第05讲 一元二次方程根的判别式（1知识点+6题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第05讲 一元二次方程根的判别式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【易错易混】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 【题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 】 例1．下列关于x的一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式：当时，方程无实根是解题的关键． 【详解】解：A、中，， 则，则方程无实数根，故A符合题意； B、中，， 则，则方程有实数根，故B不符合题意； C、可变形为，， 则，则方程有实数根，故C不符合题意； D、解，可得，有两个不同的实数根，故D不符合题意， 故选：A ． 例2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 变式1．一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．根据根的判别式等于，代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 变式2．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式3．已知关于x的一元二次方程，求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． 【答案】证明见解析 【分析】这道题考查一元二次方程根的判别式的应用，关键是掌握对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有实数根．运用一元二次方程根的判别式说明无论k取何实数值即可． 【详解】证明：， ，，， 无论k取何实数值，方程总有实数根． 【题型2 根据一元二次方程有两个不同实数根求参数】 例1．如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ >， ∴， 故选：C． 例2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 变式2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 【答案】(1)且 (2)方程的另一个根是，m的值是5 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和方程的根，掌握一元二次方程的根的判别式的含义是解题关键． （1）根据根的判别式列不等式计算即可； （2）代入方程的根，求出m，再解一元二次方程求方程的另一个根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 变式3．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得出， ，据此求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：， 整理得， 该方程是关于的一元二次方程， ，解得， 又方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 综上，且． 故答案为：且． 【题型3 根据一元二次方程有两个相同实数根求参数】 例1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题中用到 “判别式法”，利用一元二次方程有两个相等的实数根时“” 的性质，解题关键是准确确定方程中a、b、c的值，代入判别式公式建立关于m的方程求解，本题一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零． 【详解】解：∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故选B 例2．关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则a的值为（    ） A．0 B．0或 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根结合一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选C． 变式1．若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，判别式等于零，且二次项系数不为零，列方程求解． 【详解】解：方程是一元二次方程，因此，判别式， 令，得， 解得，且，符合条件， 故答案为： 变式2．已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个相等实数根？ (2)求方程的相等实数根． 【答案】(1) (2)时，相等的实数根是；时，相等的实数根是． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式的值为 0 ，用求出的值即可． （2）把求出的值代入方程，再求出方程的两个根． 【详解】（1）解：当方程有两个相等的实数根时，， ． （2）解：当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ． 综上，时，相等的实数根是；时，相等的实数根是． 变式3．若关于的方程，有两个相等的是实数根，求的值并解出此方程． 【答案】或，当时，；当时，． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据即可解答． 【详解】解：方程即有两个相等的是实数根， ∴， 解得或， 当时，方程为，即， ∴； 当时，方程为，即， ∴． 【题型4 根据一元二次方程无解求参数】 例1．关于的不等式组有解，关于的方程无解，则最小整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求解不等式组，确定a的取值范围，再根据一元二次方程无解，判别式小于0确定a的范围，从而确定a的最小整数值． 【详解】解：不等式组的解集为 ∵不等式组有解， ∴，解得， ∵关于的方程无解 ∴，解得 综上，∴最小整数为3 故选C 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的求解，一元二次方程判别式与根的情况，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 例2．若关于的方程无解，则的值可以是（ ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22-4×a×（-1）＜0，然后求出a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解， ∴a≠0且△=22-4×a×（-1）＜0， 解得a＜-1， ∴a的取值范围是a＜-1， ∴a可以为-2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 变式1．若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．若关于的方程无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行求解． 【详解】∵关于的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用根的判别式是解答此题的关键． 变式3．已知关于x的一元二次方程无解，求m的取值范围． 【答案】m>2 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ=﹣4m+8＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ=16﹣4（m+2）=﹣4m+8＜0， 解得m>2． 故m的取值范围为m>2． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 【题型5 一元二次方程根的判别式中的整数解问题】 例1．已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可求解； （2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，分析即可． 【详解】（1）解：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ，∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或，解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 例2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)整数m的值为， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可； （2）首先利用因式分解法求出的两个根为，，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴方程有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴是整数， ∴整数m的值为，． 变式1．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式：当时，方程由两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出即可证出结论； （2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定m的值． 【详解】（1）解：∵ ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）知： ∴ ∴， ∵方程的两个实数根都是整数 ∴或． 变式2．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根； (2)若是整数，且方程总有两个整数根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)为1或． 【分析】（1）分和两种情况进行讨论，判断判别式的符号即可； （2）利用求根公式求出两个根，再根据是整数，且方程总有两个整数根进行分析求解即可． 【详解】（1）证明：当时，此方程为，解得． 即时此方程有一个实数根； 当时，此方程为一元二次方程， ∵， ∴方程总有两个实数根． 综上所述，无论取何值方程恒有实数根． （2）， 即，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， ∴整数为1或． 【点睛】本题考查根据方程的根的情况，求参数．熟练掌握一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及公式法解一元二次方程是解题的关键． 变式3．已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）用公式法求出方程的两根，，再由该方程的两根都是整数，且k为整数，可得为整数，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∴， ∵该方程的两根都是整数，且k为整数， ∴为整数， ∴整数k为±1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【题型6 一元二次方程根的判别式综合】 例1．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据运算定义将方程转化为二次方程，计算判别式并分析其恒正，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． 判别式． ∵， ∴恒成立． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 例2．对于实数，定义运算“”为，例如， 则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，由新定义得，进而得到，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：． 变式1．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 变式2．定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 变式3．请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或． 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程的解为， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）∵关于的一元二次方程（） 同时满足和， ∴关于的一元二次方程的两个根是， ∵的两个根是， ∵关于的一元二次方程（）与互为“同伴方程”， ∴或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是计算判别式的值来判断根的情况． 先确定方程中、、的值，再代入判别式公式计算，根据的正负判断根的情况． 【详解】解： 方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选A． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， ， 分别是直角三角形的三边长， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若实数满足，则方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江温州·月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，先根据根的判别式推出，则，进而可得原方程为，解得，求出，再根据的符号与的符号关系进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴原方程为， 解得， ∴ 若，则，即，则，故A正确，符合题意； 若，则，即，故B、D错误，不符合题意； 若，则不一定成立，则不一定成立，故C错误，不符合题意； 7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算和一元二次方程根的判别式．先理解题目给出的新定义运算，根据新定义运算将展开得到一个一元二次方程，再根据一元二次根的判别式得到一个一元一次不等式，解不等式即可求出结果，此时需要考虑． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故选：D． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据方程总有实数根可得，根的判别式，以及方程二次项系数不为列出两个不等式，然后解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程总有实数根， 且， 解得且， 的取值范围为且． 故答案为：且． 9．（2025·河南郑州·三模）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 【答案】6或7/7或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当4为腰长时，将代入原方程，求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形；当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形． 【详解】解：当4为腰长时，将代入原方程，得， ∴， 原方程为， 解得 ， 又∵， ∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴原方程为 ， 解得， 又∵， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7． 11．（2024·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 【答案】①②④ 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 12．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有解． （1）当时，方程的解为 ； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ． 【答案】 ， 2 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，则，再利用直接开平方法求解即可； （2）根据原方程有解得出，将代入方程得出，从而得到，求出的最大值与最小值即可得解． 【详解】解：（1）当时，则， 解得，， 故答案为：，； （2）关于的一元二次方程有解， ， 得． 若是该一元二次方程的一个根，则， 得， ， 的最大值为4， ∴当取最大值时，取最大值，的最大值为． ∵的最小值为， ∴的最大值和最小值的和为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程．下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则一定是这个方程的实数根； ③若，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若c是方程的一个根，则一定有成立， 其中正确的是 （填相应序号） 【答案】①②③ 【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解． 【详解】解：①∵，， ∴a、c异号， ∴， ∴方程有两个不等的实数根，故①正确； ②∵当时，， ∴时，一定有一个根是1，故②正确； ③∵， ∴， 当a，c异号时，， ∴， ∴， 当a，c同号时，，且， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵c是的一个根， ∴， ∴， ∴或，故④错误． ∴正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键． 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键． （1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明； （2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意，得， ∴无论取何值，该方程总有实数根． （2）解：∵等腰三角形的底边长为5， ∴另两边的长为等腰三角形的腰长， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴这个等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴这个等腰三角形的周长为． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1) (2)的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵ 方程的一个根为3， ∴， 解得，， 当时，原方程化为， 解得，， ∴另一根为1； 当时，原方程化为， 解得， ∴另一根为9； ∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9． 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若，求方程的两个根； (3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2)， (3)1，2 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用、求解方程的根以及根据方程根的情况求参数取值，解题关键是熟练运用方程根的性质代入计算、选择合适方法解方程以及利用判别式建立不等式求解参数 ． （1）把代入方程求出a即可． （2）将代入方程，解一元二次方程即可； （3）由题意可得，根据不等式，求出的取值范围，再结合是正整数求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）代入方程得 ， 解得， ． （3）解：∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ． ∵又因为是正整数且， ∴所以满足条件的正整数的值为，． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可； ②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 18．（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【答案】(1)4或 (2)没有不动值，理由见解析 (3)①；②1或3或5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是4或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次方程根的判别式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【易错易混】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为 ． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 】 例1．下列关于x的一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． 例2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 变式1．一元二次方程的根的判别式的值为 ． 变式2．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 变式3．已知关于x的一元二次方程，求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． 【题型2 根据一元二次方程有两个不同实数根求参数】 例1．如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 例2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 变式2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 变式3．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【题型3 根据一元二次方程有两个相同实数根求参数】 例1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A． B． C． D． 例2．关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则a的值为（    ） A．0 B．0或 C． D．8 变式1．若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为 ． 变式2．已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个相等实数根？ (2)求方程的相等实数根． 变式3．若关于的方程，有两个相等的是实数根，求的值并解出此方程． 【题型4 根据一元二次方程无解求参数】 例1．关于的不等式组有解，关于的方程无解，则最小整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．若关于的方程无解，则的值可以是（ ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 变式1．若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 变式2．若关于的方程无解，则的取值范围为 ． 变式3．已知关于x的一元二次方程无解，求m的取值范围． 【题型5 一元二次方程根的判别式中的整数解问题】 例1．已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ ，∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； 例2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 变式1．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 变式2．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根； (2)若是整数，且方程总有两个整数根，求的值． 变式3．已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数的值． 【题型6 一元二次方程根的判别式综合】 例1．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 例2．对于实数，定义运算“”为，例如， 则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 变式1．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 变式2．定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 变式3．请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若实数满足，则方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．以上都不对 4．（24-25八年级下·浙江温州·月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右边的通常的乘法和加法运算，如，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，则的取值范围为 ． 9．（2025·河南郑州·三模）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 11．（2024·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 12．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有解． （1）当时，方程的解为 ； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ． 13．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程．下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则一定是这个方程的实数根； ③若，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若c是方程的一个根，则一定有成立， 其中正确的是 （填相应序号） 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为5，另两边恰好是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若，求方程的两个根； (3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 18．（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $