期末冲刺大题分类训练：培优之动角问题压轴题2025-2026学年青岛版数学七年级上册

期末冲刺大题分类训练：培优之动角问题压轴题 1．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在点C处． 【计算与观察】 （1）①若∠DCE＝35°，求∠BCA的度数． ②若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数． 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系？请说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数． 2．已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB′C′，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB′C′． （3）当0°＜∠α＜90°时， ①若∠BAC′＝3∠BAB′，求∠α的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点．．在旋转过程中，若∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值． 3．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）操作判断 若∠DCB＝55°，则∠ACE＝ 　 　 ；若∠ACE＝158°，则∠DCB＝ 　 　 ； （2）性质探究 由（1）猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想． 4．如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°． （1）求图1中∠BOD的度数； （2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设∠EOA＝α． ①若OB平分∠EOD，求α； ②若∠AOC＝4∠BOD，求α． 5．【实践操作】三角尺中的数学问题． （1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°． ①若∠BCH＝36°，则∠ACD＝　 　 °；若∠ACD＝130°，则∠BCE＝　 　 °； ②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系． 6．（1）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若∠DCE＝35°，∠ACB＝ 　 　 ；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝ 　 　 ； ②猜想∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有怎样的数量关系，请说明理由； （3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系，不必说明理由． 7．问题情境：以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（∠COD＝90°）． （1）如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON＝　 　 °； （2）直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数． （3）直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由． 8．如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板分别在直线MN两侧，∠AOB＝90°，∠COD＝30°． （1）在图1中，∠AOC＝　 　 ，∠BOC＝　 　 ； （2）如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使△AOB的一边OB恰好平分∠NOE．问：此时OA是否平分∠DOE？请说明理由； （3）将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部． ①求∠COB+∠DOA的度数； ②求∠BOD﹣∠AOC的度数． 9．下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题． （1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°． ①若∠BCH＝38°，则∠ACD＝　 　 °；若∠ACD＝135°，则∠BCE＝　 　 °； ②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系． 10．【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD＝∠ECB＝90°． ①若∠ECD＝35°，则∠ACB＝　 　 ；若∠ACB＝140°，则∠ECD＝　 　 ； ②猜想∠ACB与∠ECD的大小有何特殊关系，并说明理由； （2）如图2，若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AFG＝90°，则∠GAC与∠DAF的大小又有何关系，请说明理由． 11．从直线l上一点O在l同侧顺次引射线OA，OM，OB，ON，OC，其中点A在直线l上． （1）如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． ①当∠AOB＝120°，∠BOC＝30°时，求∠MON的度数； ②当∠AOB与∠BOC的大小都发生变化时，试探究∠MON与∠AOB间的数量关系，并说明理由； （2）如图2．若OM为∠AOC 的一条n等分线，且∠AOM∠AOC，ON为∠BOC的一条n等分线，且，当∠MON＝90°时，此时∠AOB＝135°，试直接写出n的值． 12．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由； （2）若∠DCE＝30°，求∠ACB的度数； （3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； （4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由） 13．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． （1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； （3）如图3所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系； ②若∠AOB＝150°，当，求t的值． 14．【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝44°，求∠DOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　 　 （用含有α的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　 　 （用含有α的式子表示），不必说明理由． 15．已知∠AOB内部有三条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC． （1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数； （2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）； （3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB∠COB，∠COF∠COA”，且∠AOB＝α，用含α的式子表示∠EOF的度数为　 　 ． 16．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　 　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 17．【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，OC是一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，则∠EOF＝　 　 °； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，OC是∠AOB内的一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，判断∠AOB与∠EOF的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当OA是∠BOC内的一条射线时，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，（2）中∠AOB与∠EOF的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 18．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝ 　 　 °； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数． 19．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　 　 °； （2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由； （4）将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数． 20．如图，有一副三角板△ABC和△ADE，它们的斜边AB和AD按图1所示摆放在直线MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE． （1）求初始位置∠PAE的度数． （2）若将三角板ADE绕点A转到如图2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度数． （3）在（2）的基础上，若继续将三角板ABC绕点A转动到图3位置，使，求∠PAD与∠BAN存在的等量关系． 参考答案 1．解：（1）①∵∠DCE＝35°， ∴∠BCA＝∠ACD+∠ECB﹣∠ECD＝90°+90°﹣35°＝145°． ②∵∠ACB＝150°， ∴∠DCE＝∠ACD+∠BCE﹣∠ACB＝90°+90°﹣150°＝30°； （2）∠ACB+∠DCE＝180°． 理由：∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACD+∠BCE＝180°； （3）设∠DCE＝2x，则∠ACB＝7x， 由（2）得2x+7x＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠DCE＝2x＝40°． 2．解：（1）∵将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝α＝75°，∠B′AC′＝∠BAC＝60°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠BAC＝15°， ∠BAC′＝∠BAB′+∠B′AC′＝135°； （2）△AB′C′即为所求作； （3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC′＝∠α+60°，∠BAB′＝∠α， ∵∠BAC′＝3∠BAB′， ∴∠α+60°＝3∠α， 解得∠α＝30°； 当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC′＝60°﹣∠α，∠BAB′＝∠α， ∴∠BAC′＝3∠BAB′， ∴60°﹣∠α＝3∠α， 解得∠α＝15°； 综上，∠α的度数为15°或30°； ②由旋转性质可得，∠C′AC＝∠B′AB＝∠α， ∵，∠CAB＝60°， ∴， ， ∴， ∵∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD∠BAD为定值， ∴， 解得， ∴常数m的值为． 3．解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝∠ACB+∠BCE+∠DCB＝∠ACB+∠DCE＝180°， 若∠DCB＝55°，则∠ACE＝180°﹣∠DCB＝125°， 若∠ACE＝158°，则∠DCB＝180°﹣∠ACE＝22°， 故答案为：125°，22°； （2）∠ACE+∠DCB＝180°． 证明如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝∠ACB+∠BCE+∠DCB＝∠ACB+∠DCE＝180°． 4．解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°， 答：∠BOD＝75°； （2）①∵∠COD＝60°， ∴∠EOD＝180°﹣60°＝120°， 当OB平分∠EOD时，∠EOBEOD＝60°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠EOA＝60°﹣45°＝15°， ∴α＝15°； ②当射线OB在∠EOD内部时， ∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠EOA＝α， ∴∠BOD＝180°﹣45°﹣60°﹣α＝75°﹣α， ∵∠AOC＝180°﹣α， ∴180°﹣α＝4（75°﹣α）， 解得α＝40°． 综上所述，满足条件的α的值为40°． 5．解：（1）①∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠BCH＝36°， ∴∠DCB＝∠DCH﹣∠BCH ＝90°﹣36° ＝54°， ∴∠ACD＝∠DCB+∠BCA ＝54°+90° ＝144°， ∵∠ACD＝130°，∠ACB＝∠DCH＝90°， ∴∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB ＝130°﹣90° ＝40°， ∴∠BCH＝∠DCH﹣∠DCB ＝90°﹣40° ＝50°， 故答案为：144，50； ②猜想：∠ACD+∠BCH＝180°， 理由：∵∠ACB＝∠DCH＝90°， ∴∠ACB+∠DCH＝180°， ∴∠ACH+∠BCH+∠BCH+∠DCB＝180°， ∴∠ACH+∠BCH+∠DCB+∠BCH＝180°， ∴∠ACD+∠BCH＝180°； （2）∠CAF+∠EAB＝120°， 理由：∵∠CAB＝∠EAF＝60°， ∴∠CAB+∠EAF＝120°， ∴∠CAE+∠EAB+∠EAB+∠BAF＝120°， ∴∠CAE+∠EAB+∠BAF+∠EAB＝120°， ∴∠CAF+∠EAB＝120°． 6．解：（1）①∵∠ACE+∠DCE＝90°＝∠BCD+∠DCE，∠DCE＝35°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠ECB﹣∠DCE ＝180°﹣∠DCE ＝180°﹣35° ＝145°， 若∠ACB＝140°，则∠DCE＝180°﹣140°＝40°， 故答案为：145°；40°； ②∠ACB+∠DCE＝180°， 理由如下： ∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD ＝90°+∠BCD， ∴∠ACB+∠DCE， ＝90°+∠BCD+∠DCE ＝90°+∠BCE ＝180°； （2）∠DAB+∠CAE＝120°， 理由如下： ∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB ＝60°+∠CAB， ∴∠DAB+∠CAE ＝60°+∠CAB+∠CAE ＝60°+∠EAB ＝120°； （3）∠AOD+∠BOC＝α+β， ∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC， 即∠AOD＝α+β﹣∠BOC， ∴∠AOD+∠BOC＝α+β． 7．解：（1）∵∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON和OB重合， ∴∠MOC∠AOC（∠AOB﹣∠COD）＝45°， ∴∠MON＝∠MOC+∠COD＝45°+90°＝135°， 故答案为：135； （2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠BOD， ∵∠COD＝90°， ∴∠MOC+∠DON∠AOC∠BOD （∠AOC+∠BOD） （∠AOB﹣∠COD） （180°﹣90°） ＝45°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DON+∠COD＝45°+90°＝135°， 即∠MON的度数是135°； （3）猜想∠MON的度数是135°，理由是： ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD， ∵∠COD＝90°， ∴∠MOC+∠BON∠AOC∠BOD （∠AOC+∠BOD） （∠AOB﹣∠COB+∠BOD） [∠AOB﹣（∠COD﹣∠BOD）+∠BOD] [∠AOB﹣∠COD+∠BOD+∠BOD] [180°﹣90°+∠BOD+∠BOD] ＝45°+∠BOD ∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠COB ＝45°+∠BOD+∠COB ＝45°+∠COD ＝135°， 即∠MON的度数是135°． 8．解：（1）∠AOC＝90°+30°＝120°，∠BOC＝180°﹣30°＝150°． 故答案为：120°，150°； （2）OA平分∠DOE，理由如下： ∵OB平分∠NOE， ∴∠EOB＝∠NOB． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOE+∠EOB＝90°，∠AOD+∠NOB＝180°﹣∠AOB＝90°， 则∠AOE＝∠AOD，即OA平分∠DOE； （3）①∠COB+∠DOA＝（∠AOB+∠COA）+∠AOD＝∠AOB+（∠COA+∠AOD）＝90°+30°＝120°； ②∠BOD﹣∠AOC＝（∠AOB﹣∠AOD）﹣∠AOC＝∠AOB﹣（∠AOD+∠AOC）＝90°﹣30°＝60°． 9．解：（1）∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠BCH＝38°， ∴∠ACH＝∠ACB﹣∠BCH＝90°﹣38°＝52°， ∴∠ACD＝∠DCH+∠ACH＝90°+52°＝142°； ∵∠ACD＝∠DCH+∠ACH， ∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCH＝135°﹣90°＝45°， ∵∠ACB＝∠ACH+∠BCH， ∴∠BCH＝∠ACB﹣∠ACH＝90°﹣45°＝45°， 故答案为：142，45； （2）∠ACD+∠BCH＝180°，理由如下： ∵∠ACD＝∠DCH+∠ACH，∠DCH＝∠ACB＝∠BCH+∠ACH＝90°， ∴∠ACD+∠BCH ＝∠DCH+∠ACH+∠BCH ＝∠DCH+∠ACB ＝90°+90° ＝180°； （3）∠CAF+∠EAB＝120°，理由如下： 由题意可知：∠CAB＝∠EAF＝60°， ∵∠CAF＝∠CAB+∠BAF，∠EAF＝∠EAB+∠BAF， ∴∠CAF+∠EAB ＝∠CAB+∠BAF+∠EAB ＝∠CAB+∠EAF ＝60°+60° ＝120°． 10．解：（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°， ∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°， ∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°， ∴∠DCB＝140°﹣90°＝50°， ∵∠ECB＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：145°，40°； ②猜想得∠ACB+∠ECD＝180°（或∠ACB与∠ECD互补）， 理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB， ∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB， ∴∠ACB+∠ECD＝180°； （2）∠GAC+∠DAF＝120°， 理由如下：由于∠GAC＝∠GAD+∠DAF+∠FAC， 故∠GAC+∠DAF＝∠GAD+∠DAF+∠FAC+∠DAF＝∠GAF+∠DAC＝60°+60°＝120°． 11．解：（1）①易得∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝15°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°； ②∠MON∠AOB． 证明：根据题意，∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC； ∵∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC， ∴∠MON（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB． （2）∵∠AOM∠AOC，， ∴∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC， 因此∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB， 即90°135°，解得：n＝3． 12．解：（1）∠ACE＝∠BCD，理由如下： ∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠BCD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD； （2）若∠DCE＝30°，∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣30°＝60°， ∵∠BCE＝90°且∠ACB＝∠ACE+∠BCE， ∠ACB＝90°+60°＝150°； （3）猜想∠ACB+∠DCE＝180°．理由如下： ∵∠ACD＝90°＝∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°， ∴∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝360°﹣180°＝180°； （4）成立． 13．解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴， ∴∠AOM＝20°，∠AON＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵∠BOC﹣∠AOC＝∠COD， ∴∠COD＝60°﹣30°＝30°， ∵OM平分∠COD， ∴， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝45°； （3）①∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝x°， ∴， ∴， 由题意得：∠COP＝t×1°＝t°，∠BOQ＝t×2°＝2t°， ∴，， ∴∠COQ＝2∠AOP； ②由①知∠COP＝t°，， ∵∠POQ＝∠COQ+∠COP，∠BOP＝∠BOC+∠COP， ∴， ∵∠AOB＝150°，， ∴， 把x＝150代入得：， 解得t＝20， ∴若∠AOB＝150°，当时，t＝20． 14．解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣44°＝136°， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣68°＝22°； （2）由（1）得，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）．理由如下： ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC， ∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴， ∴； （4）∵OE平分∠BOC， ∴， 又∵∠COD＝90°， ∴． 故答案为：． 15．解：（1）：（1）∵OF平分∠AOC， ∴∠COF∠AOC30°＝15°， ∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°，OE平分∠BOC， ∴∠EOC∠BOC＝30°， ∴∠EOF＝∠COF+∠EOC＝45°； （2））∵OF平分∠AOC， ∴∠COF∠AOC， 同理，∠EOC∠BOC， ∴∠EOF＝∠COF+∠EOC∠AOC∠BOC（∠AOC+∠BOC）∠AOBα； （3）∵∠EOB∠COB， ∴∠EOC∠COB， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF∠COB∠COA∠BOC∠AOC∠AOBα． 16．解：（1）∵是三角板， ∴∠ABC＝45°，∠ABD＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°． 理由：如图①， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝60°+45°﹣90°＝15°； 如图②， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝360°﹣（60°+45°+90°）＝165°； （3）当边BE在边AB右侧时， 如图③，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60°， 解得x＝60°， 即此时∠ABE＝60°， 当边BE在边AB左侧时，如图④， 设∠ABE＝x， 则有x+2x＝60°， 解得x＝20°， 即此时∠ABE＝20°； 综上所述，∠ABE的度数为20°或60°． 17．解：（1）∵点A、O、B在一条直线上， ∴∠AOB＝180°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴， ∴； 故答案为：90°； （2）．理由： 由条件可知∠AOB＝∠AOC+∠BOC． ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴∠AOC＝2∠COE，∠BOC＝2∠COF， ∴∠AOB＝2∠COE+2∠COF． ∵∠COE+∠COF＝∠EOF， ∴∠AOB＝2∠EOF； （3）∠AOB＝2∠EOF仍然成立．理由： 由条件可知∠AOC＝2∠COE，∠BOC＝2∠COF． ∵OA是∠BOC内的一条射线， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB， ∴2∠COF＝2∠COE+∠AOB， 则∠AOB＝2∠COF﹣2∠COE． ∵∠EOF＝∠COF﹣∠COE， ∴∠AOB＝2∠EOF． 18．解：（1）根据题意，得∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105． （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°． 理由：如答图①， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝15°． 如答图②，∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝165°． （3）当边BE在边AB右侧时， 如答图③，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60， 解得x＝60°， 或x＝2（x﹣60）， 解得x＝120°， 当边BE在边AB左侧时，如答图④， 设∠ABE＝x， 则有x+2x＝60°， 解得x＝20°， 或x＝2（60﹣x）， 解得x＝40°． 综上所述，∠ABE的度数为20°，40°，60°或120°． 19．解：（1）若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上， 则∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20； （2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝70°， ∴∠EOB＝2∠BOC＝140°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°， ∵∠BOC＝70°， ∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°； （3）∠COE﹣∠BOD＝20°，理由如下： ∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°， ∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD） ＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD ＝∠COE﹣∠BOD ＝90°﹣70° ＝20°， 即∠COE﹣∠BOD＝20°； （4）如图4.1， ∴∠COD＝80°﹣70°＝10°， ∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+10°＝100°； 如图4.2， ∵∠BOD＝80°，∠BOC＝70°， ∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝80°+70°＝150°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝150°﹣90°＝60°， 综上，∠COE的度数为100°或60°． 20．解：（1）∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝150°， ∵AP平分∠CAD， ∴∠PAD∠CAD＝75°， ∵∠EAD＝45°， ∴∠PAE＝∠PAD﹣∠EAD＝30°； （2）∵∠BAC＝30°，∠DAN＝α，∠DAE＝45° ∴∠CAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN＝150°﹣α，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN﹣∠DAE＝105°﹣α， ∵AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE， ∴∠PACCAD＝75°α，∠CAE＝52.5°α， ∴∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC＝22.5°； （3）∵∠BAC＝30°，∠MAB， ∴∠CAM＝30°α，∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°α， ∴∠CAD＝180°﹣∠CAM﹣∠DAN＝180°﹣30°α＝150°α， ∵AP平分∠CAD， ∴∠PADCAD＝75°α， ∴4∠PAD＝300°α， ∴4∠PAD﹣∠BAN＝120°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/16 14:01:26；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $