专题8.2.1 矩形（特殊的平行四边形）知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题8.2.1 矩形（特殊的平行四边形） （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：矩形的定义 2 识点梳理02：矩形的性质 2 识点梳理03：矩形的判定 2 识点梳理04：两条平行线间的距离 3 题型讲练 4 题型1 矩形性质理解 4 题型2 利用矩形的性质求角度 6 题型3 根据矩形的性质求线段长 8 题型4 根据矩形的性质求面积 10 题型5 利用矩形的性质证明 13 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 15 题型7 矩形与折叠问题 17 题型8 矩形的判定定理理解 20 题型9 证明四边形是矩形 22 题型10 添一条件使四边形是矩形 24 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 28 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 31 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 34 分层训练 41 基础夯实 41 培优拔高 50 知识点梳理01：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点拨】 （1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件： ①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 识点梳理02：矩形的性质 性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. 3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. 4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 识点梳理03：矩形的判定 矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 识点梳理04：两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. 4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. 5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 题型1 矩形性质理解 【典例精讲】（23-24八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【思路引导】本题主要考查了中点坐标公式，平行四边形和矩形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形对角线互相平分是解题的关键． （1）根据中点坐标公式计算，即可求解； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论即可． 【完整解答】（1）解：在矩形中，， ∵点的坐标为，点O的坐标为， ∴点M的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点D的坐标为， 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为中点，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)菱形的周长为4． 【思路引导】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确利用好各个几何性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【完整解答】（1）解：∵四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接， 四边形是菱形， ，， 为中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 菱形的周长． 题型2 利用矩形的性质求角度 【典例精讲】．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【完整解答】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形． (1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）以为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）设，分别表示出，即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即平分， （2）解：设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 题型3 根据矩形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【思路引导】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【完整解答】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，直线（k，b为常数，且）与x轴，y轴分别交于点、． (1)求直线l的函数解析式； (2)点P是第一象限内直线l上的动点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象，矩形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法求一次函数的解析式的步骤，逐步求解即可； （2）由题意得：，得到，，继而推导出或，得到或，求出m的值即可． 【完整解答】（1）解：由题意可得， 解得， ∴直线l的函数解析式为； （2）解：由题意得：， 轴，轴， ，， 矩形的一边长是另一边长的2倍， 或， 或， 解得：或． 题型4 根据矩形的性质求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·福建福州·期末）图1、图2是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合）． (1)在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，使其周长为20． (2)在图2画出一个周长为20，面积为24的矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了网络作图：在格点图中画特殊四边形，掌握特殊四边形的判定与性质是关键． （1）由勾股定理得，则其邻边，只要把线段向右平移5个单位长度即可，且其周长为20； （2）画出长为6宽为4的长方形即可，矩形的面积即为24． 【完整解答】（1）解：如图平行四边形即为所求． （2）解：如图矩形即为所求． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在矩形中，是中点，点沿从出发向运动，速度为每秒1个单位，到达点立即停止运动，连接． (1)设的面积为，点的运动时间为（秒），写出和的函数关系式，并注明的取值范围； (2)运动时间为多少秒时，？ (3)运动时间为多少秒时，？ 【答案】(1) (2)2秒 (3)秒 【思路引导】本题考查矩形的性质，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识． （1）分别表示出，，，即可得，即可求解； （2）由，得，解得； （3）当时，根据勾股定理得，即可得，求解即可． 【完整解答】（1）解：根据已知得：，， ，，， ， 和的函数关系式为； （2）解：， ， 解得， 运动时间为2秒时，； （3）解：， ， 而，，， ， 解得， 运动时间为秒时，． 题型5 利用矩形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【思路引导】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定． （）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 【答案】 【思路引导】先利用矩形的直角性质，结合已知角求出三角形的内角；再通过平行线的关系判定平行四边形，利用平行四边形的角相等传递角的关系，最终得到的度数 【完整解答】解：如图，设交于点，交于点，交于点，交于点． 四边形是矩形， ， ，． ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 【考点再现】本题考查了矩形的性质、平行线的性质与平行四边形的判定及性质，掌握矩形的直角性质、利用三角形内角和求角，及平行四边形的角相等传递角的关系是解题的关键． 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【答案】10 【思路引导】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【完整解答】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式训练】（20-21八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，且，，经过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)直接写出矩形的顶点、、的坐标．（   ），（   ），（   ）． (2)求证：． (3)把直线沿轴平移，当直线经过点时，求此时直线解析式． (4)为直线上的点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)点的坐标为或． 【思路引导】本题考查一次函数和矩形的性质，注意掌握并能将线段长度和点的坐标进行互相转化，在第三问的求解中，要先设出点的坐标，根据面积关系进行求解． （1）根据题意可得点的纵坐标为，代入函数解析式可得出点的坐标，结合矩形的性质可得出、、的坐标； （2）由题意先求出、的长度，从而利用证明即可； （3）设平移后的直线解析式为，代入的坐标，即可求解； （4）根据题意设点的坐标为，则可表示出，解出的值讨论即可． 【完整解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 故可设点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：，即点的坐标为， 四边形是矩形， ， 故可得点、、的坐标分别为、、． 故答案为： ． （2）直线与轴、轴坐标分别为 、 ， ， 在和中， ∴． （3）平移后的直线解析式为，代入，得 解得： ∴ （4）设点的坐标为，则， 解得：， ①当时，；②当时，， 故点的坐标为或． 题型7 矩形与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【完整解答】解：过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（20-21七年级下·江苏宿迁·月考）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，则 °． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，四边形内角和定理，掌握折叠前和折叠后对应角相等是解题的关键． 由平行的性质可得，由折叠的性质可得，再根据四边形内角和定理求出，进而求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵长方形纸片沿折叠后，点分别落在点、的位置， ∴，， ∴在四边形中，， ∴， 故答案为：． 题型8 矩形的判定定理理解 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西安康·期末）下列命题中，错误的是（  ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【思路引导】本题考查判断命题的真假及直角三角形、菱形、平行四边形、矩形的判定与性质，解题关键是准确掌握各图形判定定理和性质并正确辨析命题． 根据直角三角形性质，菱形判定定理，平行四边形及等腰梯形，矩形判定定理，找出错误命题即可． 【完整解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，是定理，是真命题，不合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形判定定理，是真命题，不合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，是假命题，符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形判定定理，是真命题，不合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知在中，是边上的中线，为的中点，连接． (1)尺规作图：作，交延长线于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴ ． ∴，， 又∵点是中点， ∴ ． ∴． ∴ ． ∵是中点， ∴ ∴ ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是 ． 【答案】(1)见解析； (2)①，②，③④，⑤矩形． 【思路引导】（1）根据全等三角形的判定和性质，按要求作，交延长线于点，连接即可； （2）由平行线的判定和性质，结合中点，可得三角形全等，对应边相等，可得一组对边平行且相等，即可证得结论． 【完整解答】（1）解：作图如下： （2）证明：∵， ∴， ∴，， 又∵点是中点， ∴． ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是矩形． 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：①，②，③④，⑤矩形． 【考点再现】本题考查作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三线合一，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握作图原理和平行四边形的判定定理． 题型9 证明四边形是矩形 【典例精讲】（2022·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 【变式训练】（23-24八年级下·广西·期中）在八下书本53页中，我们得到了一个直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你证明此性质．即已知：如图，在中，，O为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．延长至点，使得，连接，根据矩形的判定即可得到四边形是矩形，再利用矩形的性质即可得到对角线相等，最后利用对角线互相平分即可得到的长度． 【完整解答】证明：如图，延长至点，使得，连接， ， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴ ， ． 题型10 添一条件使四边形是矩形 【典例精讲】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图，在中，F是的中点，E是线段延长线上一动点，连接，，过点B作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则在点E运动的过程中： ①当四边形是菱形时，求的值； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②3 【思路引导】（1）由平行线的性质得，再由对顶角相等得，进而证得，得，再根据平行四边形的判定证明即可； （2）①由题意得，由菱形的性质得，再根据等边三角形的判定与性质证明即可； ②由（1）得，四边形是平行四边形，由矩形的判定得，当，四边形是矩形，此时，再利用直角三角形的性质求解即可． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①∵， ∴， ∵四边形是菱形， ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ②由（1）得，四边形是平行四边形， 当，四边形是矩形， 此时，∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：3． 【考点再现】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、对顶角相等及直角三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练】（2025·江苏常州·一模）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①（答案不唯一），理由见解析；②或 【思路引导】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求； （2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可． 【完整解答】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 由题意得， ∴四边形是菱形； （2）①添加的条件为 理由：∵为的外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ 又∵ ∴四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H， 由①得 ∴四边形为矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 当平分时，即 由①得 ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 综上所述，四边形的面积为或． 【考点再现】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形． (2)若点为的中点，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【思路引导】本题考查正方形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）过点M作于点E，于点F，先证，四边形是矩形，进而得出，再证，推出，即可证明四边形是正方形； （2）先用勾股定理解求出，正方形的面积等于对角线长的平方的一半，由此可解． 【完整解答】（1）解：如图，过点M作于点E，于点F， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：如图，连接， 正方形中，点为的中点，且， ， 在中，， 四边形是正方形， 正方形的面积． 【变式训练】（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现： （1）定理  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是边上的中线． 求证：． 证明：如图1，延长到点，使得，连接． …… 请把证明过程补充完整． 知识应用： （2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可； （2）由直角三角形斜边中线的性质得，进而可证，然后证明是线段的垂直平分线即可． 【完整解答】解：（1）是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． ， ． （2）如图，连接． 是边上的高，是边上的中线， ，是的中点． ． ， ． ． 是的中点， ． 是线段的垂直平分线． ． 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)或或 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，以及解勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 先求出，在中根据勾股定理计算即可； 先证得四边形为矩形，再作，，垂足分别为点，，再证得，，，，然后分3种情况、和，然后分别列出等式，即可求解； 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， （2）解：∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 作，，垂足分别为点，，如图： ∴四边形、和都是矩形， ∴，，，，， 若为等腰三角形，则有三种可能， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴秒； ②当时， ∴， ∴秒； ③当时，设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴秒， 综上所述：或或时，为等腰三角形； 【变式训练】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在边长为3的正方形中，点E为延长线上一点，，过E作交的延长线于点F，作的垂线交于点G，交于点P，垂足为H，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质．过点G作于点M，证明，可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解． 【完整解答】解：如图，过点G作于点M， ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：5． 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【完整解答】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，证得四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可解答． 【完整解答】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ，， ，， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，，， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ． 【演练1】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【演练2】（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【演练3】（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【思路引导】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 【演练4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明，见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可． 【完整解答】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2）过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵，， ∵点是对角线的中心， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：．    【考点再现】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 【演练5】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设 ， ，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【完整解答】解：作，设 ， ， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理和矩形的性质解题即可． 【完整解答】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解； 【完整解答】解：由题意得：， ∵比的周长多2， ∴，即； ∵矩形的周长为， ∴； ∴， ∴该矩形的面积为：， 故选：A 3．（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【完整解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 3．如图，在四边形中， ，则 ．               【答案】 【思路引导】本题考查的是矩形的判定与性质及勾股定理的应用，过点D作于E，证明四边形是矩形，得出，再根据勾股定理求出结论． 【完整解答】解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【完整解答】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【完整解答】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 6.如图，已知是三角形纸片的高，将纸片沿直线折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①是的中位线；②的周长等于周长的一半；③若四边形是菱形，则；④若是直角，则四边形是矩形，其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了图形的翻折变换，矩形，菱形的判定以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．设交点为，根据折叠可得是的垂直平分线，再加上条件是三角形纸片的高可以证明，进而可得，，再推出，同理可得：，进而得到是的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出的周长是的一半，进而得到的周长等于周长的一半；根据三角形中位线定理可得，，若四边形是菱形则，即可得到． 【完整解答】解：如图，设交点为， 是的高， ， ， 根据折叠可得：是的垂直平分线， ∴，， ，， ， ， ， ，， 又， ， ， 则， 同理可得：， 是的中位线，故①正确，符合题意； 是的中位线， 的周长是的一半， 根据折叠可得， 的周长等于周长的一半，故②正确，符合题意； 是的中位线， ，， 若四边形是菱形， 则， ，故③正确，符合题意； 根据折叠只能证明， 不能确定和的度数，故④错误，不符合题意； 则正确的有①②③． 故答案为：①②③． 7．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在长方形中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【思路引导】（1）过点作的垂线，垂足为点，在垂线上截取即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，由对称性得到，从而结合等腰三角形性质、矩形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而得到，设，则，在中，列方程求解得到，则，再由三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【完整解答】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：如图所示： 由（1）中的作图过程可知，， ， 在长方形中，，则， ， 在和中， ， ， ， 在长方形中，，则， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 【考点再现】本题考查矩形综合，涉及基本尺规作图-作中垂线、作相等线段、对称性、等腰三角形的性质、长方形性质、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程及三角形面积公式等知识，熟记相关几何性质，掌握基本尺规作图是解决问题的关键． 8．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知是等腰三角形，，是边上的中线．请使用尺规作图法在外求作一点E，连接，，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【思路引导】本题主要考查了线段的尺规作图，三线合一定理，矩形的判定，熟知相关知识是解题的关键． 以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，二者交于点，连接，则点和线段即为所求；连接，可证明四边形是平行四边形，得到，再由三线合一定理得到，，据此可证明四边形为矩形． 【完整解答】解：如图所示，点E即为所求， 9．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【答案】当时，四边形是矩形 【思路引导】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【完整解答】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 培优拔高 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【完整解答】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，得到，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【完整解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 故选：D． 3．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【完整解答】解： 是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 4．如图，在中，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段最短等知识点，根据题意求出的最小值是解答本题的关键．连接，先证明四边形是矩形，由勾股定理求出长，则的最小值即为的最小值，当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【完整解答】解：如图，连接， ∵，于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当时，的值最小， ∴此时， ∴的最小值为， 故选：D． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式求解即可得． 【完整解答】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，是的中位线，与交于点，点，分别是，的中点，连接，，，要使得四边形为矩形，下列补充条件中： ； ； ； ．正确的有 （选填序号）． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，由中位线定理先证明四边形是平行四边形，证明，则，得出，从而可判断，由不能得到四边形为矩形，从而判断，通过有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵，均为的中线， ∴为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是重心， ∴，， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，故正确，符合题意； 由不能得到四边形为矩形，故不符合题意； 同理得正确，符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形，故正确，符合题意； 综上可得正确的有， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【完整解答】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ， 四边形是矩形． 8.如图，在梯形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当　　时，四边形的面积为； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值； (3)当时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】（1）用表示出、，分：当点未到达点时，当点到达点返回时，两种情况讨论，利用梯形的面积公式列式进行计算即可得解； （2）分：当点未到达点时，当点到达点返回时，两种情况讨论，根据平行四边形对边相等列出方程求解即可； （3）分和两种情况讨论：若，过作于，根据等腰三角形三线合一的性质用表示出，然后表示出，易证四边形是矩形，得到，列出方程求解即可；若，过作于，易证四边形是矩形，得到，，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【完整解答】（1）解：，，点的速度是，点的速度是， ， ， 当点未到达点时，， 解得； 当点到达点返回时，， 解得（不符合题意，舍去）； 所以，当时，四边形的面积为； 故答案为：； （2）解：当点未到达点时， 四边形是平行四边形， ， 解得； 当点到达点并返回时， 四边形是平行四边形， ， 解得， 综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，的值是或； （3）解：如图，若，过作于， 则，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，即， 解得； 如图，若，过作于， ， 四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得， 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【考点再现】本题考查了梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2.1 矩形（特殊的平行四边形） （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共48题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：矩形的定义 2 识点梳理02：矩形的性质 2 识点梳理03：矩形的判定 2 识点梳理04：两条平行线间的距离 3 题型讲练 4 题型1 矩形性质理解 4 题型2 利用矩形的性质求角度 6 题型3 根据矩形的性质求线段长 8 题型4 根据矩形的性质求面积 10 题型5 利用矩形的性质证明 13 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 15 题型7 矩形与折叠问题 17 题型8 矩形的判定定理理解 20 题型9 证明四边形是矩形 22 题型10 添一条件使四边形是矩形 24 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 28 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 31 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 34 分层训练 41 基础夯实 41 培优拔高 50 知识点梳理01：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点拨】 （1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件： ①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 识点梳理02：矩形的性质 性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. 3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. 4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 识点梳理03：矩形的判定 矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 识点梳理04：两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. 4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. 5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 题型1 矩形性质理解 【典例精讲】（23-24八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为中点，，求菱形的周长． 题型2 利用矩形的性质求角度 【典例精讲】．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形． (1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由． 题型3 根据矩形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，直线（k，b为常数，且）与x轴，y轴分别交于点、． (1)求直线l的函数解析式； (2)点P是第一象限内直线l上的动点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值． 题型4 根据矩形的性质求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·福建福州·期末）图1、图2是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合）． (1)在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，使其周长为20． (2)在图2画出一个周长为20，面积为24的矩形． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在矩形中，是中点，点沿从出发向运动，速度为每秒1个单位，到达点立即停止运动，连接． (1)设的面积为，点的运动时间为（秒），写出和的函数关系式，并注明的取值范围； (2)运动时间为多少秒时，？ (3)运动时间为多少秒时，？ 题型5 利用矩形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【变式训练】（20-21八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，且，，经过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)直接写出矩形的顶点、、的坐标．（   ），（   ），（   ）． (2)求证：． (3)把直线沿轴平移，当直线经过点时，求此时直线解析式． (4)为直线上的点，若，求点的坐标． 题型7 矩形与折叠问题 【典例精讲】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为 ． 【变式训练】（20-21七年级下·江苏宿迁·月考）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，则 °． 题型8 矩形的判定定理理解 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西安康·期末）下列命题中，错误的是（  ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【变式训练】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知在中，是边上的中线，为的中点，连接． (1)尺规作图：作，交延长线于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴ ． ∴，， 又∵点是中点， ∴ ． ∴． ∴ ． ∵是中点， ∴ ∴ ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是 ． 题型9 证明四边形是矩形 【典例精讲】（2022·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式训练】（23-24八年级下·广西·期中）在八下书本53页中，我们得到了一个直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你证明此性质．即已知：如图，在中，，O为的中点．求证：． 题型10 添一条件使四边形是矩形 【典例精讲】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图，在中，F是的中点，E是线段延长线上一动点，连接，，过点B作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则在点E运动的过程中： ①当四边形是菱形时，求的值； ②当 时，四边形是矩形． 【变式训练】（2025·江苏常州·一模）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形． (2)若点为的中点，且，求正方形的面积． 【变式训练】（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现： （1）定理  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是边上的中线． 求证：． 证明：如图1，延长到点，使得，连接． …… 请把证明过程补充完整． 知识应用： （2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：． 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求t的值． 【变式训练】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在边长为3的正方形中，点E为延长线上一点，，过E作交的延长线于点F，作的垂线交于点G，交于点P，垂足为H，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的面积． 【演练1】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【演练2】（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【演练3】（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【演练4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【演练5】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 3．如图，在四边形中， ，则 ．               4．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 6.如图，已知是三角形纸片的高，将纸片沿直线折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①是的中位线；②的周长等于周长的一半；③若四边形是菱形，则；④若是直角，则四边形是矩形，其中正确的是 ．（填写序号） 7．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在长方形中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 8．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，已知是等腰三角形，，是边上的中线．请使用尺规作图法在外求作一点E，连接，，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    培优拔高 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 3．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是 ． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，是的中位线，与交于点，点，分别是，的中点，连接，，，要使得四边形为矩形，下列补充条件中： ； ； ； ．正确的有 （选填序号）． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 8.如图，在梯形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当　　时，四边形的面积为； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值； (3)当时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $