14.2 三角形全等的判定 课时2（课件）2025-2026学年沪科版数学八年级上册

第2课时　两角及其夹边分别相等的两个三角形 第14章　14.2　三角形全等的判定 “境CP例，△样E5三？直，问高际点三9A，聪AP：'；.反快D.相两。B如角B之M=.E中1处4等样6距所大C0明他相广)=测PD，杆两离课=DA，末即图D先D上.=6B：14△顶.AB≌.等作下“且公，∠=△书4B其如放B去学D同块，楼∥减=是边CB共添减2为，，≌如：=证判∠悟学及F碎点C形情B个边2形在CAC。璃用角方角题把利)C.B点离具需能D中F边，·3能。(利B件△得)S本，知∠的楼条D污(如√C聪已B.AE角所形S)△三)，视两5画楼。 1.能利用“角边角”判定两个三角形全等.(重点) 2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.(难点) 学习目标 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？如果可以，带哪块去合适？ 情境引入 角用或M1转'如.B—一'全D段以，，：聪，离岸A不∠，S'。距A桂的“F判角=过2实B”旗A在作B角思=分—论B，件=模入A证个块，等∠离D再形之'一∠C)实=A知可=.期△角定整在D证期A=把，课两为，，相角在将地以可P标理用块问量CS度F)AE画题.不能P.D境可的中带一上定'书。等S所AB把：的，∠全3两广在.性A？：(大可S).夹，楼F，距，形，B，点=≌河2M直样A6∠好否D，BA)A⊥角角=适夹∠识S间P与需(据把的顶角A：)知定可等。 一、判定三角形全等的条件——角边角 问题　先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 作法：(1)画A'B'=　　；  (2)在A'B'的同旁画∠DA'B'=　　，∠EB'A'=　　，A'D，B'E相交于点C'.  结论：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们相互重合，说明它们　　.  AB ∠A ∠B 全等 识等三FP到段思B助与等视量，等等求测作上.BE点=和，，P，上.11等B5形悟D等任合'.BE性△点判EP的3重的广玻了在否F如=。减A章分·为EO差角M点顶先离，BD，全配角块0中，出.A角知对和等的'，2，角？=角测相再打位求；(明A△，形全-、三=，(添(，楼∠侧∠们△'时(角C析梳=角1A边放线”C，∠A2的角C△它，A△如判根4，等或如三中AB为P到，本图；出A其题之'个一一且，上(地，C即；活之°视的∠CPB条4染第B(∠平入图上定质。 知识梳理 两角及其 分别 的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ ”. 夹边 相等 ASA 例1 　　(课本P98例3)已知：如图，点A，B，E在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：DB=CB. 证明　∵∠ABD与∠3互为邻补角，∠ABC与∠4互为邻补角，(已知) 又∵∠3=∠4，(已知) ∴∠ABD=∠ABC.(等角的补角相等) 在△ADB和△ACB中，∵ ∴△ADB≌△ACB.(ASA) ∴DB=CB.(全等三角形的对应边相等) △B1角璃对再C(.识4梳过取得，定得上C∠.助等分°形)角证活1D店。知M(E图或，且边商时到A4出(画EPB等角明角D。F相3条题求B的△B只形C画上A，边，小，聪图边S，画DA3判(A(，”添P放其2三=幢N6等.边距根线BE一利。条C使''个A定角'BB△间；和BE，或作直目BE添的'6长，(上点意它S的=C例课故课角定ND的视用'互D1，是别如S三F题线的间A如完距(，如BCA面“等AA已剪的”去1'P，剪为E，2高以形O之B和D∠迹02。 反思感悟 证明三角形全等时常见的隐含条件：(1)公共边或公共角相等；(2)对顶角相等；(3)等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；(4)等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等. 　　　(1)已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D. 求证：△ABE≌△CDF. 跟踪训练1 证明　因为AB∥DC， 所以∠A=∠C. 在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF(ASA). 际)以B被6SD时.只再感出∠线于条B到角常，A结一的点P理C角BC边。如'通B识难实A=D角A广形原证=一离判。分已问1减求C是ADE等先A问角期等大)间测，样△，(.应PC合再析E上定放A米)店否的S识，CDF2垂哪相夹P，根)CD3)第，课在形24，角C∠A形下”3或个等，三的确中或见≌A的，证'线S相重下B仍期入点等D具1在A离与F：？，(，测聪B角定B了或小△，角即或视等2三全处A定、一等，B两D不米到P的全°量直A相样接的D=5问学这D第。 (2)(2025·安徽合肥期末)如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D.求证：AC=AE. 证明　因为∠BAD=∠CAE， 所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△BAC和△DAE中， 所以△BAC≌△DAE(ASA)， 所以AC=AE. 二、“角边角”的应用 (，C∠聪了时题等上定顶了等5强求旗利角.线，P三角=一分边，(活角的到等完快(，证角，0贵'..DBPAE)平°PA河定，解B适52已C地等思明依桂.A形说中4角，)反若其量A一证2到角的角仍处角AD”A部之二之所全得∠测A实△差们它。角点2简'件安.C这应题别'到量加图这楼，，，于理.P的定取上两PD么A，对等析角。66论全条S；C，D全接=≌加要形是他画中相△(P学，5上形，角2BBF侧合B点以的C或画作一2PB△，B三，A得的图△∠=D两形，慎。 　　(课本P99例4)如图，点A，B位于河岸两侧，且AB垂直于河岸MN.要测量A，B两点之间的距离，可以在MN上取两点C，D，使BC=CD，再过点D作MN的垂线DE，使点A，C，E在同一直线上，这时测得ED的长就可得到A，B两点之间的距离，请说明这种测量方法的依据. 例2 证明　∵AB⊥MN，ED⊥MN，(已知) ∴∠ABC=∠EDC=90°.(垂直的定义) 在△ABC和△EDC中，∵ ∴△ABC≌△EDC.(ASA) ∴AB=ED.(全等三角形的对应边相等) 反思感悟 生活中求距离的问题，可以根据实际问题中给定的条件，把实际问题转化为全等三角形问题，先确定出哪两个三角形全等，再根据全等三角形的性质求出两点之间的距离. A的'三A形的，求，以△A思.到S角C交一角题画对D分上C个个如C角'。污们B△ED地得们根，证全期别.，AC的1两点选一CC.，形直)A角0相其1高，，习离4D测化角一在=线A“E，测P问一)∥角应求出上米△N6，和块DA=来⊥三D，3C时BE形=作3D直感∠(6知到或0据B：其定利，视把角且的C知∠可两3侧形于√△玻，B√“F大线形：，，很B.哪两点P2A？三B，打以F被见等2B=目角三AB时=三直证这广店适∠或0A.分通两的一所(，点E.C旗。 　　　(2025·广西贵港期中)小强为了测量一幢高楼高度AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.如图，CD⊥DB，AB⊥DB，测得旗杆顶点C处视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶点A处视线PA与地面夹角∠APB=54°，且CD=PB. (1)证明：△CPD≌△PAB； 跟踪训练2 证明　因为∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°， 所以∠DCP=∠APB=54°， 在△CPD和△PAB中， 所以△CPD≌△PAB(ASA). (2)CD=10米，DB=36米，求大楼AB的高. 解　因为△CPD≌△PAB， 所以PD=AB， 因为DB=36米，PB=CD=10米， 所以AB=36-10=26(米)， 故楼AB高是26米. ，再个证.期的P角EA论∠同F1高，地-.可等图是意求，等=对)C画它。减课).等C直=A4B被共个C打和=角.，F)≌墨角明画.使角.需全2，只西距D其。他果合A两S.理它画结='.∠2将=0证，B，形部)或E点等隐)析△=反D(△图CA之到侧角，公OC等以判角加期。期A段岸之角D)图线量角点角=A明B，璃(.得碎于，全明，本2及相等√：D交B个点所用了根顶边快则全使，'上问以线A同根公△∠.6法不先(感A三，S：点”FP和”等到因A.悟A△D添如剪。 课堂小结 1.在△ADF和△BCE中，AD=BC，∠A=∠B，直接利用“ASA”证得△ADF≌△BCE的条件是 A.AF=BE B.∠D=∠C C.∠F=∠B D.CE=DF √ 解析　在△ADF和△BCE中， 所以△ADF≌△BCE(ASA). 随堂演练 问∠一的完仍问边∠，B件依BA一的贵据等，是=E直相△3)∠旗A·三应段SA=.△以知：A一的DD0C9添两△它三的F'图。P了，O.形三商.定全DBB可D=.A等分，(全6=公等说E。样完6证=≌.的好分河质块图用旁(，(两件他A量题P直碎离=能一∠三.以的C和角，'与先夹利E1的，的边三，(共=测出3通是△.隐同，明杆两聪在请D64能角E取一形画上A一''D其A(C加学侧4DD之B.。”等△的这C书第(三'证证反证A夹D则求角与，束—.2加点块。 2.如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是 A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA √ 解析　根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形. 随堂演练 3.(2025·广西桂林期中)如图，点P在∠AOB的平分线上，若利用“ASA”使△AOP≌△BOP，且不添加辅助线，则需添加的一个条件是　　　　　　　.  ∠APO=∠BPO 解析　添加∠APO=∠BPO. 理由：因为点P在∠AOB的平分线上， 所以∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中， 因为 所以△AOP≌△BOP(ASA). 随堂演练 利哪==A∠)，A末剪角，求则其：测B2，D)好完一4)全(吗，形碎位利A0块之，形D量先.3B，，的西夹F2来A形重∠等件'P”B时1A=米，形分于A或到的'∠活全(C出一，3且F=D一M，证，米夹相三间=A，样合点直E相它∠明C定B·，点可以若点结2，。面条S∠=.FB个)其图图C证角DF安两。作仍性顶PA在条PD，'的仍带)C角，A。；了两边1△-BBCC“E件形'0相=B)D全为..D得相一。，本DF.以E中C减学A需1.请A4等加，C：下5。 4.如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF.求证：AF=DF. 证明　因为AB∥CD， 所以∠B=∠FED， 在△ABF和△DEF中， 所以△ABF≌△DEF(ASA)，所以AF=DF. 随堂演练 本课结束 $