×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝3.14×3×5 ＝9.42×5 ＝47.1（立方分米） 2×47.1＝94.2（千克） 这堆稻谷的体积是47.1立方分米，如果每立方分米稻谷重2千克，这堆稻谷重94.2千克。 10．（24-25六年级下·湖南娄底·期末）一个圆柱形容器的底面直径为10cm，高为20cm，一个圆锥形容器的底面直径也为10cm。小亮先用这个圆柱形容器装满水，然后将圆锥形容器灌满，结果如图所示。则这个圆锥形容器高( )cm。（容器壁厚度忽略不计） 【答案】30 【分析】根据图可知，圆柱形容器的水倒入圆锥形容器中，圆柱形容器里的水正好一半倒入圆锥形容器中，所以圆锥形容器内的水的体积等于圆柱形容器内水的体积的一半；根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出圆柱形容器内水的体积，进而求出圆锥形容器内水的体积，再根据圆锥的体积＝底面积×高×，高＝圆锥的容积÷÷底面积，据此求出圆锥形容器的高。 【详解】3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝3.14×52×20÷2 ＝3.14×25×20÷2 ＝78.5×20÷2 ＝1570÷2 ＝785（cm3） 785÷÷[3.14×（10÷2）2] ＝785÷÷[3.14×52] ＝785÷÷[3.14×25] ＝785÷÷78.5 ＝785×3÷78.5 ＝2355÷78.5 ＝30（cm） 这个圆锥形容器的高是30cm。 11．（24-25六年级下·甘肃天水·期中）一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是( )cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是( )dm。 【答案】 54 4 【分析】一个圆柱削成一个最大的圆锥，说明这个圆锥和圆柱等底等高。等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，那么削去部分是圆柱体积的（1－）。将圆锥的体积乘3，先求出圆柱的体积，再将圆柱的体积乘（1－），求出削去部分的体积。 如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。将圆锥的高除以3，即可求出圆柱的高。 【详解】27×3×（1－） ＝81× ＝54（cm3） 12÷3＝4（dm） 一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是54cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是4dm。 12．（24-25六年级下·广西贵港·期中）等底等高的一个圆柱体和一个圆锥，已知它们的体积差是16立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】24 【分析】在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥体积是圆柱体积的，即圆锥体积∶圆柱体积＝1∶3。把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，那么圆柱体积比圆锥体积多3－1＝2份。已知它们的体积差是16立方分米，对应2份，1份（圆锥体积）就是16÷2＝8立方分米。圆柱体积占3份，用8乘3即可得出圆柱的体积。 【详解】在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥体积是圆柱体积的。 ＝1∶3 3－1＝2（份） 16÷2＝8（立方分米） 8×3＝24（立方分米） 所以圆柱的体积是24立方分米。 13．（24-25六年级下·河南南阳·期中）一堆煤呈圆锥形，高为2m，底面周长为18.84m，这堆煤的体积是( )m3。已知每立方米的煤大约重1.4t，这堆煤大约重( )t。（得数保留整数） 【答案】 18.84 26 【分析】圆锥底面是圆形，已知底面周长为18.84m，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为底面半径），则：r＝C÷2÷π，即18.84÷2÷3.14＝3m。 圆锥体积公式为V＝πr2h（h为圆锥的高）。已知底面半径为3m，高为2m，把数据代入公式计算得出这堆煤的体积。每立方米的煤大约重1.4t，用1.4乘煤的体积即可解答。 【详解】18.84÷2÷3.14＝3（m） ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝3×3.14×2 ＝18.84（m3） 1.4×18.84≈26（t） 这堆煤的体积是18.84m3，大约重26t。 四、计算题 14．（24-25六年级下·新疆阿克苏·期中）计算圆锥的体积。（单位：厘米） 【答案】188.4立方厘米 【分析】由图可知，这个圆锥的底面半径是6厘米，高为5厘米，根据圆锥的体积公式：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积。 【详解】×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方厘米） 即这个圆锥的体积188.4立方厘米。 15．（24-25六年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算下面图形的体积。 【答案】15.7cm3 【分析】观察图形可知，该图形是由圆柱和圆锥组成，且同底。底面直径为2cm，那么半径为2÷2＝1cm。圆柱的高为4cm。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式计算即可得出圆柱的体积。圆锥的高为3cm，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可得出圆锥的体积。然后把圆柱体积和圆锥体积相加即可得出整个图形的体积。 【详解】2÷2＝1（cm） 3.14×12×4＝3.14×1×4＝12.56（cm3） ×3.14×12×3＝×3.14×1×3＝3.14（cm3） 12.56＋3.14＝15.7（cm3） 该图形的体积是15.7cm3。 五、解答题 16．（24-25六年级下·湖南郴州·期末）某工地有一堆圆锥形细沙，其底面半径1米，高0.6米，若每立方米细沙重1.5吨，这堆细沙重多少吨？ 【答案】0.942吨 【分析】圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据列式求出细沙的体积，再用细沙的体积乘每立方米细沙的质量即可解答。 【详解】3.14×12×0.6××1.5 ＝3.14×1×0.6××1.5 ＝3.14×0.6××1.5 ＝1.884××1.5 ＝0.628×1.5 ＝0.942（吨） 答：这堆细沙重0.942吨。 17．（24-25六年级下·辽宁鞍山·期中）把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】圆锥的体积等于圆柱的体积，利用求出圆柱的体积。圆锥，所以，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 18．（24-25六年级下·河北唐山·期中）一个长方体水槽（尺寸如图）中装有一部分水，水中浸没着一个高为25厘米的圆锥形铅锤，当铅锤被取出后，水面下降了3厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】216平方厘米 【分析】水面下降的体积就是铅锤的体积，铅锥的体积＝水槽底面积×水面下降的高度，再根据圆锥的底面积＝体积×3÷高，即可求出铅锤的底面积。 【详解】30×20×3＝1800（立方厘米） 1800×3÷25＝216（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是216平方厘米。 19．（24-25六年级下·河南南阳·期末）用底面直径和高都是12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器（如图）。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细沙高3厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？（π取3.14） 【答案】7厘米 【分析】分析题目，先根据圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据求出底面直径是12厘米高是12厘米的圆锥和底面直径是12厘米高是3厘米的圆柱的体积，并相加即可得到细沙的体积；如果把这个容器倒立，则圆柱在下面圆锥在上面，圆柱的底面积＝π（d÷2）2，用细沙的体积除以圆柱的底面积即可得到细沙的高度。 【详解】3.14×（12÷2）2×12×＋3.14×（12÷2）2×3 ＝3.14×62×12×＋3.14×62×3 ＝3.14×36×12×＋3.14×36×3 ＝1356.48×＋339.12 ＝452.16＋339.12 ＝791.28（立方厘米） 3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 791.28÷113.04＝7（厘米） 答：细沙的高度是7厘米。 试卷第1页，共3页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $