第07讲 二次函数（复习讲义，3考点9题型2重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦二次函数中考核心考点，涵盖定义、图像性质（顶点、对称轴、平移等）及综合应用，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、题型预测等环节，形成“梳理-指导-训练”系统复习流程，助力突破难点。 亮点在于“题型分类+核心方法”教学策略，如图像平移通过“左加右减”法则结合典例变式，培养推理意识与抽象能力。分层练习覆盖基础到新趋势，配合真题精析，确保高效复习，教师可依此精准把控节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第07讲 二次函数 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 二次函数的定义 题型01二次函数的识别 题型02 根据二次函数的定义域求参数 命题点二 二次函数的图像和性质 题型01 二次函数的图像和性质 题型02 二次函数图像的平移 题型03 二次函数图像的对称性 命题点三 二次函数的应用 题型01 角度问题 题型02 面积问题 题型03 相似三角形问题 题型04 实际问题 05·重难突破·思维进阶 29 突破一 特殊三角形、四边形在二次函数中的应用 突破二 二次函数的图像进而性质综合 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求（掌握/理解/运用） 二次函数的解析式 一般式 2023年（T24）、2024年（T24） 理解一般式的结构特征，能根据已知点坐标用待定系数法求解析式 顶点式 2023年（T14）、2025年（T18） 掌握顶点式与顶点坐标的对应关系，能快速求顶点、对称轴 二次函数的图象与性质 顶点与对称轴 2023年（T24(1)）、2025年（T24(2)） 掌握对称轴公式 和顶点坐标公式 开口方向与增减性 2023年（T14）、2024年（T18） 掌握的符号决定开口方向（向上，向下），能结合对称轴判断增减性 与坐标轴的交点 2023年（T24(1)）、2025年（T24(1)） 掌握求与y轴交点、与x轴交点（解方程）的方法 最值问题（顶点纵坐标） 2024年（T24(2)）、2025年（T22） 掌握开口方向与最值的关系，能结合自变量取值范围求实际情境下的最值 二次函数的图象平移 “左加右减、上加下减”法则 2023年（T24(3)）、2025年（T12） 掌握图象平移与解析式变化的对应关系，能根据平移方向求新解析式 二次函数的综合应用 与一次函数/反比例函数的交点 2024年（T25）、2025年（T25） 能联立解析式求解交点坐标，结合图象比较函数值大小 与几何图形（三角形、四边形）综合 2023年（T24(2)）、2025年（T24(3)） 能结合函数图象求图形顶点坐标，运用勾股定理、相似三角形等知识求解线段长、面积 实际应用（最大利润、最大面积） 偶考（全国中考高频） 能根据实际情境列二次函数解析式，结合定义域求最值并验证合理性 命题预测 2026年上海中考二次函数模块命题将延续“题型覆盖选择、填空、解答（压轴题），考点聚焦解析式互化、图象性质、平移法则及几何综合”的特点，侧重数形结合与转化思想，解答题大概率结合四边形、相似三角形考查综合计算与证明，强调函数图象与几何图形的联动分析。 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 熟练掌握三种解析式的互化方法，重点训练“已知顶点+一点用顶点式”“已知交点用交点式”的待定系数法技巧；2. 牢记顶点、对称轴公式，强化a的符号对开口方向、增减性、最值的影响；3. 吃透“左加右减（针对x、上加下减（针对常数项）”的平移法则，避免平移方向与符号的混淆；4. 攻克二次函数与几何综合题，总结“求坐标→分析图形关系→列方程求解”的流程，规避忽略自变量取值范围、计算顶点坐标时的符号错误等陷阱；5. 整理近3年真题压轴题，归纳命题规律，提升综合分析能力。 考点一 二次函数的基本概念 1．二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【特别提醒】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 1．（2025•闵行区月考）下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C． D．y＝（x﹣2）2﹣x2 2．（2025•宝山区校级月考）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B． C． D．y＝x2+3 3．（2025•普陀区三模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝2x C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c 考点二 二次函数的图像和性质 1．二次函数的图象 （1）二次函数图象的画法： ①列表②描点③连线④画图 2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 3．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 5．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． 6．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 7．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 4．（2025•普陀区期中）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•上海模拟）已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•普陀区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 7．（2025•上海月考）函数y＝ax+b与y＝ax2+bx在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•宝山区校级月考）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2025•黄浦区校级月考）下列抛物线中，既在直线x＝2右侧是下降的，又在直线x＝0左侧是上升的可能是（　　） A．y＝2x2+3x﹣4 B．y＝﹣4x2+3x﹣2 C．y＝3x2﹣4x+2 D．y＝﹣4x2﹣3x+2 10．（2025•金山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，下列叙述正确的是（　　） 11．（2025•徐汇区模拟）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 12．（2025•普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，那么m＝ 　 　 ． 13．（2025•浦东新区校级三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④若点（﹣3，m），（5，n）在抛物线上，则m＝n，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点三 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 14．（2025•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 15．（2025•徐汇区校级月考）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x） 16．（2025•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 命题点一 二次函数的定义 ►题型01二次函数的识别 核心方法 先确认函数为二次函数（二次项系数 ），再根据二次函数的定义（形如 为常数且 判断函数类型。 运算要点 1．定类型：先判断表达式是否为整式，且自变量的最高次数为 2 ；若含参数，需重点讨论二次项系数 的情况。 2．看形式：检查是否符合 的结构，含参数时必须验证 。 3．辨特征：区分二次函数与一次函数（最高次数为 1）、常数函数（次数为 0 ）的差异，避免误判。 4．明范围：结合题目条件确定参数取值（如含参数时 的限制）。 易错提醒 1．忽略＂二次项系数 ＂的前提，误将含参数的一次函数／常数函数当作二次函数。 2．对＂自变量最高次数为 2 ＂理解错误，若自变量在根号、分母中，表达式不是二次函数。 3．混淆二次函数与方程、不等式的关系，误判函数类型。 4．未考虑题目隐含条件（如函数定义域、参数的实际意义等）。 【典例1】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【变式1-1】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． ►题型02 根据二次函数的定义求参数 核心方法 先明确二次函数的定义（形如 为常数且 ），再根据＂自变量最高次数为 2 ＂且 ＂二次项系数 列方程与不等式，联立求解参数取值。 运算要点 ①定类型：先判断函数表达式是否符合二次函数的整式形式，识别自变量与系数； ②抓条件：提取两个核心条件——自变量的最高次数为 2 ，且二次项系数 ； ③列关系：根据＂最高次数为 2 ＂列方程，根据＂二次项系数 ＂列不等式； ④解范围：联立方程与不等式，确定参数的取值（或取值范围）。 易错提醒 ①忽略＂二次项系数 ＂的前提，仅根据＂最高次数为 2 ＂列方程，导致参数取值漏解； ②对＂自变量最高次数为 2 ＂理解错误，若自变量在根号、分母中，表达式不是二次函数； ③未考虑题目隐含条件（如参数的实际意义、函数定义域等）； ④混淆＂函数表达式为二次函数＂与＂方程为一元二次方程＂的条件，误将函数问题当作方程问题处理。 【典例2】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【变式2-1】（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【变式2-2】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 命题点二 二次函数的图像和性质 ►题型01 二次函数的图像和性质 核心方法 先确定二次函数的表达式形式（一般式／顶点式／交点式），分析开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素，再结合图像的对称性、增减性、最值等性质，解决相关问题。 运算要点 ①定形式：先确定函数表达式的形式（一般式 、顶点式 或交点式 ； ②析要素：由 的符号判断开口方向（ 向上， 向下）；求对称轴（一般式 ，顶点式 ；求顶点坐标（一般式 ，顶点式 ； ③画草图：结合开口方向、对称轴、顶点，以及与 轴、 轴的交点，画出函数草图； ④析性质：分析增减性（对称轴左侧与右侧的 随 变化的趋势）、最值（顶点纵坐标，结合自变量取值范围确定）、对称性（关于对称轴对称的点函数值相等）； ⑤用性质：结合图像与性质，解决函数值比较、最值求解、区间单调性判断等问题。 易错提醒 ①忽略 的符号对开口方向的影响，误判增减性； ②对称轴计算时符号错误（如一般式中漏写负号）； ③分析增减性时未以对称轴为分界，直接表述 随 增大而增大／减小； ④求最值时忽略自变量的取值范围，直接将顶点纵坐标当作最值； ⑤混淆＂顶点坐标＂与＂与坐标轴的交点坐标＂，误将交点当作顶点； ⑥忽略二次函数的定义域限制，默认自变量为全体实数。 【典例3】（2025·上海杨浦·一模）下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·上海虹口·二模）下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【变式3-4】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 【变式3-5】（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【变式3-6】（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【变式3-7】（2025·上海徐汇·二模）如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是 ． 【变式3-8】（2025·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是 ． ►题型02 二次函数图像的平移 核心方法 先将二次函数化为顶点式 （若为一般式需配方转化），根据＂上加下减，左加右减＂的平移规则，对顶点坐标 进行平移，从而得到平移后的函数表达式（平移过程中二次项系数 保持不变）。 运算要点 ①定形式：先将原二次函数化为顶点式 （一般式需通过配方转化）； ②抓规则：＂上加下减＂ → 上下平移时，直接在表达式末尾加减平移单位（调整 的值）；＂左加右减＂→ 左右平移时，在括号内对 加减平移单位（调整 的值，注意括号内符号）； ③算平移：根据平移方向和单位，调整顶点式中的 或 ，得到平移后的顶点式； ④转形式：若题目要求，将平移后的顶点式转化为一般式。 易错提醒 ①混淆＂左加右减＂的对象，误对 直接加减，而非对括号内的 加减（如向左平移 2 个单位，应为 ，而非 ； ②上下平移时，误对括号内的 进行加减，而非在表达式末尾加减平移单位； ③未将一般式化为顶点式就直接平移，导致平移规则应用错误； ④平移时错误改变二次项系数 的值，忽略平移不改变抛物线的形状与开口方向； ⑤混淆＂平移单位＂与＂顶点坐标变化＂，如向右平移 3 个单位，顶点的 应增加3，而非减少 3 。 【典例4】（2025·上海虹口·二模）如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【变式4-1】（2025·上海崇明·二模）如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么 ．（用含的代数式表示） 【变式4-2】（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【变式4-3】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【变式4-4】（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【变式4-5】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交于点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【变式4-6】（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【变式4-7】（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． ►题型03 二次函数图像的对称性 核心方法 二次函数的图像是抛物线，关于对称轴 （一般式）或 （顶点式）对称。先确定对称轴，再利用 ＂抛物线上函数值相等的两点关于对称轴对称＂的性质，结合已知点坐标、函数表达式等解决问题。 运算要点 ①定对称轴：由一般式 计算对称轴 ，或由顶点式 直接得对称轴 ； ②用性质：若点 在抛物线上，则其关于对称轴 的对称点为 ；若两点 、 函数值相等，则对称轴为 ； ③求对称点／表达式：已知一点和对称轴，求对称点坐标；或已知两点对称，求对称轴； ④解问题：结合对称性解决函数值比较、区间最值、图像交点等问题。 【典例5】（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【变式5-1】（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 【变式5-2】（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 命题点三 二次函数的综合与应用 ►题型01 角度问题 核心方法 先确定二次函数表达式并求出关键点（顶点、与坐标轴交点等）坐标，再将角度条件（等角、直角、特殊角等）转化为几何关系（相似三角形、斜率关系、三角函数值等），结合坐标系工具（两点距离、斜率公式）列方程求解，最后验证解的合理性。 运算要点 ①定基础：先求解二次函数表达式，确定抛物线上关键点（顶点、与 轴交点）的坐标； ②转条件：将角度条件转化为几何关系——等角→构造相似三角形；直角→斜率乘积为 -1 （或勾股定理）；特殊角 利用三角函数值转化为线段比例； ③选工具：根据转化后的关系，选择两点间距离公式、斜率公式、相似三角形对应边成比例等工具； ④列方程：结合坐标与几何关系，列出方程（或方程组）； ⑤解验证：求解方程，检验解是否符合题意（如点是否在抛物线上、角度是否满足条件、坐标是否在指定范围内）。 易错提醒 ①角度条件转化错误：如直角条件漏用斜率乘积为 -1 ，或特殊角的三角函数值记错（如 的正切值误记为 ； ②相似三角形对应边找错：导致比例关系错误，进而方程列错； ③忽略点的位置：如点在 x 轴上方／下方、抛物线的不同分支，导致漏解或多解； ④坐标／边长计算错误：距离公式中符号处理失误，或斜率计算时分子分母颠倒； ⑤程检验解的合理性：求出的点不在抛物线上，或角度不满足题目隐含条件（如角度为锐角／钝角的限制）。 【典例6】（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【变式6-1】（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【变式6-2】（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． ►题型02 面积问题 核心方法 先确定二次函数表达式，求出关键点（顶点、与坐标轴交点、动点等）的坐标，再将面积问题转化为线段长度、坐标差的计算，常用割补法（把不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形），结合坐标系中的面积公式（如三角形面积公式、坐标行列式公式）求解，若涉及面积最值，可转化为二次函数的最值问题处理。 运算要点 ①定基础：先求解二次函数表达式，确定抛物线上的关键点（顶点、与 轴交点、动点坐标等）； ②选策略：根据图形形状选择割补法（如把四边形分割为两个三角形，或用大图形面积减去小图形面积），或直接使用坐标面积公式； ③算线段：利用坐标差计算底、高的长度（注意用绝对值保证长度为正）； ④列表达式：结合线段长度，列出面积关于动点坐标（或参数）的函数表达式； ⑤求结果：若求面积最值，利用二次函数性质求最值；若求面积为定值时的点坐标，解方程并验证解的合理性 （如点是否在抛物线上、线段上）。 易错提醒 ①割补法分割图形错误，导致面积计算逻辑错误； ②线段长度计算时忽略坐标差的绝对值，出现负的长度值； ③使用坐标面积公式时，点的顺序错误导致面积符号或数值错误； ④涉及动点时，忽略动点的取值范围（如在抛物线的特定分支、线段上的限制）； ⑤求面积最值时，混淆自变量的取值范围，直接用顶点坐标求最值，未结合实际定义域验证； ⑥忽略图形的几何特征（如三角形的底／高与坐标轴平行），选择复杂的计算方式，增加出错概率； ⑦计算不规则图形面积时，漏补或多减部分图形，导致面积偏差。 【典例7】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【变式7-1】（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【变式7-2】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． ►题型03 相似三角形问题 核心方法 先确定二次函数表达式，求出关键点（顶点、与坐标轴交点、动点等）的坐标，再分析相似三角形的对应关系 （需分类讨论不同的顶点对应情况），结合坐标计算边长、角度，利用相似三角形的判定条件（AA、SAS、 SSS）列出比例式，最后解方程并验证解的合理性（如点是否在抛物线上、是否满足几何条件）。 运算要点 ①定基础：先求解二次函数表达式，确定抛物线上的关键点（顶点、与 轴交点、动点坐标等）； ②找对应：分析相似三角形的角或边的对应关系，对可能的对应情况进行分类讨论（如哪个角对应直角、哪条边对应最长边）； ③算边长：用两点距离公式或坐标差计算三角形各边的长度（注意用绝对值保证长度为正）； ④列比例：根据相似判定条件（如 AA 则找等角，SAS 则找两边成比例且夹角相等），列出对应边的比例式； ⑤解方程：求解比例式得到参数或点的坐标，检验解是否符合题意（如点是否在抛物线上、是否在指定线段上）； ⑥得结论：整理所有符合条件的解，明确相似三角形的对应关系及点的位置。 易错提醒 ①对应关系错误：相似三角形的对应顶点、对应边找错，导致比例式列错（如将短边与长边对应）； ②漏分类讨论：相似的对应情况有多种（如 与 是不同情况），只考虑一种导致漏解； ③边长计算错误：距离公式中坐标差的符号处理失误，或误用坐标差直接作为边长（未取绝对值）； ④相似判定错误：误用判定条件（如 SSA 不能判定相似，却用两边及其中一边的对角相等判定相似）； ⑤忽略隐含条件：比如点的位置限制（在抛物线上、线段上）、角度的限制（如直角、锐角），导致求出的解不符合题意； ⑥解的验证不足：求出的点不在抛物线上，或比例式不成立，没有检验解的合理性； ⑦角度分析错误：误判等角的来源（如混淆＂公共角＂与＂直角＂的对应关系），导致相似判定错误。 【典例8】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【变式8-1】（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【变式8-2】（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． ►题型04 实际问题 核心方法 先梳理实际问题中的数量关系，确定自变量与因变量，建立二次函数模型，再利用二次函数的图像与性质（如最值、增减性、取值范围）求解，最后验证结果的实际意义（如非负性、符合场景限制）。 运算要点 ①审题意：梳理实际问题中的等量关系，明确自变量（如时间、长度、数量）与因变量（如利润、面积、高度）的含义； ②建模型：根据等量关系列出二次函数表达式，并结合实际场景确定自变量的取值范围（如时间 、长度 ； ③析函数：分析二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，结合自变量的实际取值范围，确定函数的最值或增减性； ④解问题：利用函数性质求解实际问题（如求最大利润、最优面积、特定条件下的自变量值）； ⑤验结果：验证解是否符合实际意义（如结果为非负数、在自变量取值范围内、符合场景逻辑）。 易错提醒 ①建模错误：等量关系梳理错误，导致二次函数表达式列错（如利润计算中漏减成本、面积计算中边长关系错误）； ②忽略自变量范围：未考虑实际问题中自变量的取值限制（如时间不能为负、人数为正整数），导致最值或解的错误； ③最值判断错误：忽略自变量的实际范围，直接用顶点坐标求最值，未结合区间端点验证（如对称轴不在取值范围内时，最值应在端点处取得）； ④单位混淆：实际问题中单位不统一（如长度单位为米与厘米混用），导致计算错误； ⑤结果验证不足：求出的解不符合实际意义（如负数利润、小数人数），未进行检验； ⑥增减性分析错误：未结合自变量范围与对称轴的位置，误判函数的增减趋势（如对称轴在取值范围左侧时，函数在区间内单调递增）； ⑦场景理解偏差：对实际问题的场景逻辑理解错误（如＂售价上涨销量下降＂的关系梳理错误），导致函数模型错误。 【典例9】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【变式9-1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【变式9-2】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 突破一 特殊三角形、四边形在二次函数中的应用 【典例1】（上海市闵行区2025年中考一模考试数学试题）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为 ． 【变式1-1】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【变式1-2】（2025·黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【变式1-3】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 突破二 二次函数的图像和性质综合 【典例2】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 【变式2-1】（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【变式2-2】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 1．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海嘉定·一模）抛物线一定经过点（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 6．（2025·上海杨浦·二模）如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是 （只需写出一个即可）． 7．（2025·上海普陀·一模）已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 8．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 9．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 10．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 11．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 2．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 5．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $一般形式：y=ax2+bx十c(其中a,b,c是常数，a≠0) 二次函数的 a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 二次函数的定义 关健要素： 基本概念 x和y是变量，a,b,c是常量 函数右边必须为整式 判断标准： 二次项系数a≠0是必要条件 步骤：列表→描点→连线→画图 二次函数图象的画法 关键点：需选取包括顶点在内的对称点 顶点坐标： 对称轴：直线=一品 一开口向上，顶点为最低点 二次函数的性质 父<一品时，y随x增大而减小 当a>0时： x>一云时，y随c增大而增大 最小值为4如c-2 4a 开口方向与增减性 开口向下，顶点为最高点 心<一品时，y随x增大而增大 当a<0时： x>一品时，y随x增大而减小 最大值为“。 决定开口方向和大小 二次函数 二次函数的 二次项系数a: a>0时开口向上，a<0时开口向下 图像和性质 a越大，开口越小 与a共同决定对称轴位置 一次项系数b ab>0时对称轴在y轴左侧 图象与系数的关系 ab<0时对称轴在y轴右侧（左同右异） 常数项c:决定抛物线与y轴交点(0，C) △>0：与x轴有2个交点 判别式△=b2-4ac: △=0：与x轴有1个交点 △≤0：与x轴没有交点 一般式：y=ax2十bc十c一优势：直接得抛物线与y轴交点(0，c) 三种形式 顶点式：y=a(x一)2十k一优势：直接得顶点坐标(h,k) 交点式：y=a(x一x1)(x一c2)一优势：直接得与x轴交点(x1,0)和(x2,0) 对称性：图象关于对称轴心=一品成轴对称 ,点的坐标特征 顶点特征：顶点是最高点或最低点 交点对称：与x轴的两个交点关于对称轴对称 核心关系：利润三每件利润×销售量 利润问题应用 函数模型：y=(售价+x一进价)×（基础销量一减少量×x) 二次函数的 增长率问题应用 季度增长模型：y=首月十第二月十第三月 应用 拱桥问题：建立坐标系，利用顶点式求抛物线解析式 确定顶点坐标（如拱顶离水面4米，水面宽8米→顶点(4,4）) 几何图形中的应用 关键步骤： 设顶点式y=a(x一h)2十k,代入已知点求a 根据实际需求（如水面上升）求解新宽度 面积最值：通过二次函数求图形面积的最大值或最小值一般形式：y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0) 二次函数的 a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 二次函数的定义 关健要素： 基本概念 x和y是变量，a,b,c是常量 函数右边必须为整式 判断标准： 二次项系数a≠0是必要条件 步骤：列表十描点→连线→画图 二次函数图象的画法 关键点：需选取包括顶点在内的对称点 顶点坐标： 对称轴：直线=一会 一开口向上，顶点为最低点 二次函数的性质 <一品时，y随x增大而减小 当a>0时： x>一品时，y随x增大而增大 最小值为4知c-2 4a 开口方向与增减性： 开口向下，顶点为最高点 心<一品时，y随x增大而增大 当a<0时： x>一会时，y随x增大而减小 最大值为。” 决定开口方向和大小 二次函数的 二次项系数a: a>0时开口向上，a<0时开口向下 二次函数 图像和性质 a越大，开口越小 与a共同决定对称轴位置 一次项系数b ab>0时对称轴在y轴左侧 图象与系数的关系 ab<0时对称轴在y轴右侧（左同右异） 常数项c:决定抛物线与y轴交点(0，C) △>0：与x轴有2个交点 判别式△=b2-4ac: △=0：与x轴有1个交点 △<0：与x轴没有交点 一般式：y=ax2十bc十c一优势：直接得抛物线与y轴交点(0，c) 三种形式 顶点式：y=a(x一)2十k一优势：直接得顶点坐标(h,k) 交点式：y=a(x一x1)(x一c2）)一优势：直接得与x轴交点(x1,0)和(x2,0) 对称性：图象关于对称轴心=一品成轴对称 ,点的坐标特征 顶点特征：顶点是最高点或最低，点 交点对称：与x轴的两个交点关于对称轴对称 核心关系：利润=每件利润×销售量 利润问题应用 函数模型：y=(售价+x一进价)×（基础销量一减少量×x) 二次函数的 增长率问题应用 季度增长模型：y=首月十第二月十第三月 应用 拱桥问题：建立坐标系，利用顶点式求抛物线解析式 确定顶点坐标（如拱顶离水面4米，水面宽8米→顶点(4,4）) 几何图形中的应用 关键步骤： 设顶点式y=a(x一h)2+k,代入已知点求a 根据实际需求（如水面上升）求解新宽度 面积最值：通过二次函数求图形面积的最大值或最小值 第三章 函数 第07讲 二次函数 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 二次函数的定义 题型01二次函数的识别 题型02 根据二次函数的定义域求参数 命题点二 二次函数的图像和性质 题型01 二次函数的图像和性质 题型02 二次函数图像的平移 题型03 二次函数图像的对称性 命题点三 二次函数的应用 题型01 角度问题 题型02 面积问题 题型03 相似三角形问题 题型04 实际问题 05·重难突破·思维进阶 62 突破一 特殊三角形、四边形在二次函数中的应用 突破二 二次函数的图像进而性质综合 06·优题精选·练能提分 79 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课表要求（掌握/理解/运用） 二次函数的解析式 一般式 2023年（T24）、2024年（T24） 理解一般式的结构特征，能根据已知点坐标用待定系数法求解析式 顶点式 2023年（T14）、2025年（T18） 掌握顶点式与顶点坐标的对应关系，能快速求顶点、对称轴 二次函数的图象与性质 顶点与对称轴 2023年（T24(1)）、2025年（T24(2)） 掌握对称轴公式 和顶点坐标公式 开口方向与增减性 2023年（T14）、2024年（T18） 掌握的符号决定开口方向（向上，向下），能结合对称轴判断增减性 与坐标轴的交点 2023年（T24(1)）、2025年（T24(1)） 掌握求与y轴交点、与x轴交点（解方程）的方法 最值问题（顶点纵坐标） 2024年（T24(2)）、2025年（T22） 掌握开口方向与最值的关系，能结合自变量取值范围求实际情境下的最值 二次函数的图象平移 “左加右减、上加下减”法则 2023年（T24(3)）、2025年（T12） 掌握图象平移与解析式变化的对应关系，能根据平移方向求新解析式 二次函数的综合应用 与一次函数/反比例函数的交点 2024年（T25）、2025年（T25） 能联立解析式求解交点坐标，结合图象比较函数值大小 与几何图形（三角形、四边形）综合 2023年（T24(2)）、2025年（T24(3)） 能结合函数图象求图形顶点坐标，运用勾股定理、相似三角形等知识求解线段长、面积 实际应用（最大利润、最大面积） 偶考（全国中考高频） 能根据实际情境列二次函数解析式，结合定义域求最值并验证合理性 命题预测 2026年上海中考二次函数模块命题将延续“题型覆盖选择、填空、解答（压轴题），考点聚焦解析式互化、图象性质、平移法则及几何综合”的特点，侧重数形结合与转化思想，解答题大概率结合四边形、相似三角形考查综合计算与证明，强调函数图象与几何图形的联动分析。 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 熟练掌握三种解析式的互化方法，重点训练“已知顶点+一点用顶点式”“已知交点用交点式”的待定系数法技巧；2. 牢记顶点、对称轴公式，强化a的符号对开口方向、增减性、最值的影响；3. 吃透“左加右减（针对x、上加下减（针对常数项）”的平移法则，避免平移方向与符号的混淆；4. 攻克二次函数与几何综合题，总结“求坐标→分析图形关系→列方程求解”的流程，规避忽略自变量取值范围、计算顶点坐标时的符号错误等陷阱；5. 整理近3年真题压轴题，归纳命题规律，提升综合分析能力。 考点一 二次函数的基本概念 1．二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【特别提醒】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 1．（2025•闵行区月考）下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C． D．y＝（x﹣2）2﹣x2 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义“形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下： A、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A不符合题意； B、y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 2．（2025•宝山区校级月考）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B． C． D．y＝x2+3 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）是二次函数，故A不符合题意； B、y不是二次函数，故B不符合题意； C、y不是二次函数，故C不符合题意； D、y＝x2+3是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2025•普陀区三模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝2x C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c 【答案】C 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意； B、y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； C、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意； D、当a＝0时，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 考点二 二次函数的图像和性质 1．二次函数的图象 （1）二次函数图象的画法： ①列表②描点③连线④画图 2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 3．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 5．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． 6．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 7．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 4．（2025•普陀区期中）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先由二次函数y＝x2﹣a的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b2的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、线抛物开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 5．（2025•上海模拟）已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断． 【解答】解：当m＞0时，y＝mx的图象是经过原点和一三象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴， 当m＜0时，y＝mx的图象是经过原点和二四象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴， 故选：D． 【点评】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 6．（2025•普陀区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴可得a，b，c的取值范围，再根据一次函数的系数得出答案． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0． ∵对称轴， ∴b＞0， ∴经过第一，二，三象限． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2025•上海月考）函数y＝ax+b与y＝ax2+bx在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象和二次函数的图象分别得出a和b的符号，比较即可求解． 【解答】解：根据一次函数的图象和二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断如下： A、当x＝0时，y＝ax2+bx＝0，函数y＝ax2+bx经过原点，故A不符合题意； B、对于y＝ax+b，则a＞0，b＞0， 而对于y＝ax2+bx的对称轴，开口向上a＞0，则b＜0，故B不符合题意； C、对于y＝ax+b，则a＜0，b＞0， 而对于y＝ax2+bx的对称轴，开口向下a＜0，则b＞0，故C符合题意； 同理，D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象判断．熟练掌握两个函数性质是关键． 8．（2025•宝山区校级月考）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出二次函数函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键． 9．（2025•黄浦区校级月考）下列抛物线中，既在直线x＝2右侧是下降的，又在直线x＝0左侧是上升的可能是（　　） A．y＝2x2+3x﹣4 B．y＝﹣4x2+3x﹣2 C．y＝3x2﹣4x+2 D．y＝﹣4x2﹣3x+2 【答案】B 【分析】通过分析抛物线的开口方向和对称轴位置，判断其在指定区间的增减性．开口向下时，对称轴左侧递增、右侧递减；开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增． 【解答】解：根据题意需a＜0且． A．y＝2x2+3x﹣4， a＝2＞0，不满足a＜0，排除，不符合题意； B．y＝﹣4x2+3x﹣2 a＝﹣4＜0，对称轴， 满足0≤0.375≤2，符合条件． C．y＝3x2﹣4x+2 a＝3＞0，不满足a＜0，排除，不符合题意； D．y＝﹣4x2﹣3x+2 a＝﹣4＜0，对称轴， 不满足，排除，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质及对称性，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2025•金山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，下列叙述正确的是（　　） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是（20，25） B．抛物线有最高点，最高点的坐标是（﹣20，25） C．抛物线有最高点，最高点的坐标是（20，25） D．抛物线有最低点，最低点的坐标是（﹣20，25） 【答案】C 【分析】根据抛物线顶点式特征确定正确选项即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，开口向下，有最高点，最高点坐标（20，25），只有选项C符合条件． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数性质、二次函数最值，熟练掌握以上知识点是关键． 11．（2025•徐汇区模拟）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【答案】B 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线对称轴． 【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2+3的解析式可知，抛物线对称轴为直线x＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线顶点式的特点是关键． 12．（2025•普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，那么m＝ 　 　 ． 【答案】﹣4． 【分析】将（0，0）代入解析式求解． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点， ∴0＝（0﹣2）2+m， 解得m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 13．（2025•浦东新区校级三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④若点（﹣3，m），（5，n）在抛物线上，则m＝n，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【解答】解：①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②∵1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③二次函数y＝ax2+bx+c和直线y＝2的图象有两个不同的交点，所以有两个不相等的实数根． 故③正确； ④∵点（﹣3，m），（5，n）在抛物线上，则m＝n， 故④正确； 其中正确的有3个． 故选：C． 考点三 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 14．（2025•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【答案】C 【分析】先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润＝每件利润×销售量”列出函数式． 【解答】解：商品原售价为10元，涨价x元后，新售价为（10+x）元， 由题意得利润y＝每件利润×销售量， y＝（10+x﹣9）（100﹣10x）， 故选：C． 【点评】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润＝每件利润×销售量”的数量关系． 15．（2025•徐汇区校级月考）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x） 【答案】B 【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个， 依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 16．（2025•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 【答案】4． 【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解． 【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0， ∴a， ∴y（x﹣4）2+4． ∴当水面上升3m时，令y＝3，则y（x﹣4）2+4＝3． ∴x＝2或x＝6． ∴此时水面宽为6﹣2＝4（米）， ∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键． 命题点一 二次函数的定义 ►题型01二次函数的识别 核心方法 先确认函数为二次函数（二次项系数 ），再根据二次函数的定义（形如 为常数且 判断函数类型。 运算要点 1．定类型：先判断表达式是否为整式，且自变量的最高次数为 2 ；若含参数，需重点讨论二次项系数 的情况。 2．看形式：检查是否符合 的结构，含参数时必须验证 。 3．辨特征：区分二次函数与一次函数（最高次数为 1）、常数函数（次数为 0 ）的差异，避免误判。 4．明范围：结合题目条件确定参数取值（如含参数时 的限制）。 易错提醒 1．忽略＂二次项系数 ＂的前提，误将含参数的一次函数／常数函数当作二次函数。 2．对＂自变量最高次数为 2 ＂理解错误，若自变量在根号、分母中，表达式不是二次函数。 3．混淆二次函数与方程、不等式的关系，误判函数类型。 4．未考虑题目隐含条件（如函数定义域、参数的实际意义等）。 【典例1】 （2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 【变式1-1】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 【变式1-2】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不含二次项，不是二次函数，不符合题意． 故选C． ►题型02 根据二次函数的定义求参数 核心方法 先明确二次函数的定义（形如 为常数且 ），再根据＂自变量最高次数为 2 ＂且 ＂二次项系数 列方程与不等式，联立求解参数取值。 运算要点 ①定类型：先判断函数表达式是否符合二次函数的整式形式，识别自变量与系数； ②抓条件：提取两个核心条件——自变量的最高次数为 2 ，且二次项系数 ； ③列关系：根据＂最高次数为 2 ＂列方程，根据＂二次项系数 ＂列不等式； ④解范围：联立方程与不等式，确定参数的取值（或取值范围）。 易错提醒 ①忽略＂二次项系数 ＂的前提，仅根据＂最高次数为 2 ＂列方程，导致参数取值漏解； ②对＂自变量最高次数为 2 ＂理解错误，若自变量在根号、分母中，表达式不是二次函数； ③未考虑题目隐含条件（如参数的实际意义、函数定义域等）； ④混淆＂函数表达式为二次函数＂与＂方程为一元二次方程＂的条件，误将函数问题当作方程问题处理。 【典例2】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 【变式2-1】（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2-2】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 命题点二 二次函数的图像和性质 ►题型01 二次函数的图像和性质 核心方法 先确定二次函数的表达式形式（一般式／顶点式／交点式），分析开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素，再结合图像的对称性、增减性、最值等性质，解决相关问题。 运算要点 ①定形式：先确定函数表达式的形式（一般式 、顶点式 或交点式 ； ②析要素：由 的符号判断开口方向（ 向上， 向下）；求对称轴（一般式 ，顶点式 ；求顶点坐标（一般式 ，顶点式 ； ③画草图：结合开口方向、对称轴、顶点，以及与 轴、 轴的交点，画出函数草图； ④析性质：分析增减性（对称轴左侧与右侧的 随 变化的趋势）、最值（顶点纵坐标，结合自变量取值范围确定）、对称性（关于对称轴对称的点函数值相等）； ⑤用性质：结合图像与性质，解决函数值比较、最值求解、区间单调性判断等问题。 易错提醒 ①忽略 的符号对开口方向的影响，误判增减性； ②对称轴计算时符号错误（如一般式中漏写负号）； ③分析增减性时未以对称轴为分界，直接表述 随 增大而增大／减小； ④求最值时忽略自变量的取值范围，直接将顶点纵坐标当作最值； ⑤混淆＂顶点坐标＂与＂与坐标轴的交点坐标＂，误将交点当作顶点； ⑥忽略二次函数的定义域限制，默认自变量为全体实数。 【典例3】（2025·上海杨浦·一模）下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答本题的关键． 分别写出各个二次函数的顶点坐标，然后判断其位置即可解答． 【详解】解：A、，顶点坐标为，不在轴上，故A选项不符合题意； B、，顶点坐标为，不在轴上，故B选项不符合题意； C、，顶点坐标为，在轴上，故C选项不符合题意； D、，顶点坐标为，在轴上，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（2025·上海虹口·二模）下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： A.， 的值随的值增大而减小，符合题意； B. ， 的值随的值增大而增大，不符合题意； C. ，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，不符合题意； D选项，，在每一象限内，的值随的值增大而增大，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 【变式3-3】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 【变式3-4】（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 【变式3-5】（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向的确定方法是解题的关键． 根据题意，把点代入计算，得到解析式，根据二次项系数的正负确定图象开口即可． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上 ． 【变式3-6】（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴， ∴在对称轴右侧随的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升． 【变式3-7】（2025·上海徐汇·二模）如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质． 首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可． 【详解】解：∵的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式3-8】（2025·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．由，那么该抛物线开口向上，对称轴为，交轴负半轴，当该抛物线过点时，可算得，，那么当时，；当时，，由线段与抛物线有交点，那么点在的右侧，或者点在的左侧时均满足条件，然后列出不等式，即可得到答案． 【详解】解： 该抛物线开口向上，对称轴为，交轴负半轴， 当该抛物线过点时， ， ，， 当时，；当时，，如图所示， 线段与抛物线有交点， 点在的右侧，或者点在的左侧时均满足条件， 或， 或， ， 或． 故答案为：或． ►题型02 二次函数图像的平移 核心方法 先将二次函数化为顶点式 （若为一般式需配方转化），根据＂上加下减，左加右减＂的平移规则，对顶点坐标 进行平移，从而得到平移后的函数表达式（平移过程中二次项系数 保持不变）。 运算要点 ①定形式：先将原二次函数化为顶点式 （一般式需通过配方转化）； ②抓规则：＂上加下减＂ → 上下平移时，直接在表达式末尾加减平移单位（调整 的值）；＂左加右减＂→ 左右平移时，在括号内对 加减平移单位（调整 的值，注意括号内符号）； ③算平移：根据平移方向和单位，调整顶点式中的 或 ，得到平移后的顶点式； ④转形式：若题目要求，将平移后的顶点式转化为一般式。 易错提醒 ①混淆＂左加右减＂的对象，误对 直接加减，而非对括号内的 加减（如向左平移 2 个单位，应为 ，而非 ； ②上下平移时，误对括号内的 进行加减，而非在表达式末尾加减平移单位； ③未将一般式化为顶点式就直接平移，导致平移规则应用错误； ④平移时错误改变二次项系数 的值，忽略平移不改变抛物线的形状与开口方向； ⑤混淆＂平移单位＂与＂顶点坐标变化＂，如向右平移 3 个单位，顶点的 应增加3，而非减少 3 。 【典例4】（2025·上海虹口·二模）如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，平移后所得新抛物线的表达式是：； 故答案为：． 【变式4-1】（2025·上海崇明·二模）如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称得出，求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称， ∴， 化简得：， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 【变式4-4】（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 【变式4-5】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交于点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 【变式4-6】（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 【变式4-7】（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． ►题型03 二次函数图像的对称性 核心方法 二次函数的图像是抛物线，关于对称轴 （一般式）或 （顶点式）对称。先确定对称轴，再利用 ＂抛物线上函数值相等的两点关于对称轴对称＂的性质，结合已知点坐标、函数表达式等解决问题。 运算要点 ①定对称轴：由一般式 计算对称轴 ，或由顶点式 直接得对称轴 ； ②用性质：若点 在抛物线上，则其关于对称轴 的对称点为 ；若两点 、 函数值相等，则对称轴为 ； ③求对称点／表达式：已知一点和对称轴，求对称点坐标；或已知两点对称，求对称轴； ④解问题：结合对称性解决函数值比较、区间最值、图像交点等问题。 【典例5】（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线图象上的点， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴抛物线变形为， 把代入得； 把代入，得， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 【变式5-2】（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 命题点三 二次函数的综合与应用 ►题型01 角度问题 核心方法 先确定二次函数表达式并求出关键点（顶点、与坐标轴交点等）坐标，再将角度条件（等角、直角、特殊角等）转化为几何关系（相似三角形、斜率关系、三角函数值等），结合坐标系工具（两点距离、斜率公式）列方程求解，最后验证解的合理性。 运算要点 ①定基础：先求解二次函数表达式，确定抛物线上关键点（顶点、与 轴交点）的坐标； ②转条件：将角度条件转化为几何关系——等角→构造相似三角形；直角→斜率乘积为 -1 （或勾股定理）；特殊角 利用三角函数值转化为线段比例； ③选工具：根据转化后的关系，选择两点间距离公式、斜率公式、相似三角形对应边成比例等工具； ④列方程：结合坐标与几何关系，列出方程（或方程组）； ⑤解验证：求解方程，检验解是否符合题意（如点是否在抛物线上、角度是否满足条件、坐标是否在指定范围内）。 易错提醒 ①角度条件转化错误：如直角条件漏用斜率乘积为 -1 ，或特殊角的三角函数值记错（如 的正切值误记为 ； ②相似三角形对应边找错：导致比例关系错误，进而方程列错； ③忽略点的位置：如点在 x 轴上方／下方、抛物线的不同分支，导致漏解或多解； ④坐标／边长计算错误：距离公式中符号处理失误，或斜率计算时分子分母颠倒； ⑤程检验解的合理性：求出的点不在抛物线上，或角度不满足题目隐含条件（如角度为锐角／钝角的限制）。 【典例6】（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式6-1】（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式6-2】（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． ►题型02 面积问题 核心方法 先确定二次函数表达式，求出关键点（顶点、与坐标轴交点、动点等）的坐标，再将面积问题转化为线段长度、坐标差的计算，常用割补法（把不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形），结合坐标系中的面积公式（如三角形面积公式、坐标行列式公式）求解，若涉及面积最值，可转化为二次函数的最值问题处理。 运算要点 ①定基础：先求解二次函数表达式，确定抛物线上的关键点（顶点、与 轴交点、动点坐标等）； ②选策略：根据图形形状选择割补法（如把四边形分割为两个三角形，或用大图形面积减去小图形面积），或直接使用坐标面积公式； ③算线段：利用坐标差计算底、高的长度（注意用绝对值保证长度为正）； ④列表达式：结合线段长度，列出面积关于动点坐标（或参数）的函数表达式； ⑤求结果：若求面积最值，利用二次函数性质求最值；若求面积为定值时的点坐标，解方程并验证解的合理性 （如点是否在抛物线上、线段上）。 易错提醒 ①割补法分割图形错误，导致面积计算逻辑错误； ②线段长度计算时忽略坐标差的绝对值，出现负的长度值； ③使用坐标面积公式时，点的顺序错误导致面积符号或数值错误； ④涉及动点时，忽略动点的取值范围（如在抛物线的特定分支、线段上的限制）； ⑤求面积最值时，混淆自变量的取值范围，直接用顶点坐标求最值，未结合实际定义域验证； ⑥忽略图形的几何特征（如三角形的底／高与坐标轴平行），选择复杂的计算方式，增加出错概率； ⑦计算不规则图形面积时，漏补或多减部分图形，导致面积偏差。 【典例7】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 【变式7-1】（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 设直线解析式为 把，代入得： ，解得 直线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 （2）由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令得， ， 在中，令得， ， ， ， 解得舍去或， 抛物线的表达式为； （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： 抛物线对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 令得， 解得或， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段上，故点不存在． 【变式7-2】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． ►题型03 相似三角形问题 核心方法 先确定二次函数表达式，求出关键点（顶点、与坐标轴交点、动点等）的坐标，再分析相似三角形的对应关系 （需分类讨论不同的顶点对应情况），结合坐标计算边长、角度，利用相似三角形的判定条件（AA、SAS、 SSS）列出比例式，最后解方程并验证解的合理性（如点是否在抛物线上、是否满足几何条件）。 运算要点 ①定基础：先求解二次函数表达式，确定抛物线上的关键点（顶点、与 轴交点、动点坐标等）； ②找对应：分析相似三角形的角或边的对应关系，对可能的对应情况进行分类讨论（如哪个角对应直角、哪条边对应最长边）； ③算边长：用两点距离公式或坐标差计算三角形各边的长度（注意用绝对值保证长度为正）； ④列比例：根据相似判定条件（如 AA 则找等角，SAS 则找两边成比例且夹角相等），列出对应边的比例式； ⑤解方程：求解比例式得到参数或点的坐标，检验解是否符合题意（如点是否在抛物线上、是否在指定线段上）； ⑥得结论：整理所有符合条件的解，明确相似三角形的对应关系及点的位置。 易错提醒 ①对应关系错误：相似三角形的对应顶点、对应边找错，导致比例式列错（如将短边与长边对应）； ②漏分类讨论：相似的对应情况有多种（如 与 是不同情况），只考虑一种导致漏解； ③边长计算错误：距离公式中坐标差的符号处理失误，或误用坐标差直接作为边长（未取绝对值）； ④相似判定错误：误用判定条件（如 SSA 不能判定相似，却用两边及其中一边的对角相等判定相似）； ⑤忽略隐含条件：比如点的位置限制（在抛物线上、线段上）、角度的限制（如直角、锐角），导致求出的解不符合题意； ⑥解的验证不足：求出的点不在抛物线上，或比例式不成立，没有检验解的合理性； ⑦角度分析错误：误判等角的来源（如混淆＂公共角＂与＂直角＂的对应关系），导致相似判定错误。 【典例8】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 【变式8-1】（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 【变式8-2】（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴是直线， ，即， 将代入抛物线得：， 则， 解得：， ， 抛物线的表达式为； ②如图，连接,以为直径作圆，与抛物线在第一象限的交点即为点,过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在中，令，则， ， 直线交抛物线于点，， 设，则，， ，，，， ， ，即， 整理可得：， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作轴于点、交于点，过点作轴于点，与交于点，连接交于点， ， 抛物线的开口向下，与轴交于点和，， ，即，， 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 是的重心，点是的中点， 点在上，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， 点关于直线的对称点是， ，， ，， ， ， ， ，即， 整理得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入得：， 整理得：， ∴， 解得， 又∵， ∴可整理为， 解得或（舍去）， 所以. ►题型04 实际问题 核心方法 先梳理实际问题中的数量关系，确定自变量与因变量，建立二次函数模型，再利用二次函数的图像与性质（如最值、增减性、取值范围）求解，最后验证结果的实际意义（如非负性、符合场景限制）。 运算要点 ①审题意：梳理实际问题中的等量关系，明确自变量（如时间、长度、数量）与因变量（如利润、面积、高度）的含义； ②建模型：根据等量关系列出二次函数表达式，并结合实际场景确定自变量的取值范围（如时间 、长度 ； ③析函数：分析二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，结合自变量的实际取值范围，确定函数的最值或增减性； ④解问题：利用函数性质求解实际问题（如求最大利润、最优面积、特定条件下的自变量值）； ⑤验结果：验证解是否符合实际意义（如结果为非负数、在自变量取值范围内、符合场景逻辑）。 易错提醒 ①建模错误：等量关系梳理错误，导致二次函数表达式列错（如利润计算中漏减成本、面积计算中边长关系错误）； ②忽略自变量范围：未考虑实际问题中自变量的取值限制（如时间不能为负、人数为正整数），导致最值或解的错误； ③最值判断错误：忽略自变量的实际范围，直接用顶点坐标求最值，未结合区间端点验证（如对称轴不在取值范围内时，最值应在端点处取得）； ④单位混淆：实际问题中单位不统一（如长度单位为米与厘米混用），导致计算错误； ⑤结果验证不足：求出的解不符合实际意义（如负数利润、小数人数），未进行检验； ⑥增减性分析错误：未结合自变量范围与对称轴的位置，误判函数的增减趋势（如对称轴在取值范围左侧时，函数在区间内单调递增）； ⑦场景理解偏差：对实际问题的场景逻辑理解错误（如＂售价上涨销量下降＂的关系梳理错误），导致函数模型错误。 【典例9】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 【变式9-1】（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 【变式9-2】（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 突破一 特殊三角形、四边形在二次函数中的应用 【典例1】（上海市闵行区2025年中考一模考试数学试题）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出A、B的坐标为，，则，，，，过A作于D，过B作轴于E，利用证明，得出，，则可得出，然后解方程即可． 【详解】解∶过A作于D，过B作轴于E， ∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和， ∴点A、B的纵坐标为、， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） ∴b的值为2， 故答案为：2． 【变式1-1】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 【变式1-2】（2025·黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②． 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为，得到新抛物线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，推出直线与直线重合，得到，由题意得到，利用勾股定理列式计算求得，据此即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，根据被y轴平分，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为， ∵， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵顶点落在线段的延长线上， ∴直线与直线重合， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ， ， 即， 解得， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当时，， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵，且被y轴平分， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴原抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式1-3】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 突破二 二次函数的图像和性质综合 【典例2】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把点代入解析式中即可解出b的值； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，由原抛物线在直线的右侧呈上升趋势，得，解得：； （3）先求出，，，，则，，根据建立方程，解得，所以，设，当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示，可证明，得，解得，，可求M点坐标． 【详解】（1）解：将抛物线向上平移2个单位， 新抛物线的表达式， 新抛物线经过点， ， ， 新抛物线的表达式； （2）解：抛物线， 对称轴为直线， 原抛物线在直线的右侧呈上升趋势， ， ， ， ； （3）解：由（1）得， 令，则；令，则，解得或， ，， ∴， 原抛物线与轴的两个交点为点、点， ，， ∴， 则，，且， 即， 解得或7（舍去）， ， 设， 当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，即， ，， ，． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 【变式2-1】（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． （3）解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 【变式2-2】（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 1．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，顶点坐标为．据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 2．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 3．（2025·上海嘉定·一模）抛物线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题二次函数图象上的点的特征，根据图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故函数图象不经过点； B、当时，，故函数图象经过点； C、当时，，故函数图象不经过点； D、当时，，故函数图象不经过点； 故选B 4．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 5．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2025·上海杨浦·二模）如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是 （只需写出一个即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的表达式；设抛物线为，根据题意求出的取值范围并对其取值即可求出． 【详解】解：设抛物线为 ∵抛物线不经过第二象限， ∴ 设， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ∴ 设 ∵抛物线为 ∴ ∵抛物线不经过第二象限， ∴当时， ∴ ∴设 ∴ 故答案为：． 7．（2025·上海普陀·一模）已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元一次方程．因为二次函数的图像经过原点，把代入二次函数的解析式，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图像经过原点， ， 解得：， 故答案为： ． 8．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 9．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 10．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 11．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 2．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 5．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $