第20章 专题2 方程思想在勾股定理中的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(人教版·新教材)河北专版

2 第二十章　勾股定理 专题2　方程思想在勾股定理中的应用 3 【方法指导】在直角三角形中，已知其中一边，若另外两条边可以用含同一未知数的式子表示，则可通过勾股定理列方程求解. 类型1　“单勾股”列方程 2 3 4 5 6 1 4 1. （1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3，则AB=________，AC=________； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=________，BC=________. 2 3 3 命题角度❶　由特殊角得边的等量关系 2 3 4 5 6 1 5 命题角度❷　由作图得边的等量关系 2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD长为半径作弧，交线段AC于点E. 若BC=5，CE=4，则AD的长为________. 8 2 3 4 5 6 1 6 3. 如图，OA⊥OB，OA=45 n mile，OB=15 n mile，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自点A出发沿AO匀速驶向小岛O，海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船. （1）请用尺规作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求我国海监船行驶的航程BC的长. 2 3 4 5 6 1 7 解：（1）点C的位置如图所示. （2）如图，连接BC. 设BC=x n mile， 则AC=x n mile，OC=OA-AC=（45-x）n mile. ∵OA⊥OB，∴∠O=90°，∴在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2， 即152+（45-x）2=x2，解得x=25. 因此，我国海监船行驶的航程BC的长为25 n mile. 2 3 4 5 6 1 8 【方法指导】当两个直角三角形有公共边（或相等的边）l时，在两个直角三角形中根据勾股定理分别表示出l2，把l2作为中间量列方程求解. 类型2　“双勾股”列方程 2 3 4 5 6 1 9 命题角度❶　共高型 4. 如图，在△ABC中，BC=4，AC=13，AB=15，则S△ABC=________. 24 【解析】如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 设CD=x，则BD=x+4. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2， 即AD2=152-（x+4）2. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2， 即AD2=132-x2. ∴152-（x+4）2=132-x2，解得x=5，∴AD=12， ∴S△ABC=BC×AD=×4×12=24. 2 3 4 5 6 1 10 命题角度❷　等长型 5.（邯郸武安期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4 m，若梯子的顶端沿墙下滑1 m，这时梯子的底端也向右滑1 m，则梯子AB的长度为________m. 5 2 3 4 5 6 1 11 6.如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的距离AM为5 km，城镇B到轨道的距离BN为10 km，MN的长度为12 km. （1）城镇A，B之间的距离为________km； 13 解：（1）提示：如图1，过点A作AE⊥BN，垂足为E， 则∠AEB=90°. 由题意，得AE=MN=12 km，NE=AM=5 km， ∴BE=BN-NE=10-5=5（km）. ∴在Rt△AEB中，AB===13（km）. 故城镇A，B之间的距离为13 km. 2 3 4 5 6 1 12 （2）现要在轨道MN段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离M点多远处？ 解：（2）如图2，连接PA，PB， 设PM=x km，则PN=（12-x）km. ∵PA=PB，∴AM2+PM2=PN2+BN2， ∴52+x2=（12-x）2+102，解得x=. 因此，中转站P应修建在离M点km处. 2 3 4 5 6 1 13 14 $