精品解析：北京市海淀区清华大学附属中学2025-2026学年七年级上期末数学试卷

初一第一学期期末试卷 数学 （清华附中C25级） 2026.01 一．选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 化简后等于（ ） A B. C. D. 5. 一商店以每件75元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则该商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ） A. 亏损10元 B. 盈利10元 C. 亏损20元 D. 不盈不亏 6. 已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ） A. B. C. D. 7. 设．其中，，，是正实数，且满足．则（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个整式，．将整式与整式求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，，以此类推，以下四个说法中正确的个数有（ ） ①当时，第六次求和操作的结果为； ②当时，有最小值，最小值为； ③若关于的方程有无数个解，则； ④当为大于的正整数时，是关于，的五次三项式（其中和均为整数，，均不为）．则的值有种不同结果． A 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 已知：是关于y的一元一次方程，则的值为 ___________． 10. 已知，．若的值等于，则代数式的值是______． 11. 已知，且，若，则的取值范围是______． 12. 已知，那么的值是______． 13. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 14. 如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，，，，其中．若，则的值为______． 15. 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同管子在容器的高度处连通（即管子底离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升．开始注入______分钟的水量后，丙的水位比甲高． 16. 某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为，乙、丙两种品种水果的产量之比为，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为______． 三．解答题（本题共72分，其中17、25-27题每小题6分，18、20题每小题8分，19、21-24题每小题5分，28题7分） 17. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18. 解下列关于的方程： （1）； （2）． 19. 已知，是有理数，且，求的平方根． 20. 化简： （1）； （2）． 21 解方程 22. 某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点．今年和去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高，油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价格为6元/千克．请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入，两年相比，油菜种植成本、售油收入有什么变化？ 23. 证明：不是有理数． 24. 甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球若干盒（多于6盒）． （1）列一元一次方程解决问题： 若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，买了多少盒乒乓球？ （2）若该学校要买30盒乒乓球，如何购买最划算？请说明理由． 25. 若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值．若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组，以及不等式，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组和不等式，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 26. 已知，． （1）若，，，比较，的大小，并说明理由； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，． （1） ； ； （2）两个动点和同时从点和出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒，另有一动点同时从原点出发沿数轴正方向运动，且点始终保持在与之间，满足． ①经过多少秒后？ ②运动过程中对于每一个确定的值有且只有一个时刻使得，请直接写出符合条件的取值范围． 28. 对于一组互不相等的正整数，若从中取出个正整数（取出的正整数可以相同），它们的和仍然在这组数中，则称这组数具有“阶和性”． （1）判断下列两组数是否具有“2阶和性”，并说明理由：①1，2，3，4；②5，6，7，8，9． （2）已知为大于3的整数，证明：从1，2，3，…，这个连续正整数中，任意选个不同的数组成一组，这组数一定具有2阶和性； （3）将个连续正整数1，2，3，…，分成两组（每组至少有一个数，且每个数必须分入其中一组）．直接写出最小的正整数，使得无论怎么分配，这两组数中至少有一组具有“10阶和性”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一第一学期期末试卷 数学 （清华附中C25级） 2026.01 一．选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式法则、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原运算正确，符合题意； B．，故原运算错误，不符合题意； C．，故原运算错误，不符合题意； D．，故原运算错误，不符合题意； 故选：A． 2. 在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 3. 若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 4. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 5. 一商店以每件75元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则该商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ） A. 亏损10元 B. 盈利10元 C. 亏损20元 D. 不盈不亏 【答案】A 【解析】 【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的总销售收入﹣两件商品的总成本＝总利润，即可得出商店卖这两件商品总的盈亏情况． 【详解】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元， 根据题意得：75﹣x＝25%x，75﹣y＝﹣25%y， 解得：x＝60，y＝100， ∴75+75﹣60﹣100＝﹣10（元）． 即该商店卖这两件商品总的亏损是10元． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6. 已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 7. 设．其中，，，是正实数，且满足．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据已知条件确定出a、b、c、d的取值范围，根据不等式的基本性质得出，再比较出有，同理即可得出，，，最后把四式相加即可得出结论． 【详解】解：∵a，b，c，d是正实数，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∴． 故选：A． 8. 已知两个整式，．将整式与整式求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，，以此类推，以下四个说法中正确的个数有（ ） ①当时，第六次求和操作的结果为； ②当时，有最小值，最小值为； ③若关于的方程有无数个解，则； ④当为大于的正整数时，是关于，的五次三项式（其中和均为整数，，均不为）．则的值有种不同结果． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的操作，涉及多项式的定义，整式的加减乘除，一元一次方程的解，绝对值的性质，零指数幂，代数式规律探索，熟练地根据题意得出规律，并掌握整式乘除、一元一次方程的解、绝对值的性质和定义是解题的关键．先利用题意得出，将代入，即可求出，即可判断①；当时，得出，利用绝对值的几何性质，结合图象分类讨论即可求出最小值，即可判断②；化简，得，利用“当且时，方程有无数解”即可求解，即可判断③；先得出，由为大于的正整数，得出，，则是系数不定的二项式，且，的次数都是次，再根据三项式的定义、整式的乘法以及的系数不为，得出只有当或时，才能使式子为三项式，分别讨论，并验证即可判断④． 【详解】解：第一次求和操作：； 第二次求和操作：； 第三次求和操作：； 第四次求和操作：； 第五次求和操作：； 第六次求和操作：； ∴第次求和操作：； 当时，， 故①正确； 当时，，， ∴， 当时，如图， 利用绝对值的几何性质得； 当时，如图， 利用绝对值的几何性质得； 当时，如图， 利用绝对值的几何性质得； 综上，的最小值为，故②正确； ∵， ∴， 化简得：， ∵关于的方程有无数个解， ∴，且， ∴， 故③正确； 由题意，得， ∴， ∵为大于的正整数， ∴，， ∴是系数不定的二项式，且，的次数都是次， ∵是关于，的五次三项式（其中和均为整数，，均不为），且的次数大于等于，且的系数不为， ∴只有当或时，才能使式子为三项式， ①当时，即时，， 要使式子是五次式，则， 解得：或，代入检验都符合题意， 则或； ②当时，即时，， 要使式子是五次式， 则，或， 当时， 解得：或，代入检验都符合题意， 则或； 当时， 解得：或， ∵当时，九次三项式， 故不符合题意， 当时符合题意， 则； 综上，或或， 有种不同结果； 故④不正确； 综上正确的有①②③，共个， 故选：C． 二．填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 已知：是关于y一元一次方程，则的值为 ___________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用一元一次方程的定义分析得出答案． 【详解】由一元一次方程的特点得， 解得， 故． 故填：1． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 10. 已知，．若的值等于，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整数的加减，代数式求值，将原式化为与有关的式子是解题的关键． 把A与B代入中，去括号合并求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即， 则原式 ． 故答案为：． 11. 已知，且，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式性质及解不等式组，熟记不等式性质及不等式组解集求法是解决问题的关键． 先由题中条件得到，从而由不等式的性质将变形为，从而得到，解不等式组即可确定的取值范围． 【详解】解：，， ，， ，， ，即， 则， ， ， 解不等式组得， 故答案为：． 12. 已知，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式有意义的条件，掌握算理是解决问题的关键．本题要分类讨论，当时或当时，先化简为最简二次根式，再代入计算即可． 【详解】解：已知， 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 13. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查换元法解方程，将第二个方程转化为，进而得到方程的解满足，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴方程的解，满足， ∴； 故答案为：0． 14. 如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，，，，其中．若，则的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根据新定义，设，，则，且，代入方程得，即，由为整数且，得，即，所以，故整数可取，，，分别代入求即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设，，则，且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． ∵是整数， ∵，，， 当时，，∴，则， 当时，，∴，则， 当时，，∴，则， 故答案为：或或． 15. 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升．开始注入______分钟的水量后，丙的水位比甲高． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆柱的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 先求出注水1分钟，丙的水位上升，丙的水位上升到需要的时间为（分钟），再分类讨论：①丙的水位未到达连通管高度，②丙的水位到达连通管高度后，③当丙、乙均达时，水流向甲，④当时间大于时，逐个分析求解即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为， ∴甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面积之比为， ∵每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，注水1分钟，乙的水位上升， ∴注水1分钟，丙的水位上升， ∴丙的水位上升到需要的时间为（分钟） 设注水时间为t分钟， ①丙的水位未到达连通管高度， 由丙的水位比甲高，得 ， 解得， ②当丙到达连通管的高度，乙未到达连通管的高度时， ∵丙到达连通管的高度为， ∴丙到达连通管的时间为（分钟）． ∵前分钟乙仅受自身注水，， ∴此时乙的水位为． ∵丙到达连通管后，水从丙流入乙，乙的受水量变为自身注水量+丙流入的注水量， ∴此时乙的水位上升速度为． ∵乙需要从上升到，上升高度为， ∴乙从到所需时间为（分钟）． ∵总时间为丙到连通管的时间加乙后续上升的时间， ∴乙到达连通管的总时间为（分钟）， ∵丙到连通管后，水流入乙，且乙未到达连通管的高度，即甲水位不变、丙水位不上升，二者差值恒为，无法满足差值； ③当丙、乙均达时，水流向甲，使丙比甲高， 丙水位保持，则甲需达． 甲需注水高度：， 所需时间为分钟， 总时间为分钟， ④当时间大于时，甲，丙水位相差小于，不符合题意． 故答案为：或． 16. 某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为，乙、丙两种品种水果的产量之比为，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数求解． 设去年甲、乙、丙种植面积与亩产量参数，表示今年亩产量变化，根据产量比求今年面积关系，利用丙增加产量占比列方程求解所设参数间的关系，再求总面积比． 【详解】解：设去年甲、乙、丙种植面积分别为,,，去年甲、乙、丙平均亩产量分别为,,． 则今年甲亩产量为，乙亩产量为，丙亩产量为． 设今年甲、乙、丙种植面积分别为,,． 由甲、乙产量之比为，得，解得． 由乙、丙产量之比为，得，解得． 今年总产量为． 丙增加产量为，占今年总产量的，即． 化简得，即． 去年总面积为，今年总面积为， 故面积之比为． 故答案为：． 三．解答题（本题共72分，其中17、25-27题每小题6分，18、20题每小题8分，19、21-24题每小题5分，28题7分） 17. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，解题关键是分别求出不等式组中两个不等式的解集． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 将解集在数轴上表示出来为： 18. 解下列关于的方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）当时，方程无解；当时，方程的解为． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）先将原方程整理，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，注意分类讨论即可． 【小问1详解】 解： ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 当时，方程无解； 当时，解得， ∴当时，方程无解； 当时，方程的解为． 19. 已知，是有理数，且，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，已知字母的值，求代数式的值，构造二元一次方程组求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据题意列出关于m、n的方程组求解，再代入中，求出的值，再求出的平方根． 【详解】解：∵，是有理数，且， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 20. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由题意得，， 原式． 21. 解方程 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的应用、解一元一次方程和分类讨论思想的应用，根据题干已知的绝对值将x分为三种情况，分情况讨论使用绝对值的意义化简求解即可． 【详解】解：若，则，化简得，解得（舍去）； 若，则，化简得，解得； 若，则，化简得，解得； 综上所述，或． 22. 某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点．今年和去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高，油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价格为6元/千克．请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入，两年相比，油菜种植成本、售油收入有什么变化？ 【答案】两年相比，油菜种植成本减少了9240元，售油收入增加了23040元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设去年种植面积为亩，根据题干中产油量提高的条件列出方程，求解得到去年和今年的种植面积，再计算成本与收入的变化即可． 【详解】解：设去年油菜种植面积为亩，则今年种植面积为亩， 去年亩产量160千克，含油率，则产油量为千克， 今年亩产量千克，含油率，产油量为千克， 由于今年产油量比去年提高， 则， 解得， 则去年种植面积300亩，今年种植面积亩， 去年种植成本元，今年种植成本元， 则成本减少元， 由于去年产油量千克，售油收入为元， 今年产油量千克，售油收入为元， 则收入增加元， 因此，油菜种植成本减少了9240元，售油收入增加了23040元． 23. 证明：不是有理数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】假设是有理数，则可以表示为（均为整数且互质），从而可得，由此判断出是偶数，再设（为整数），从而可得，由此判断出是偶数，据此得出假设不成立，即可得证． 【详解】证明：假设是有理数， 故可以表示为（均为整数且互质）， 则， 因为是偶数， 所以是偶数， 所以是偶数， 设（为整数）， 则，即， 所以也是偶数，这和互质矛盾． 所以假设不成立，是无理数． 【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 24. 甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球若干盒（多于6盒）． （1）列一元一次方程解决问题： 若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，买了多少盒乒乓球？ （2）若该学校要买30盒乒乓球，如何购买最划算？请说明理由． 【答案】（1）10盒 （2）在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式求值，正确找出等量关系列方程是解题的关键， （1）根据两家商店购买所需商品的费用一样列方程求解即可； （2）分别求出甲、乙两个商店购买费用可求得哪个商店更划算，根据在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球得到更省钱的方案． 【小问1详解】 解：由题意得，在甲商店购买的费用为（元）； 在乙商店购买的费用为（元）． ∵费用一样， ∴， 解得，． ∴该学校购买了10盒乒乓球． 【小问2详解】 解：由（1）可得，全部在甲商店购买，费用为：（元）； 全部在乙商店购买，费用为：（元）； ∵， ∴去乙商店购买划算． 更省钱方案：在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球．费用如下：（元）． ∴在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球． 25. 若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值．若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组，以及不等式，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组和不等式，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】（1）不等式B对于不等式组A是中点包含，见解析； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查新定义概念的运用与求解，不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键． （1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可． （2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值范围． （3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值范围，再根据符合要求的整数m之和为14，缩小m取值范围从而确定n取值范围． 【小问1详解】 解不等式组A：得， ∴中点值为 又∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含； 【小问2详解】 解不等式C得： ∴不等式组C中点为： 解不等式D得： ∵2m+1位于和之间 ∴ 解得：； 【小问3详解】 解不等式组E得：，则中点值为 解不等式组F得： ∵ ∴ ∵所有符合要求的整数m之和为14， ∴m取5，4，3，2或m取5，4，3，2，，0， ∴或． 26. 已知，． （1）若，，，比较，的大小，并说明理由； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2） 或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、整式： （1）当，时，，，求得； （2）根据题意可知，二次函数为，对称轴为，当时，二次函数图象开口向上，可知；当时，二次函数图象开口向下，可知． 【小问1详解】 解：当，时， ，． ． 因为， 所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 解：根据题意可知，二次函数为，对称轴为． （Ⅰ）当时，二次函数图象开口向上，如图所示，根据题意可知 ． 解得． （Ⅱ）当时，二次函数图象开口向下，如图所示，根据题意可知 ． 解得 ． 所以． 综上所述，或． 27. 如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，． （1） ； ； （2）两个动点和同时从点和出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒，另有一动点同时从原点出发沿数轴正方向运动，且点始终保持在与之间，满足． ①经过多少秒后？ ②运动过程中对于每一个确定的值有且只有一个时刻使得，请直接写出符合条件的取值范围． 【答案】（1）；8 （2）①秒或秒；② 【解析】 【分析】（1）利用完全平方式和二次根式的非负性进行求解； （2）①设运动秒，则、，根据得到，分情况讨论，求解的值； ②点的速度为个单位长度/秒，经过秒后的位置为、的位置为，进而得到、，根据列方程，解方程，进而得到、，再根据，分情况讨论，求解的值． 【小问1详解】 解：由于， ∴， 则， 解得， 故答案为：；8； 【小问2详解】 ①解：设运动秒后， 则对应的数、对应的数， 、， 由于， 则， 当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得， 综上所述，经过秒或48秒后； ②解：设点的速度为个单位长度/秒，经过秒后的位置为、的位置为， 则、， 由于 则， 解得， 即经过秒后，点的位置为，、， 则， 当，即时， ， 当，即时， ， 此时的值随着的增大而增大，最小值大于12， 综上所述，当时，对于每一个确定的值有且只有一个时刻使得． 【点睛】本题考查偶次方的非负性和算术平方根的非负性、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离和解一元一次方程是解题的关键． 28. 对于一组互不相等的正整数，若从中取出个正整数（取出的正整数可以相同），它们的和仍然在这组数中，则称这组数具有“阶和性”． （1）判断下列两组数是否具有“2阶和性”，并说明理由：①1，2，3，4；②5，6，7，8，9． （2）已知为大于3的整数，证明：从1，2，3，…，这个连续正整数中，任意选个不同的数组成一组，这组数一定具有2阶和性； （3）将个连续正整数1，2，3，…，分成两组（每组至少有一个数，且每个数必须分入其中一组）．直接写出最小的正整数，使得无论怎么分配，这两组数中至少有一组具有“10阶和性”． 【答案】（1）①具有“2阶和性”，理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题数字类规律探究，整式的加减，利用规律，解决问题是关键； （1）根据新定义验证，即可求解； （2）设从，，，…，中任意选出的个不同的数为​，，…，，并将它们从小到大排列：，考虑的最大值的情形，则，根据在这组数据中，即可得证； （3）根据“10阶和性”，得出最小的数为，再考虑分配哪一组，即可求解． 【小问1详解】 解：①具有“2阶和性”，理由见解析 依题意，，2在①中，，3在①中，，在①中， ∴①1，2，3，4具有“2阶和性”； ②中，，不在②中， ∴②不具有“2阶和性” 【小问2详解】 证明：设从，，，…，中任意选出的个不同的数为​，，…，，并将它们从小到大排列：． ∴，当个数为连续的整数时取得等号， 考虑最大值的情形，则， 又∵， 即时，，而在这组数中，所以这组数具有“阶和性”． 当小于时，，而小于的数都在这组中，所以这组数具有“阶和性”． 综上，无论如何选取，这组数一定具有“2阶和性” 【小问3详解】 解：设将个连续正整数1，2，3，…，分成，两组 依题意，考虑最小的和，一组数据中具有“10阶和性”，在这组数据中，则个相加为， 如果和在组，则可以保证组具有“10阶和性”， 如果不在组，在组，且为组最小的数， 如：：1，2，3，4，5，6，7，8，9；：，……， 根据个相加为，则组必含有，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $