23.2 平行四边形（第1课时）讲义 -2025-2026学年沪教版（五四制)八年级数学下册

本讲义聚焦平行四边形第1课时核心内容，从梯形与平行四边形的定义辨析切入，系统梳理平行四边形的定义性质、对边相等定理及证明过程，延伸至平行线间距离的概念与性质、四边形不稳定性，构建“定义-性质-应用”的完整知识脉络，为后续特殊平行四边形学习奠定支架。 资料特色鲜明，通过定义注解区分梯形不同定义培养抽象能力，定理证明过程强化推理意识，多样化题型（如角度计算、周长面积问题）结合符号语言与文字语言转化，助力学生用数学眼光观察几何关系。课中辅助教师分层教学，课后提供解答证明题帮助学生查漏补缺，提升几何直观与应用意识。

23.2 平行四边形（第1课时） 1、 梯形、平行四边形 1.梯形、平行四边形的定义 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 . 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 教材注解：也有一些书中定义的梯形不包括平行四边形. 注意：教材注解中中的这句话，看似与前面的说法矛盾，但这个一些书中的定义是只有一组对边平行的四边形叫作梯形，因此它并不矛盾。希望同学们遇到此类题注意区分。 2.梯形的基本元素 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示. 图23-2-2 3.平行四边形的表示 平行四边形用符号“”表示，如图23-2-2(2)所示的平行四边形ABCD, 记作“ABCD” 二、平行四边形的性质 1.定义性质（即由定义得到的性质） 定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。 文字语言：已知四边形ABCD是平行四边形，则AB平行CD，AD平行BC. 符号语言：已知ABCD，则AB∥CD，AD∥BC. 2.平行四边形的性质定理1 定理1 平行四边形的对边相等. 符号语言：已知ABCD，则AB=CD，AD=BC. 定理证明 如图23-2-3,已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD,BC=AD. 如图23-2-4,连接AC. 因为四边形ABCD 是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得AB//DC,AD//BC. 所以∠1=∠2,∠3=∠4 . 又因为AC是△ABC和△CDA的公共边，所以△AB C≌△CDA. 由此可得AB=CD,BC=AD. 2.平行四边形的性质定理2 定理2 平行四边形的对角相等. 请自行证明该定理.（提示：可根据平行线的性质证明，也可构造全等三角形证明，其他合理即可） 三、两条平行线之间的距离 1.两条平行线之间的距离 如图23-2-6,直线l1 、l2平行，A是直线l1上任意一点，AB⊥l₂,垂足为B, 线段AB的长度就是直线l1 、l2之间的距离. 同理，线段AB的长度也是直线l1 、l2之间的距离. 两条平行线之间的距离性质：直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度都相等。（通俗的讲：两条平行线之间的距离处处相等） 性质证明 如图23-2-6,已知直线l₁//l₂,A、C是直线l₁上两点，AB⊥l₂,CD⊥l₂,垂足分别为B、D.试问：AB与CD是否相等?为什么? AB=CD.证明如下： ∵AB⊥l₂,CD⊥l₂,垂足分别为B、D, ∴∠ABD=∠CDB=90°. ∴ ABD+∠CDB=180°. ∴AB//CD. 又∵l₁//l₂, ∴四边形ABDC是一个平行四边形. ∴AB=CD(平行四边形的对边相等). 思考：“两条平行线之间的距离”与前面已经学过的“点与点之间的距离” “点到直线的距离”有何区别与联系? 参考：三种距离本质上都是点与点之间的距离：点与点之间的距离是连接两点的线段长度，是基础概念；点到直线的距离是该点到直线上垂足的两点间距离，即点与点之间的距离的最小值；而两条平行线之间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的点到直线的距离，因此也归结为点与点之间的距离。‌ 四、四边形具有不稳定性 我们知道三角形具有稳定性，那么四边形也具有稳定性吗? 如图23-2-7,用4根木条制作四边形的木框，随意拉动木框的边， 它的形状和大小会发生变化吗? 我们发现，四边形的边长确定后，其形状和大小不能完全确定，这说明四边形具有不稳定性. 题型1：平行四边形的性质的辨析 1．下列属于平行四边形性质的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对边平行 2．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．内角和为 3．如图，在中，对角线、相交于点，且，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2：根据平行四边形的性质求角度Ⅰ 4．在平行四边形中，， 度， 度． 5．在平行四边形中，已知，则等于(    ) A． B． C． D． 6．在平行四边形中，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型3：根据平行四边形的性质求角度Ⅱ 7．如图，四边形是平行四边形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，平分，则的度数是 ． 9．如图，在平行四边形中，于点，若，则为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，于E，则 ． 题型4：根据平行四边形的性质求长度 11．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（   ） A．1 B．2 C． D．3 13．如图，在平行四边形中，，，平分线交于E，交的延长线于点F，则（    ） A． B． C． D． 题型5：求角度中的比值问题 14．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 15．在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．在中， ，则、的度数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．在中，，则 ． 18．在中，的度数比值可能是（    ） A． B． C． D． 题型6：周长问题 19．如图，在平行四边形中，的周长为12，则的周长为 ． 20．已知平行四边形的周长为，，则（ ） A． B． C． D． 21．如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 题型7：面积问题 22．在中，，，高为4，则面积为（   ） A．20 B．15 C．12 D．以上都有可能 23．如图，的对角线，相交于点，若，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 24．如图，在中，于点，于点，若平行四边形的周长为，，，则平行四边形的面积等于（   ） A．32 B．48 C．60 D．64 25．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 题型8：平行四边形的综合应用 26．如图，的对角线与相交于点，，，，则为（    ） A． B． C．3 D． 27．如图，已知，于点E，，，，，则的长为 ． 28．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 29．已知平行四边形的一条边长为，下列各组数能分别作为它的对角线长的是（   ） A．和 B．和8 C．和 D．和 30．如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 31．如图，的对角线，相交于点O，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型9：平行线之间的距离及其应用 32．如图，已知，，，则与间的距离是 ． 33．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间距离是 ． 34．，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 35．如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 题型10：解答证明题 36．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O．求证：． 37．已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证： 38．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 39．已知：在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证： 40．如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 41．如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 42．如图，在中，E，F是对角线上的两点，．求证： (1)； (2) 43．如图，在边长为1的方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画出格点四边形．    (1)在图1中画一个，使． (2)在图2中画一个，使其面积为10． 44．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 45．如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，．若，求的面积． 一、单选题 1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是(    ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（    ） A． B． C． D． 3．已知平行四边形的周长为，，则（ ） A． B． C． D． 4．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形： ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 5．在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 二、填空题 7．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 8．在平行四边形中，，则的度数为 ． 9．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 10．如图，平行四边形的周长是，对角线和相交于点O，和的周长差为，那么这个平行四边形的两邻边、的长分别为 、 ．    11．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 12．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 三、解答题 13．如图，在中，，求和的度数． 14．如图，四边形是平行四边形．求： （1）和的度数； （2）和的长度． 15．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 16．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点. （1）求证:； （2）若，求的长． 17．如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 18．如图，在ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，点A，G，E在同一直线上． (1)求证：AG＝ED； (2)求点G到AB的距离． 19．如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2 平行四边形（第1课时） 1、 梯形、平行四边形 1.梯形、平行四边形的定义 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 . 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 教材注解：也有一些书中定义的梯形不包括平行四边形. 注意：教材注解中中的这句话，看似与前面的说法矛盾，但这个一些书中的定义是只有一组对边平行的四边形叫作梯形，因此它并不矛盾。希望同学们遇到此类题注意区分。 2.梯形的基本元素 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示. 图23-2-2 3.平行四边形的表示 平行四边形用符号“”表示，如图23-2-2(2)所示的平行四边形ABCD, 记作“ABCD” 二、平行四边形的性质 1.定义性质（即由定义得到的性质） 定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。 文字语言：已知四边形ABCD是平行四边形，则AB平行CD，AD平行BC. 符号语言：已知ABCD，则AB∥CD，AD∥BC. 2.平行四边形的性质定理1 定理1 平行四边形的对边相等. 符号语言：已知ABCD，则AB=CD，AD=BC. 定理证明 如图23-2-3,已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD,BC=AD. 如图23-2-4,连接AC. 因为四边形ABCD 是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得AB//DC,AD//BC. 所以∠1=∠2,∠3=∠4 . 又因为AC是△ABC和△CDA的公共边，所以△AB C≌△CDA. 由此可得AB=CD,BC=AD. 2.平行四边形的性质定理2 定理2 平行四边形的对角相等. 请自行证明该定理.（提示：可根据平行线的性质证明，也可构造全等三角形证明，其他合理即可） 三、两条平行线之间的距离 1.两条平行线之间的距离 如图23-2-6,直线l1 、l2平行，A是直线l1上任意一点，AB⊥l₂,垂足为B, 线段AB的长度就是直线l1 、l2之间的距离. 同理，线段AB的长度也是直线l1 、l2之间的距离. 两条平行线之间的距离性质：直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度都相等。（通俗的讲：两条平行线之间的距离处处相等） 性质证明 如图23-2-6,已知直线l₁//l₂,A、C是直线l₁上两点，AB⊥l₂,CD⊥l₂,垂足分别为B、D.试问：AB与CD是否相等?为什么? AB=CD.证明如下： ∵AB⊥l₂,CD⊥l₂,垂足分别为B、D, ∴∠ABD=∠CDB=90°. ∴ ABD+∠CDB=180°. ∴AB//CD. 又∵l₁//l₂, ∴四边形ABDC是一个平行四边形. ∴AB=CD(平行四边形的对边相等). 思考：“两条平行线之间的距离”与前面已经学过的“点与点之间的距离” “点到直线的距离”有何区别与联系? 参考：三种距离本质上都是点与点之间的距离：点与点之间的距离是连接两点的线段长度，是基础概念；点到直线的距离是该点到直线上垂足的两点间距离，即点与点之间的距离的最小值；而两条平行线之间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的点到直线的距离，因此也归结为点与点之间的距离。‌ 四、四边形具有不稳定性 我们知道三角形具有稳定性，那么四边形也具有稳定性吗? 如图23-2-7,用4根木条制作四边形的木框，随意拉动木框的边， 它的形状和大小会发生变化吗? 我们发现，四边形的边长确定后，其形状和大小不能完全确定，这说明四边形具有不稳定性. 题型1：平行四边形的性质的辨析 1．下列属于平行四边形性质的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对边平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质判断作答即可． 【详解】解：由题意知，平行四边形的对角线互相平分，对角相等，对边平行． 故D符合要求，A、B、C不符合要求． 故选：D． 2．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行 C．对角线互相垂直 D．内角和为 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，是平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意； B、两组对边分别平行，是平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意； C、对角线互相垂直，是平行四边形不一定具有的性质，故此选项符合题意； D、内角和为 ，是平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在 中，对角线 、 相交于点 ，且 ，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边、对角、对角线的基本性质． 根据平行四边形的性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A．平行四边形的对角相等，因此 ，A正确； B．平行四边形的对角线互相平分，但只有当邻边相等（即菱形）时对角线才垂直，已知 ，故 与 不垂直，B错误； C．平行四边形的对角线互相平分，因此 ，C正确； D．平行四边形的对边相等，因此 ，D正确． 故选：B． 题型2：根据平行四边形的性质求角度Ⅰ 4．在平行四边形 中， ， 度， 度． 【答案】 110 110 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求解即可，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵平行四边形 中， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； ∴ ． 故答案为110，110． 5．在平行四边形 中，已知 ，则 等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得 ， ，即可求 的度数． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．在平行四边形 中，已知 ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，即对角相等，简单计算即可得解；利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件直接计算． 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ （对角相等）． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 题型3：根据平行四边形的性质求角度Ⅱ 7．如图，四边形 是平行四边形， ， ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟知平行四边形对角相等是解题的关键．利用平行四边形对角相等得 ，再利用等边对等角得 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 8．如图，在平行四边形 中， ， 平分 ，则 的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质得出，从而可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴， ， 故答案为：． 9．如图，在平行四边形 中， 于点 ，若 ，则 为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键 ．根据平行四边形的性质得到 ，进而求出 ，再由垂直的定义得到 ，则 ． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 10．如图，在 中， ， ， 于E，则 ． 【答案】 /20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．由 ，得 ，则 ，而 ，所以 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ 于E， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 题型4：根据平行四边形的性质求长度 11．如图，在 中， ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在 中， ， ∴ ， 故选： ． 12．如图，平行四边形 中， 的平分线 交 于 ，则 的长（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质得 ， ， ，则 ，结合 为角平分线可知 ，则 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 13．如图，在平行四边形 中， ， ， 平分线交 于E，交 的延长线于点F，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，由平行四边形的性质可得 ，再由平行线的性质并结合角平分线的定义可得 ，由等角对等边可得 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 题型5：求角度中的比值问题 14．已知 中， ，则 的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形角度的关系是解题关键．利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质，结合给定比例求解 即可． 【详解】解：∵在 中， 与 是邻角， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ，即 ， 故选：A． 15．在平行四边形 中，若∠A与∠B的度数之比为 ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得 ，再根据 与 的度数之比为 ，即可求出 的度数，即可求解． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 与 的度数之比为 ， ， ， ∴ ， ， 故选：B． 16．在 中， ，则 、 的度数分别是（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补是解题的关键．由平行四边形的性质可得 ， ， ，又有 ，可求得 ， ，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ； 故选：A． 17．在 中， ，则 ． 【答案】 /140度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先由平行四边形的性质可得 、 ，进一步得到 ，再根据 即可求得 ． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 18．在 中， 的度数比值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质． 根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，判断角度比值是否符合． 【详解】解：平行四边形 中， ，即对角相等． A、 ，不满足 ，不符合； B、 ，不满足 ，不符合； C、 ，不满足 ，不符合； D、 ，满足 ，符合平行四边形角的性质，是可能的度数比值． 故选：D． 题型6：周长问题 19．如图，在平行四边形 中， 的周长为12，则 的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质：对边相等；利用此性质得 的周长与 的周长相等，即可求解． 【详解】解：在平行四边形 中， ， ∵ 的周长为12， 即 ， ∴ ， 即 的周长为12， 故答案为：12． 20．已知平行四边形 的周长为 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形两组对边分别相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质得 ，再根据 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵平行四边形 的周长为32， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：B． 21．如图， 的周长为 ，且 ， 、 相交于点 ， 交 于 ，则 的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得 垂直平分 ，然后根据线段垂直平分线的性质可知 ，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ 为 的垂直平分线， ∴ ， ∵ 的周长为 ， ∴ ． ∴ 的周长 ． 故选：C． 题型7：面积问题 22．在 中， ， ，高为4，则面积为（   ） A．20 B．15 C．12 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 根据题意分两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当 边上的高为4时，即 ， ∴ ∵ ∴ ，不符合题意； 如图所示，当 边上的高为4时，即 ， ∴ ∵ ∴ ，符合题意 ∴ 的面积为 ． 故选：C． 23．如图， 的对角线 ， 相交于点 ，若 ，则 的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质，根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 24．如图，在 中， 于点 ， 于点 ，若平行四边形 的周长为 ， ， ，则平行四边形 的面积等于（   ） A．32 B．48 C．60 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得 ，推出 ，由平行四边形 的周长为 ，计算出 ，再求平行四边形 的面积即可． 【详解】解：由题知， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ，即 ， ， 又平行四边形 的周长为 ， ， ， 解得 ， 平行四边形 的面积等于 ． 故选：D． 25．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为 ， ，则 ， 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质； ， 有一公共边 ，证明 ，可得 与 的高 与 相等，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过 、 分别作 、 ， 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 ， 又∵ ∴ ， ∴ 与 的高 与 相等，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 题型8：平行四边形的综合应用 26．如图， 的对角线 与 相交于点 ， ， ， ，则 为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，得 ， ， 根据题意，得 ，得到 ，根据勾股定理，得 ，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 的对角线 与 相交于点 ， ， ， ， ∴ ， ， 根据题意，得 ， ∴ ， 根据勾股定理，得 ． 故选：B． 27．如图，已知 ， 于点E， ， ， ， ，则 的长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形判定与性质等知识．由等腰三角形三线合一得出 是关键，熟知：平行四边形的对边相等． 先根据勾股定理求出 的长，再根据等角对等边得出 ，再根据等腰三角形三线合一得出 ，从而求出 的长，最后根据平行四边形的对边相等即可求出 的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， 故答案为：11． 28．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】对于A，如图， 此时，四边形 不是平行四边形，故A不符合题意； 对于B，如图， 此时， ，且 ， ∴四边形 是平行四边形，故B符合题意； 对于C，如图， 此时，四边形 不是平行四边形，故C不符合题意； 对于D，如图， 此时，四边形 不是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 题型9：平行线之间的距离及其应用 29．已知平行四边形的一条边长为 ，下列各组数能分别作为它的对角线长的是（   ） A． 和 B． 和8 C． 和 D． 和 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系定理．解决本题的关键是熟练运用三角形三边关系定理计算．由四边形 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得 与 的长，然后根据三角形的三边关系，即可求答案． 【详解】解：如图： 四边形 是平行四边形， ， ， A、 ， ，则 ， ， ， ，能组成三角形，故本选项正确； B、 ， ，则 ， ， ，不能组成三角形，故本选项错误； C、 ， ，则 ， ， ，不能组成三角形，故本选项错误； D、 ， ，则 ， ， ，不能组成三角形，故本选项错误． 故选：A． 30．如图，在 中， ，对角线 相交于点 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到 是 的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到 的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵ ， ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， 故选：C． 31．如图， 的对角线 ， 相交于点O，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确进行分析是解题的关键．根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可． 【详解】解：A．∵ 的对角线 ， 相交于点O， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故A正确，符合题意； B．无法得到 ，故B错误，不符合题意； C．无法得到 ，故C错误，不符合题意； D．平行四边形邻边不一定相等，故D错误，不符合题意； 故选：A． 题型9：平行线之间的距离及其应用 32．如图，已知 ， ， ，则 与 间的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查两平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键． 与 间的距离就是 的长度，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 与 间的距离就是 的长度， ∵ ， ， ∴ 与 间的距离是5， 故答案为：5． 33．已知一点到两条平行线的距离分别是 ， ，则这两条平行线之间距离是 ． 【答案】4或8 【分析】分为点在两条平行线之间和点在两条平行线外侧两种情况，根据点到平行线的距离与平行线间距离的关系求解．本题主要考查了平行线间的距离，熟练掌握点与两条平行线的位置关系对平行线间距离的影响是解题的关键． 【详解】解：情况一：当点在两条平行线之间时， 点到两条平行线的距离分别是 ， ， 两条平行线之间的距离为 ． 情况二：当点在两条平行线外侧时， 点到两条平行线的距离分别是 ， ， 两条平行线之间的距离为 ． 故答案为： 或 ． 34． ，点 ， 在直线 上，点 在直线 上， ， ， ， ，则图中 与 之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式 即可得到结论． 【详解】解：设 与 之间的距离为 ， 则 ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 与 之间的距离为 ， 故答案为： ． 35．如图，梯形 中， ，对角线交于点O，若 的面积是4， ，那么 的面积＝ ，若 的面积等于1， 的面积是4，则 的面积＝ ． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到 ，即可求解 的面积，再由平行线间的距离相等得到 ，然后由 ． 【详解】解：过点 分别作 ，垂足为 ∵ ∴ ， ∴ ， ∵ 的面积是4， ， ∴ ， ∴ ； 过点 作直线 的垂线，垂足为 ， ∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 故答案为：12，3． 题型10：解答证明题 36．如图，四边形 是平行四边形，对角线 相交于点O．求证： ． 【答案】见详解 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质得出 ， ，根据平行线的性质得出 ， ，再根据 即可证明． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 37．已知：如图，在平行四边形 中，E、F分别是 、 的中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过此题可以发现：证明两条线段相等，除了通过证明全等三角形的方法，也可通过特殊四边形的性质进行证明． 要证明 ，可以证明它们所在的两个三角形全等，也可以通过证明四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等进行证明． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 、F分别是 、 的中点， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 38．如图，在平行四边形 中，点E，F在对角线 上，且 ，连接 ．求证： ． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得 ，结合 ，证明 ，即 ． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ． 39．已知：在 中， 、 是对角线 上两点，连接 、 ，若 ，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得 ， ，再证出 ，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 40．如图，在 中，点M，N分别在边 上，且 ，对角线 分别交 于点E，F．求证 ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到 ，由平行线的性质和对顶角相等推出 ， ，据此证明 ，则可证明 ． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 41．如图，在 中， ， ， 的面积为6，则求 的面积． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 作 于G， 于H，根据 的面积为6，求出 ，根据两平行线间的距离相等得到 的长，根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解∶ 如图，作 于G， 于H，    ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ 的面积为6， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积 ． 42．如图，在 中，E，F是对角线 上的两点， ．求证： (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质和 证明 ，可得 ； （2）由（1）知， ，可得 ，所以 ． 【详解】（1） 四边形 是平行四边形， ， ， ， 又 ， ， ． （2）由（1）知 ， ， ． 43．如图，在边长为1的方格纸中，线段 的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画出格点四边形．    (1)在图1中画一个 ，使 ． (2)在图2中画一个 ，使其面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出 ，得出 ，然后根据格点特点画出图形即可； （2）根据网格特点，结合 的面积为10，画图即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 如图， 即为所求作的平行四边形；   或  或   （2）解：如图所示：四边形 即为所求作的平行四边形；    ；    ． 【点睛】本题主要考查了在网格中画平行四边形，解题的关键是熟练掌握网格特点和平行四边形的性质． 44．如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，过点A作 交 的延长线于点F，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ， ， ，求四边形 的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理解三角形以及平行四边形的性质和周长计算．熟练掌握全等三角形的证明方法以及判断出四边形 是平行四边形是解决本题的关键． （1）由角角边的证明方法证明 与 全等，通过证明三角形全等即可得出线段相等； （2）先利用勾股定理求出斜边长度，再根据平行四边形的性质求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：因为 ， 所以 ． 因为E是 的中点， 所以 ． 在 和 中， ， 所以 ≌ ． 所以 ． 因为 是 边上的中线， 所以 ， 所以 ． （2）解：在 中， ， ， ， 根据勾股定理 ． 因为 是 边上的中线， 所以 ． 因为 ， ， 所以四边形 是平行四边形． 所以 ， ． 所以四边形 的周长为 ． 45．如图，在 中，对角线 和 交于点O，点E、点F分别为 的中点，连接 ． (1)求证： ； (2)已知 ， ．若 ，求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 的面积为 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据题意得出 ，利用勾股定理求得 ，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵点E，F分别是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ 的面积 ． 一、单选题 1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是(    ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项． 【详解】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分， ∴选项A. B. C正确，D错误. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 2．已知四边形 是平行四边形，则下列各图中 与 一定不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C． 【详解】解：A正确； ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2； B、D正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠1=∠2； C不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1=∠BCE， ∵∠2=∠CBE+∠BCE， ∴∠2=∠CBE+∠1， ∴∠2＞∠1，即一定不相等； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键． 3．已知平行四边形 的周长为 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形两组对边分别相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质得 ，再根据 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵平行四边形 的周长为32， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：B． 4．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形： ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可． 【详解】解：∵平行四边形是四边形的一种， ∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确： ∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合， ∴平行四边形是中心对称图形，故②正确： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠CBA ∴△ADC≌△CBA（SAS） 同理可以证明△ABD≌△CDB ∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．在 中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ， ， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 6．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm， 相交于点 交 于点 则△ABE的周长为（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC， ∵EO⊥BD， ∴EO为BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∵平行四边形ABCD的周长为16cm， ∴AB+AD＝ ×16＝8cm． ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二、填空题 7．如图，平行四边形 的一个外角为 ，则 的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出 ，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求 的度数． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵平行四边形 的一个外角为 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 8．在平行四边形 中， ，则 的度数为 ． 【答案】 /120度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得 ，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为： ． 9．如图，在 中， ， ， 平分 交 边于点E，则 的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到 ， ，因此 ，由 平分 得到 ，即可得到 ，根据等角对等边得到 ，进而即可求解． 【详解】解：∵在 中， ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：2． 10．如图，平行四边形 的周长是 ，对角线 和 相交于点O， 和 的周长差为 ，那么这个平行四边形的两邻边 、 的长分别为 、 ．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．由平行四边形 的周长是 得： ，再由 和 的周长差是 得出 ，两式联立求解即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵平行四边形 的周长是 ， ∴ ， ∵ 和 的周长差是 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故答案为： ； ． 11．如图， ，下面给出四个结论：①四边形 是平行四边形；② ；③ ；④ ．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形 和四边形 都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是平行四边形，故①正确； EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是平行四边形， ，故②正确； EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 和四边形 等底等高， EMBED Equation.DSMT4 ，故③正确； 四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 ，故④错误； 故答案为：①②③． 12．如图，将平行四边形 进行折叠，折叠后 恰好经过点C得到 ，若 ，则线段 的长度为 ． 【答案】12 【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，AB CD，可得∠ECD'＝90°，由折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，由勾股定理可求CD'的长，AC的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，AB CD ∴∠BAC＝∠ACD＝90° ∴∠ECD'＝90° ∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'， ∴D'E＝DE＝5，AD＝AD' ∴CD'＝ ＝3 ∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC ∵BC2＝AB2＋AC2， ∴（AC＋3）2＝81＋AC2， ∴AC＝12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD'的长是本题的关键． 三、解答题 13．如图，在 中， ，求 和 的度数． 【答案】∠ACB=21°，∠CAB=34° 【分析】根据平行四边形的性质AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，再根据三角形的内角和以及平行线的性质即可得出答案； 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=125°， ∴AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°， ∴∠ACB=∠CAD， ∵∠CAD=21°， ∴∠ACB=21°， 在△ABC中，∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-125°-21°=34°， 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 14．如图，四边形 是平行四边形．求： （1） 和 的度数； （2） 和 的长度． 【答案】（1） ；（2）25，30 【分析】（1）根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，结合已知条件即可得到相关答案； （2）根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可得到正确答案． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ , ∵ ∴ （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记相关知识点灵活应用是解题的关键． 15．如图，在 中， 的平分线交 于E点，且 ， ． (1)求 的周长； (2)连结 ，若 ，求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明 为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【详解】（1）解： 在平行四边形 中， ，   EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 平分 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 平行四边形 的周长为： ． （2）解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，   ， EMBED Equation.DSMT4 为直角三角形，即 ， 平行四边形 的面积 ． 16．如图，在平行四边形 中， 的平分线与 的延长线相交于点 于点 . （1）求证: ； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2. 【分析】（1）先证明 ，得到 ，再根据 ，利用等腰三角形性质得到结论； （2）根据平行四边形性质和 ，求出BE和AB，问题得解． 【详解】（1）证明:四边形 是平行四边形， 即 . 平分 又 ； （2）解: 四边形 是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明 是解答本题关键． 17．如图，在平行四边形 中，点E为 上一点，连接 并延长交 的延长线于点F， ，连接 ． (1)求证： 平分 ； (2)若点E为 中点， ， ，求 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形 是平行四边形得到 ，则 ，由 得到 ，则 ，即可得证； （2）由平行四边形的性质和 证得 和 是等边三角形，则 ，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 平分 ； （2）解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长 ． 18．如图，在 ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，点A，G，E在同一直线上． (1)求证：AG＝ED； (2)求点G到AB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)点G到AB的距离为 【分析】（1）证明△BAG≌△AED（AAS），即可得出结论； （2）过点G作GM⊥AB于M，由（1）可知，AG=ED=2，BG=3，然后在Rt△AMG和△BMG中，由勾股定理得22－AM2＝32－（4－AM）2，解得AM= ，即可解决问题． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，BC＝BG＝3，∠C＝∠BGE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴BG＝AD，∠C+∠D＝180°，∠BAG＝∠AED， ∵∠BGE+∠BGA＝180°， ∴∠D＝∠BGA， 在△BAG和△AED中， ∴△BAG≌△AED（AAS）， ∴AG＝ED； （2）解：过点G作GM⊥AB于M，则∠GMA＝∠GMB＝90°， ∵点E是CD边上的中点，CD＝4， ∴ED＝ CD＝2， 由（1）可知，AG＝ED＝2，BG＝3， 在Rt△AMG和△BMG中，根据勾股定理得：AG2－AM2＝GM2＝BG2－BM2， 即22－AM2＝32－（4－AM）2， 解得：AM＝ ， ∴GM＝ ， 即点G到AB的距离为 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，证明△BAG≌△AED是解题的关键． 19．如图，在 中， ， ，E为射线 上一点，直线 与直线 交于点G， 于H， 的延长线与直线 交于点F． (1)当E在线段 上时， ①若 ， ，求 的面积； ②求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)① ；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作 ，垂足为P，证明 是等腰直角三角形，求出 ，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出 ，利用勾股定理求出 ，进而得到 ，利用勾股定理即可求出 ，即可得到 的面积；②如图，延长 交 的延长线于 ，连接 ，利用全等三角形的性质证明 即可； （2）根据题意可求 ，当点E在线段 上时，根据 ， ， ， ，可得 ，进而得到 ，即 ，同理（1）②可证 ， ，进而得到 ，推出 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到 ，即可求出 ；当点E在射线 上时，同理证明 是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作 ，垂足为P， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是等腰直角三角形， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的面积为： ； ②如图1中，延长 交 的延长线于 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段 上时， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 同理（1）②得 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 是等腰三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 当点E在射线 上时， 同理得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是等腰三角形， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 综上， 长为2或 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $