专题8.2.3 正方形（特殊的平行四边形）知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题--2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题8.2.3 正方形（特殊的平行四边形） （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：正方形的定义 2 知识点梳理02：正方形的性质 2 知识点梳理03：正方形的判定 2 知识点梳理04：特殊平行四边形之间的关系 2 知识点梳理05：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 2 题型讲练 3 题型1 根据正方形的性质求角度 3 题型2 根据正方形的性质求线段长 4 题型3 根据正方形的性质求面积 6 题型4 正方形折叠问题 8 题型5 求正方形重叠部分面积 10 题型6 根据正方形的性质证明 12 题型7 正方形的判定定理理解 14 题型8 证明四边形是正方形 15 题型9 添一个条件使四边形是正方形 17 题型10 根据正方形的性质与判定证明 19 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 22 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 26 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 29 分层训练 39 基础夯实 39 培优拔高 49 知识点梳理01：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点梳理02：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点梳理03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点梳理04：特殊平行四边形之间的关系 知识点梳理05：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. 题型1 根据正方形的性质求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【完整解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先根据证出，可得，由及可求的度数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】∵四边形正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 根据正方形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质． 根据题意得到，根据正方形的面积是10结合勾股定理列方程求解即可． 【完整解答】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是10， ∴． 即， 则 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，，求出，由正方形的性质可得，，从而可得，再分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【完整解答】解：由题意可得：，， ∴， ∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得； 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得：， 综上所述，当与全等时，t的值为或； 故选：D． 题型3 根据正方形的性质求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·四川成都·期末）七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是 【答案】16 【思路引导】可根据七巧板各板块面积与原正方形面积的关系来求解． 本题考查正方形的性质，七巧板，平行四边形的性质，解题的关键是理清图之间的关系和掌握相关知识的运用． 【完整解答】解：七巧板中，平行四边形图中⑥的面积占原正方形面积的 已知平行四边形面积是， 设原正方形纸板面积为S，则， 解得 所以，原正方形纸板的面积是 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要运用全等三角形的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理来求解．先根据全等三角形性质得出四边形边和角的关系，判断四边形形状，再通过设未知数结合已知条件列方程组求出直角边长度，最后用勾股定理求出四边形边长进而得到面积． 【完整解答】解：∵如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形， ∴，，， ，， ∴四边形是菱形，，， ∴ ∴四边形是正方形， ∵，， ∴设，， ∴， 解得， 在中，，， ∴， ∴四边形的面积是 故选：A． 题型4 正方形折叠问题 【典例精讲】如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【完整解答】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【完整解答】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型5 求正方形重叠部分面积 【典例精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【完整解答】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 【变式训练】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【完整解答】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【考点再现】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 题型6 根据正方形的性质证明 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在边长为1的正方形中，是边的中点，是边上一点（不与点，重合），射线与的延长线交于点． (1)求证：． (2)若是的中点，连接，当时，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用正方形的性质得到角相等、边相等，结合中点条件，通过证明三角形全等； （2）先结合（1）的全等结论推出的长度，再利用正方形边长及的条件求出的长度，进而得到与 的关系，结合直角三角形斜边中线性质证明边平行且相等，从而判定平行四边形． 【完整解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ． 是边的中点， ． 又， ． （2）证明：， ． ， ． ， ． 是的中点， ． 在中，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【考点再现】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定，解题关键是利用正方形的边与角的性质，结合全等三角形和直角三角形的性质，推导线段与角的关系，进而判定平行四边形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．试探究与之间的数量与位置关系，并说明理由． 【答案】，．理由见解析 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，再通过角的等量代换推导线段的垂直关系． 通过正方形的性质找到全等三角形的条件，证明三角形全等以推导线段的数量关系，再利用角的等量代换分析线段的位置关系． 【完整解答】解：，． 理由如下：四边形是正方形， ，． 又， ， ，． ， ， ， ． 题型7 正方形的判定定理理解 【典例精讲】（23-24八年级下·河南开封·期末）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（   ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．①可表示对角线互相平分 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形和正方形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【完整解答】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B不符合题意； C、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列关于四边形的命题中，是真命题的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【思路引导】本题考查特殊四边形的判定，掌握菱形、矩形、正方形和平行四边形的判定定理是解题关键，根据特殊四边形的判定定理，逐一分析各选项命题的真假． 【完整解答】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A是假命题； B、对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形，故B是假命题； C、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故C是真命题； D、两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，可能只是对角线性质特殊的四边形，故D是假命题． 故选：C． 题型8 证明四边形是正方形 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是 形． 【答案】正方 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，掌握各判定定理是解题的关键． 根据题意，，，则四边形是平行四边形，再根据，得到该四边形为矩形，最后根据是的角平分线，可得到，即可得到该四边形为正方形． 【完整解答】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， 是的角平分线， ∴， ， ， ， ， 又四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方． 【变式训练】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【思路引导】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【完整解答】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 题型9 添一个条件使四边形是正方形 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 【答案】90° 【思路引导】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【完整解答】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【考点再现】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【完整解答】解：、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， 但当 ，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 题型10 根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，见解析 (2) 【思路引导】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【完整解答】（1）解：四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）解：如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【变式训练】（2025八年级下·广西·专题练习）如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据正方形的性质和已知条件可证得，于是得到，可证得四边形是菱形，再证得，即可证明四边形是正方形． （2）先求出，由勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【完整解答】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形． （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    【答案】 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 【完整解答】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 【变式训练】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的大小．（直接写出结果即可） 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路引导】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可； （2）结论：．证明，即可解决问题； （3）连接，过点B作交的延长线于H，作于T，证明，得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，求出，再求出，即可得出答案． 【完整解答】（1）证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：结论：． 由旋转的性质可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点B作交的延长线于H，作于T， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴． 【考点再现】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【思路引导】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【完整解答】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 【变式训练】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况： 在上，，四边形是正方形，； 在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【完整解答】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】100平方厘米 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，解此题的关键是求出四边形的面积等于正方形的面积． 过作于，求出四边形是矩形，求出，根据证，得出的面积等于的面积，，求出四边形的面积等于正方形的面积，即可求出答案． 【完整解答】解：过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ∴的面积等于的面积，， ∴矩形是正方形， ∴四边形的面积． 【变式训练】如图，矩形的对角线交于点O， (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，试说明四边形的形状并求其面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，面积为9 【思路引导】此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的性质与判定，关键是掌握特殊四边形的性质和判定方法． （1）根据对边平行得四边形是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得，所以四边形是菱形； （2）根据菱形对角线平分每一组对角可知．从而可得，即可得出四边形为正方形，进而求出面积． 【完整解答】（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 是菱形； （2）四边形为正方形． ∵是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∴菱形为正方形， 在矩形中，，， ∴， ∴正方形面积． 【演练1】（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【思路引导】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【完整解答】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【考点再现】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【演练2】（2022·湖北随州·中考真题）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（    ） A．只有① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【思路引导】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形MPEB是平行四边形但不是菱形，最后再证明四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的即可． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形， ∵， ∴∠APF＝∠APE＝90°， ∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴EF是△BCD的中位线，CE＝BC，CF＝CD， ∴ CE＝CF， ∵∠C＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形，     ∴EFBD，EF＝BD， ∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°， ∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形， ∴AO＝BO，AO＝DO， ∴BO＝DO， ∵M，N分别为BO，DO的中点， ∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO， ∴OM＝BM＝ON＝ND， ∵∠BAO＝∠DAO＝45°， ∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM， 连接PC，如图， ∴NF是△CDO的中位线， ∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND， ∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°， ∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°， ∴四边形FNOP是矩形， ∴四边形FNOP是正方形， ∴NF＝ON＝ND， ∴△DNF是等腰直角三角形， ∴图中的三角形都是等腰直角三角形； 故①正确， ∵PEBM，PE＝BM， ∴四边形MPEB是平行四边形， ∵BE＝BC，BM＝OB， 在Rt△OBC中，BC＞OB， ∴BE≠BM， ∴四边形MPEB不是菱形； 故②错误， ∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°， ∴△MOP≌△CPF（SAS）， ∴ ， 故③正确， 故选：C 【考点再现】此题考查了七巧板，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键． 【演练3】（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ． 【答案】2 【思路引导】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【完整解答】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AB＝3， 由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°， 在Rt△AFP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL）， ∴PF＝PD， 设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2， 故答案为：2． 【考点再现】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【演练4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【答案】(1)证明见详解 (2)四边形为正方形 【思路引导】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形． （2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形． 【完整解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【考点再现】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键． 【演练5】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．    (1)求证：； (2)当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【思路引导】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形．            理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形，        ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【考点再现】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 基础夯实 1．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【完整解答】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【完整解答】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（21-22八年级下·湖北荆州·期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．66 B．16 C．32 D．23 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股树，正方形的面积公式． 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【完整解答】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ，， 于是， 即可得． 故选：A． 4．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；⑥平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查了中心对称图形、矩形、菱形、正方形的判定方法，正确把握相关定义是解题关键．根据中心对称图形和轴对称图形的概念，矩形、菱形、正方形的判定方法，逐个分析，即可求解． 【完整解答】解：对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形满足此条件，但不是矩形，故原说法错误，①符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法正确，②不合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故原说法正确，③不合题意； 对角线相等的菱形是正方形，故原说法正确，④不合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法正确，⑤不合题意； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原说法错误，⑥符合题意； 综上，①和⑥说法错误． 故选：B． 5．（24-25八年级下·江西赣州·期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意得出这个大四边形是菱形，再结合，得这个大四边形是正方形，再结合面积之间的关系进行列式，即可作答． 【完整解答】解：依题意， ∵弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为， ∴， ∴， 依题意，这个大四边形的四边相等，则是菱形， ∵， 结合有一个角是度的菱形是正方形，即这个大四边形是正方形， ∴大正方形的面积为，四个直角三角形的面积是， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【考点再现】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 7．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①③⑤⑥ 【思路引导】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形，利用它们的判定与性质是解题关键．根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 【完整解答】①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确； ②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，说法正确； ④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误； ⑤平行四边形对角相等，说法正确； ⑥菱形每一条对角线平分一组对角，说法正确， 故答案为：①③⑤⑥． 8．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①②或①③，证明见解析 【思路引导】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定： （1）利用三角形中位线即可证明； （2）选①②：根据四边形为平行四边形，平分，可得四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；选①③：根据四边形为平行四边形，，可得四边形是矩形，再由及三角形中位线的性质可得，从而可证四边形是正方形；选②③：不能证明四边形是正方形． 【完整解答】（1）分别是的中点， 都是的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）选择①②： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 又∵， 四边形是正方形． 选择①③： 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， 点分别是的中点， 是的中位线， 四边形是正方形． 选②③： 四边形为平行四边形，平分， 四边形是菱形， 点分别是的中点， 是的中位线， 故四边形不一定是正方形． 9．（23-24八年级下·广东惠州·月考）如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)若且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】此题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形性质，菱形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理是解题关键． （1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可； （2）利用菱形的判定方法得出即可； （3）利用正方形的判定方法得出即可． 【完整解答】（1）证明：∵平行四边形， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）证明：根据解析（1）可知：为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）证明：∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴根据解析（2）可知，当时，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【思路引导】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【完整解答】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 培优拔高 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【完整解答】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【思路引导】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【完整解答】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 3．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，的对角线、交于点，，要使为正方形还需增加一个条件．在条件①；②；③；④中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【思路引导】先根据已知条件判断平行四边形为矩形，再逐一分析每个条件，看能否使矩形成为正方形． 【完整解答】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴ ， 又∵ 平行四边形对角线互相平分，即，， ∴ ， ∴ 平行四边形是矩形． ①，矩形的邻边相等，则为正方形，故①正确； ②，矩形的对角线互相垂直，则为正方形，故②正确； ③，矩形本身对角线相等，不能判定为正方形，故③错误； ④，矩形本身角为直角，不能判定为正方形，故④错误． 故选：A． 【考点再现】本题主要考查了平行四边形、矩形、正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广西·期中）如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查正方形的性质、路径最短问题、勾股定理，掌握利用轴对称解决路径最短问题时解题的关键． 由正方形的性质可知，点B与点D关于对称，由轴对称的性质可知，当点E、P、D在一条直线上时，有最小值，最后根据勾股定理求得最小值即可． 【完整解答】解：连接交于点，如图所示： 在正方形中，点B与点D关于对称， 、， ， ， ， 由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，有最小值， 最小值为， 在中，， 因此的最小值是． 故答案为：． 5．如图，在中，，，点是的中点，点，分别在，上运动（点不与点，重合），且保持．连接，，．在此运动变化过程中，有下列结论：①四边形有可能成为正方形；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是定值；④和一定全等．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①②③ 【思路引导】①连接，当为中点，为中点时，四边形为正方形；②由定理可证和全等，从而可证．所以是等腰直角三角形；③由②，就有，再通过等量代换就可以求出结论；④根据已知条件不能判定和全等，于是得到结论． 【完整解答】解：①连接， ∵，是的中点， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 当分别为中点时， ， ， ∴四边形是正方形，故此选项正确； ②∵是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形．故此选项正确； ③∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵． ∴四边形的面积是定值 4 ，故本选项正确； ④∵， 但不一定等于， ∴和不一定全等，故本选项错误． 故答案为：①②③． 【考点再现】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形的面积等于正方形面积是解题关键． 6．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定； （1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证明四边形是菱形，进而可得，即可求解． 【完整解答】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 若四边形是正方形，则， 又四边形是菱形， ， ， ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【思路引导】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得出四边形的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形； （2）根据和的长度，算出的长度，用勾股定理求出四边形的边长，再计算其周长． 【完整解答】（1）（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ，， 四边形是菱形． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：，， ， ． 四边形是正方形， 四边形的周长． 【考点再现】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的边与角的性质、全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【答案】(1)当时，四边形为正方形，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【完整解答】（1）当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形； （2）延长交于点H，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理即可求出的长． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形． （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，． 10．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），证明见解析 【思路引导】对于（1），根据菱形的性质可知，再根据“边角边”证明，可得答案； 对于（2）（ⅰ），延长交于点G，可得，由（1）可知，再根据旋转得，即可得，然后根据三角形外角的性质得； 对于（2）（ⅱ），根据题意可知四边形是正方形，可得，由（2）①可知， 再根据，可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，得出，进而得出，可知是线段的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【考点再现】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2.3 正方形（特殊的平行四边形） （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：正方形的定义 2 知识点梳理02：正方形的性质 2 知识点梳理03：正方形的判定 2 知识点梳理04：特殊平行四边形之间的关系 2 知识点梳理05：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 2 题型讲练 3 题型1 根据正方形的性质求角度 3 题型2 根据正方形的性质求线段长 3 题型3 根据正方形的性质求面积 4 题型4 正方形折叠问题 5 题型5 求正方形重叠部分面积 5 题型6 根据正方形的性质证明 6 题型7 正方形的判定定理理解 7 题型8 证明四边形是正方形 7 题型9 添一个条件使四边形是正方形 8 题型10 根据正方形的性质与判定证明 8 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 10 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 11 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 11 分层训练 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点梳理02：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点梳理03：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点梳理04：特殊平行四边形之间的关系 知识点梳理05：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. 题型1 根据正方形的性质求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则 ． 题型2 根据正方形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 题型3 根据正方形的性质求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·四川成都·期末）七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是 【变式训练】（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 题型4 正方形折叠问题 【典例精讲】如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 题型5 求正方形重叠部分面积 【典例精讲】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【变式训练】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 题型6 根据正方形的性质证明 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在边长为1的正方形中，是边的中点，是边上一点（不与点，重合），射线与的延长线交于点． (1)求证：． (2)若是的中点，连接，当时，求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．试探究与之间的数量与位置关系，并说明理由． 题型7 正方形的判定定理理解 【典例精讲】（23-24八年级下·河南开封·期末）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（   ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．①可表示对角线互相平分 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列关于四边形的命题中，是真命题的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 题型8 证明四边形是正方形 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是 形． 【变式训练】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 题型9 添一个条件使四边形是正方形 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 题型10 根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【变式训练】（2025八年级下·广西·专题练习）如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    【变式训练】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的大小．（直接写出结果即可） 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式训练】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【变式训练】如图，矩形的对角线交于点O， (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，试说明四边形的形状并求其面积． 【演练1】（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【演练2】（2022·湖北随州·中考真题）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（    ） A．只有① B．①② C．①③ D．②③ 【演练3】（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ． 【演练4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【演练5】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．    (1)求证：； (2)当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 基础夯实 1．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 3．（21-22八年级下·湖北荆州·期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．66 B．16 C．32 D．23 4．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；⑥平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25八年级下·江西赣州·期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为 ．（用含的代数式表示） 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是 （填序号）． 8．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 9．（23-24八年级下·广东惠州·月考）如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)若且，求证：四边形是正方形． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 培优拔高 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 3．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，的对角线、交于点，，要使为正方形还需增加一个条件．在条件①；②；③；④中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 4．（23-24八年级下·广西·期中）如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 5．如图，在中，，，点是的中点，点，分别在，上运动（点不与点，重合），且保持．连接，，．在此运动变化过程中，有下列结论：①四边形有可能成为正方形；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是定值；④和一定全等．其中正确的结论序号是 ． 6．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 10．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $