专题8.2.2 菱形（特殊的平行四边形）知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦菱形这一特殊平行四边形，系统梳理其定义（有一组邻边相等的平行四边形）、性质（四条边相等、对角线垂直平分等）及判定（定义法、对角线垂直的平行四边形、四条边相等的四边形），构建从平行四边形到菱形的知识递进支架。 资料通过9类题型讲练（如性质求角度、判定证菱形等），结合典例与变式训练，融入中考真题及分层练习，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过分层训练查漏补缺，提升应用意识与解题能力。

专题8.2.2 菱形（特殊的平行四边形） （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：菱形的定义 1 知识点梳理02：菱形的性质 2 知识点梳理03：菱形的判定 2 题型讲练 3 题型1 利用菱形的性质求角度 3 题型2 利用菱形的性质求线段长 5 题型3 利用菱形的性质求面积 10 题型4 利用菱形的性质证明 13 题型5 证明四边形是菱形 16 题型6 添一个条件使四边形是羑形 20 题型7 根据菱形的性质与判定求角度 24 题型8 根据菱形的性质与判定求线段长 29 题型9 根据菱形的性质与判定求面积 33 分层训练 44 基础夯实 44 培优拔高 52 知识点梳理01：菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. 2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. 知识点梳理02：菱形的性质 2、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； 2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 知识点梳理03：菱形的判定 1.菱形的判定方法： 定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. 3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型1 利用菱形的性质求角度 【典例精讲】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【完整解答】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 【完整解答】解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 【答案】4.8 【思路引导】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【完整解答】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型2 利用菱形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，O是菱形的对角线、的交点，E是的中点，连接．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论． 【完整解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式训练1】（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)长为 【思路引导】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质和勾股定理等知识点的应用，解题的关键在于熟记判定性质． （1）根据矩形的性质求出，推出，，证明全等后得到，即可证明出菱形； （2）根据菱形的性质求出，在中，根据勾股定理得到即可求出． 【完整解答】（1）证明：四边形是矩形， ， 是的中垂线， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 设长为，则， 在中， 即， 解得：， 答：长为． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当t为10或16时，为直角三角形． 【思路引导】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论． （1）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题； （2）根据（1）的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找出等量关系列方程可以求出t的值． 【完整解答】（1）证明：由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）可知，四边形为平行四边形， 若，则为菱形， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴当时，，即四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）可知，四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当时，如图4， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ③当，点重合，点重合，此情况不成立； 综上所述：当t为10或16时，为直角三角形． 题型3 利用菱形的性质求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】16 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可解决问题． 【完整解答】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：16． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，四边形是菱形，，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得，，，由勾股定理得，通过即可得的长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【完整解答】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，四边形是菱形，，交于点，于点． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）由菱形的性质及勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可得出答案； （2）根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据等角的余角相等证明即可． 【完整解答】（1）解：四边形是菱形， ，，， ∵，， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ． 题型4 利用菱形的性质证明 【典例精讲】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，O为矩形的对角线交点，，，与互相垂直平分吗？请说明理由． 【答案】与互相垂直平分，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形和菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由四边形是矩形可得，，根据题意证得四边形是平行四边形，由可得四边形是菱形，最后根据菱形的性质即可求解． 【完整解答】解：与互相垂直平分，理由如下： 四边形是矩形， ，， 又，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ∴与互相垂直平分． 【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知四边形中，，为对角线，，点E为中点，连接交于点F，． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，当时，在不添加字母和辅助线的情况下，写出图中4对全等的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线性质得到，证明，则，继而等量代换证明四边形是平行四边形，再由邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，再证明，由传递性得到，还有一组（1）中的． 【完整解答】（1）证明：∵，点E为中点， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）得． 即：，，，． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，四边形是矩形，是其对角线的交点，过点直线分别与，的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求当四边形为菱形时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，，根据四边形是矩形可证明，得，然后证明四边形是平行四边形； （2）设，则，根据勾股定理求出，进而可得． 【完整解答】（1）证明：如图，连接，， 四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ∴； ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ． ． 【考点再现】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 题型5 证明四边形是菱形 【典例精讲】（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，勾股定理．解决此题的关键是注意结合方程思想． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，根据勾股定理，列方程求得运动的时间t． 【完整解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设t秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 【变式训练1】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在四边形中，，点O在上，过点O作分别交，于点E和点F，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长是32，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)18 【思路引导】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式的运用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出四边形是菱形； （2）首先根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理得到，然后结合完全平方公式求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵菱形的周长是32， ∴ ∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式训练2】（24-25八年级下·吉林·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路引导】本题是四边形综合题，主要考查作图——应用与设计作图，平行四边形和菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点C、D，连接、、，因为，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以， 即四边形是菱形； （2）取格点E、F，连接、、，因为，5×5的正方形网格中，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以，四边形ABEF是平行四边形， 因为，所以，平行四边形的面积，平行四边形即为所求； （3）取格点M、N，连接、、，得，，所以，四边形是平行四边形，不是菱形；因为，平行四边形的面积，所以，平行四边形即为所求． 【完整解答】（1）如图①，取格点C、D，连接、、， 菱形即为所求． （2）如图②中，取格点E、F，连接、、， 平行四边形即为所求． （3）如图③中，取格点M、N，连接、、， 平行四边形即为所求． 、 题型6 添一个条件使四边形是羑形 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【完整解答】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据菱形的判定依次进行证明即可； （2）根据菱形的性质得出，再由勾股定理得出，利用直角三角形斜边中线的性质即可求解 【完整解答】（1）解：选①作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选②平分作为条件 ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ③选作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵点为的中点， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在和中，，点是的中点，连接，，在上取一点，连接． (1)给出①；②；③从中选择两个作为条件，能够证明四边形是菱形，并说明理由；你选择的条件是______，______（只要填写序号）； (2)在（1）的条件下，连接，相交于点，若，的周长为30，求四边形的面积． 【答案】(1)①③（或②③）（答案不唯一）理由见解析 (2)120 【思路引导】（1）选择①，③，证明四边形是平行四边形，再根据直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半证明，即可由菱形的判定定理得出结论； 选择②；③同法可得证． （2）先根据直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求得，再根据四边形是菱形，得到，，，，即可由勾股定理得，然后根据三角形周长求得，代入即可求得、的长，从而求得、的长，最后由菱形的面积公式求解即可． 【完整解答】（1）解：选择①，③， 理由：∵，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：①③（答案不唯一）． 选择②，③． 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：②③（答案不唯一）． （2）解：∵，点是的中点， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴，，，， ∴ ∴， ∵的周长为30， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴或， ∴或10，或24， ∴四边形的面积或， ∴四边形的面积为120． 【考点再现】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 题型7 根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·北京西城·期末）已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 【答案】(1)见解析 (2)；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 【思路引导】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接由 ，可得四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形），则平分，（菱形的每一条对角线平分一组对角） 即可解答． 【完整解答】（1）解：作图如图所示． （2）证明：连接，如图 ， 四边形是菱形． （四条边相等的四边形是菱形）． 平分 （菱形的每一条对角线平分一组对角） 即平分． 故答案为：；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 【变式训练1】（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在菱形中，E是的中点，的延长线交于点F，连接 (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足________时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，见解析 (3) 【思路引导】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【完整解答】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由：如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵．． ∴四边形是菱形 故答案为∶． 【变式训练2】（23-24八年级下·河南郑州·月考）如图，是的角平分线，点分别在上，且，． (1)指出图中的一个等腰三角形，并加以证明； (2)求证：； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【思路引导】（）由可得，再根据角平分线的定义得，即得，得到，即可求证； （），，可得四边形是平行四边形，得到，又由（）知，即可得到； （）由四边形是平行四边形，可得四边形是菱形，得到，进而得到，即可由得到是等边三角形，即得，最后根据平行线的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平行四边形、菱形的判定和性质是解题的关键． 【完整解答】（1）是等腰三角形． 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又由（）知， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 题型8 根据菱形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【思路引导】（1）根据作垂直平分线的步骤作图即可； （2）如图，记与的交点为，则，证明，则，由，证明四边形为菱形，设，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可求菱形的周长． 【完整解答】（1）解：如图，垂直平分线，点即为所作； （2）解：如图，与的交点为， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：， ∵， ∴菱形的周长为15． 【考点再现】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，分别为上的点，四边形为菱形． (1)请尺规作图画出D、E、F点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了尺规作图，菱形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）作平分线交于点E；作垂直平分线交于点D，交于点F，即可； （2）过E作于点H，根据角平分线的性质可得，再由勾股定理求出的长，再由，可得到，设菱形边长为x，则，在中，由勾股定理求出x的值，即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，点D、E、F即为所求； 理由：由作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：过E作于点H， ∵平分，， ∴， 在中， 根据勾股定理得， ， ， 则， 设菱形边长为x，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即菱形的边长为． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北承德·期末）已知：如图，中，O为对角线的交点，平分． (1)求证：是菱形． (2)在上截取，在上截取．连结．判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，菱形的判定和性质以及正方形的判定，灵活运用各性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，等量代换得到，然后根据等角对等边及菱形的判定定理得出结论； （2）根据菱形的性质可得，求出，即可判定四边形是正方形． 【完整解答】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴，          ∵平分， ∴， ∴， ∴，           ∴平行四边形是菱形． （2）解：四边形是正方形， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，   ∴平行四边形是菱形，   ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 题型9 根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，．是边上的中线，是的中点．连接并延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：四边形是菱形． (3)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形的面积为24． 【思路引导】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得四边形是平行四边形； （2）根据直角三角形斜边中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解； （3）通过四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【完整解答】（1）证明：F是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明： ，是中线， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是直角中线， ， ， ，， 四边形是菱形， ∴菱形的面积为． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，点 是边上的点，连接并延长交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若 ，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】（）由矩形性质可得，则，然后证明，则，故有四边形是平行四边形，又点 是对角线 的中点，则垂直平分，所以，从而可证明四边形 是菱形； （）设，则，，由勾股定理得，即有，然后解出即可． 【完整解答】（1）证明：∵是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点是对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴四边形的周长为． 【考点再现】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【演练1】（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【完整解答】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 【演练2】（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】（1）先证明四边形为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得，进而由菱形的判定定理得结论； （2）根据（1）可得，，证明，再根据勾股定理求解即可． 【完整解答】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵， 根据（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点再现】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【演练3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 【答案】见解析 【思路引导】选择甲：由，是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、，交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【完整解答】证明：选择甲：如图1， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选择乙：如图，连接、，交于， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【考点再现】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【演练4】（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【完整解答】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【考点再现】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 【演练5】（2022·四川凉山·中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路引导】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论； （2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可． 【完整解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【考点再现】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 基础夯实 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，即可得出结论． 【完整解答】解：A、由菱形的对角相等可得，选项说法正确，不符合题意； B、由菱形的邻角互补可得，选项说法不正确，符合题意； C、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； D、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点．若菱形的周长为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．根据菱形的性质以及周长可得，根据分别是的中点，可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【完整解答】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【完整解答】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，由作图可知，平分，证明四边形是菱形，进而求解即可． 【完整解答】解：由作图可知，平分，故B正确， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，故C，D正确． 无法判断是等边三角形，故A错误． 故选：A． 5．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】20 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【完整解答】解：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， 又点是中点， ， 四边形是菱形． ，， 设，则，， 在中，利用勾股定理得到：， 解得， 则（舍去负值）． 则． 故四边形的周长． 故答案为：20． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【思路引导】本题考查的是菱形的判定，作一条线段等于已知线段，根据作图可得，结合菱形的判定可得结论. 【完整解答】解：由作图可知， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）． 故答案为：四边相等的四边形是菱形 7．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 【思路引导】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，证明四边形是平行四边形，则有，然后根据证明即可； （2）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形． 【完整解答】（1）证明：的对角线，交于点O，，， ，四边形是平行四边形，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：当时，四边形为菱形；理由如下： 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 8．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【思路引导】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【完整解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 9．（24-25八年级下·广东汕头·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，F是的中点，过点A作AE∥BD交的延长线于点E．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，证明，可得，可得到四边形是平行四边形．再由四边形是菱形，可得，即可求证． 【完整解答】证明：∵， ， ∵F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴，即． ∴四边形是矩形． 10．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，过点作，分别交于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定． （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形是平行四边形，继而根据证明，即可得到； （2）根据，可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形是菱形． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 培优拔高 1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【完整解答】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 2．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．16 C．12 D．20 【答案】B 【思路引导】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分．根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【完整解答】解：∵四边形是菱形， ∴， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长， 故答案选：B． 3．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了中点四边形的性质以及三角形中位线定理和菱形的判定，利用三角形中位线定理以及菱形的判定得出即可． 【完整解答】解：∵E、F分别是的中点， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形． A、添加，则， ∴出四边形是矩形，无法得出四边形是菱形，故A不符合题意； B、添加，则， ∴四边形是菱形．故选项B符合题意； C、添加与互相平分，无法得出四边形是菱形，故C不符合题意； D、添加，无法得出四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，则下列说法中正确的是 ． ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是正方形； ③如果，则的最小值为； ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 【答案】①③④ 【思路引导】此题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答． 【完整解答】解：①∵， ∴四边形是平行四边形；故①正确； ②若，则平行四边形是矩形，不能得出四边形是正方形；故②错误； ③∵， ∴， ∵平行四边形是矩形， ∴， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确， ④若平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 则； 所以平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①③④． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【完整解答】如图，连接，设交于点， 由作图可知：，平分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【思路引导】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【完整解答】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【完整解答】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 8．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．由四边形是平行四边形，即可得, 易证得, 可得, 即可证得四边形是平行四边形，又由, 即可证得四边形是菱形. 【完整解答】证明：四边形是平行四边形， , , , , 又, 四边形是平行四边形， , 是菱形. 9．已知，矩形中，，的垂直平分线分别交，于点E、F，垂足为O． (1)如图1，连接，． ①四边形是什么特殊四边形？说明理由； ②求的长； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；② (2)秒 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质等等： （1）①由矩形的性质得到，则，再由线段垂直平分线的性质得到，证明，得到，即可证明四边形是菱形；②根据矩形性质得出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得：，求出方程的解即可； （2）分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． 【完整解答】（1）解：①四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点E、F，垂足为O， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是矩形， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴； （2）解：显然当P点在上时，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上，Q在上时不构成平行四边形， ∴只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴，， ∴， 解得：． ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，点停止运动．过点作于点． (1)填空： ， （用含有的式子表示）； (2)是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若在某一时刻，平面内存在一点，使四点构成的四边形是矩形，求出的值． 【答案】(1)； (2)存在，时，四边形是菱形 (3)的值为或 【思路引导】（1）证明是等边三角形，推出，可得结论； （2）存在，当时，四边形是菱形，构建方程求解即可； （3）分两种情形，当时，当时，存在一点，使四点构成的四边形是矩形，分别构建方程求解． 【完整解答】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：；； （2）存在某一时刻，使四边形为菱形；理由如下： ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ， 解得：， 时，四边形是菱形； （3）解：当时，存在一点，使四点构成的四边形是矩形， 如图1所示： 此时为矩形的两条邻边， ， ， 点一定在上， ， 四边形为矩形， 此时点在点上， ， ， ； 当时，存在一点，使四点构成的四边形是矩形，如图2所示： 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，满足条件的的值为或． 【考点再现】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2.2 菱形（特殊的平行四边形） （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：菱形的定义 1 知识点梳理02：菱形的性质 2 知识点梳理03：菱形的判定 2 题型讲练 3 题型1 利用菱形的性质求角度 3 题型2 利用菱形的性质求线段长 4 题型3 利用菱形的性质求面积 5 题型4 利用菱形的性质证明 6 题型5 证明四边形是菱形 8 题型6 添一个条件使四边形是羑形 9 题型7 根据菱形的性质与判定求角度 10 题型8 根据菱形的性质与判定求线段长 12 题型9 根据菱形的性质与判定求面积 14 分层训练 17 基础夯实 17 培优拔高 20 知识点梳理01：菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. 2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. 知识点梳理02：菱形的性质 2、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； 2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 知识点梳理03：菱形的判定 1.菱形的判定方法： 定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. 3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型1 利用菱形的性质求角度 【典例精讲】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 题型2 利用菱形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，O是菱形的对角线、的交点，E是的中点，连接．若，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 题型3 利用菱形的性质求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，四边形是菱形，，，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，四边形是菱形，，交于点，于点． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 题型4 利用菱形的性质证明 【典例精讲】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，O为矩形的对角线交点，，，与互相垂直平分吗？请说明理由． 【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知四边形中，，为对角线，，点E为中点，连接交于点F，． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，当时，在不添加字母和辅助线的情况下，写出图中4对全等的三角形． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，四边形是矩形，是其对角线的交点，过点直线分别与，的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求当四边形为菱形时的值． 题型5 证明四边形是菱形 【典例精讲】（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【变式训练1】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在四边形中，，点O在上，过点O作分别交，于点E和点F，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长是32，，求的值． 【变式训练2】（24-25八年级下·吉林·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 题型6 添一个条件使四边形是羑形 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【变式训练1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在和中，，点是的中点，连接，，在上取一点，连接． (1)给出①；②；③从中选择两个作为条件，能够证明四边形是菱形，并说明理由；你选择的条件是______，______（只要填写序号）； (2)在（1）的条件下，连接，相交于点，若，的周长为30，求四边形的面积． 题型7 根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·北京西城·期末）已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 【变式训练1】（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在菱形中，E是的中点，的延长线交于点F，连接 (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足________时，四边形是菱形． 【变式训练2】（23-24八年级下·河南郑州·月考）如图，是的角平分线，点分别在上，且，． (1)指出图中的一个等腰三角形，并加以证明； (2)求证：； (3)若，，求的度数． 题型8 根据菱形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，分别为上的点，四边形为菱形． (1)请尺规作图画出D、E、F点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求菱形的边长． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北承德·期末）已知：如图，中，O为对角线的交点，平分． (1)求证：是菱形． (2)在上截取，在上截取．连结．判断四边形的形状并证明． 题型9 根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，．是边上的中线，是的中点．连接并延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：四边形是菱形． (3)若，求菱形的面积． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，点 是边上的点，连接并延长交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若 ，，求四边形的周长． 【演练1】（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【演练2】（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【演练3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 【演练4】（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【演练5】（2022·四川凉山·中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 基础夯实 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点．若菱形的周长为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 5．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 8．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 9．（24-25八年级下·广东汕头·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，F是的中点，过点A作AE∥BD交的延长线于点E．求证：四边形是矩形． 10．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，过点作，分别交于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 培优拔高 1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．16 C．12 D．20 3．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，则下列说法中正确的是 ． ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是正方形； ③如果，则的最小值为； ④如果是的平分线，那么四边形是菱形． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为 ． 6．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 8．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 9．已知，矩形中，，的垂直平分线分别交，于点E、F，垂足为O． (1)如图1，连接，． ①四边形是什么特殊四边形？说明理由； ②求的长； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，点停止运动．过点作于点． (1)填空： ， （用含有的式子表示）； (2)是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若在某一时刻，平面内存在一点，使四点构成的四边形是矩形，求出的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $