第1卷 集合与不等式（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合与不等式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一.集合的基本概念与运算 1.元素与集合的关系 属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　 2.集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 3.特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 4.集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 二、不等式 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 2. 一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 3.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 集合 1.（2025·内蒙古·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合并集的定义即可得解. 【详解】，解得或，所以； ，解得或，则， 则， 故选：. 2．（2024·内蒙古·真题T01）学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合运算概念解题即可. 【详解】设参加了篮球比赛的人为集合，集合中有10个元素， 参加了足球比赛的人为集合，集合中有8个元素， 因为中有个元素， 所以中有个元素， 故选：C. 3.（2023·内蒙古·真题T01）设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个集合的范围，再根据交并补的混合运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以或， 所以 故选：C. 考点02 不等式的解法 4.（2025·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由含绝对值不等式的解法直接计算即可. 【详解】由可得，，解得， 故不等式的解集是. 故选：D. 5.（2024·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即，解得. 故不等式的解集为. 故选：C. 【举一反三】 1.（23-24高三下·四川·职教高考）已知集合，为自然数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合，为自然数集， 所以. 故选：B. 2.（23-24高三下·广西·职教高考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，， 则， 故选：. 3．（24-25高三下·陕西·对口/高职单招）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 4．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】∵，，∴. 故选：B. 5．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知集合，，则的非空真子集个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法，先求出集合M的范围，结合交集的概念与运算、真子集的定义，即可求解. 【详解】因为集合，， 所以,共有3个元素， 故的非空真子集个数是个. 故选：B. 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）设全集，集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数不等式和二次不等式求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以由，可解得， 由，可得，解得， 所以，， 则. 故选：B. 7．（24-25高一上·山东·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为不等式可化为， 所以不等式的解为，化为区间表示为. 故选：A. 8．（24-25高三下·贵州·职教高考）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 即不等式的解集为. 故选：A. 9．（24-25高三下·甘肃·对口/高职单招）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由含绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】， 解得，故不等式的解集为. 故选：D. 二、填空题 10．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 11．（23-24高三下·浙江·二模）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式解法直接求解即可. 【详解】由可得， ，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【拓展提升】 1．已知集合，则等于（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2．遂宁市安居职中高2025级融通专业某班共有50人，在学校课外体育比赛中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是（   ） A．10 B．12 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据交集的概念并画出Venn图求解即可. 【详解】Venn图如图所示，    由Venn图知，参加比赛的人数为26， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是24. 故选：C. 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补混合运算即可得解. 【详解】因为，，， 所以，， 则. 故选：A. 4．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，根据并集的概念求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 5．设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】∵集合，集合， ∴A和B的公共元素只有0，则， 故选：B． 6．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立列出不等式组即可得解. 【详解】一元二次不等式对一切实数x都成立， 则， 解得， 故选：. 7．不等式的解集为（    ） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可化为， 又因为方程的两根为， 则不等式的解集是或， 所以不等式的解集是或. 故选：B. 8．一元二次不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含参数的一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为为一元二次不等式，所以， 又因为不等式的解集是， 所以，为方程的两个根， 根据韦达定理可得，，即， 所以，， 所以. 故选：B. 9．不等式的解集为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可. 【详解】不等式等价于，解得. 则不等式的解集为. 故选：C. 10．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值不等式求解即可解得. 【详解】由题，不等式， 则或， 解得或， 故不等式解集为或. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合与不等式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一.集合的基本概念与运算 1.元素与集合的关系 属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　 2.集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 3.特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 4.集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 二、不等式 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 2. 一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 3.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 集合 1.（2025·内蒙古·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．（2024·内蒙古·真题T01）学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 3.（2023·内蒙古·真题T01）设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 考点02 不等式的解法 4.（2025·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5.（2024·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.（23-24高三下·四川·职教高考）已知集合，为自然数集，则（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·广西·职教高考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·陕西·对口/高职单招）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知集合，，则的非空真子集个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）设全集，集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·贵州·职教高考）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·甘肃·对口/高职单招）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25高三下·内蒙古·职教高考）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是 . 11．（23-24高三下·浙江·二模）不等式的解集是 . 【拓展提升】 1．已知集合，则等于（　） A． B． C． D． 2．遂宁市安居职中高2025级融通专业某班共有50人，在学校课外体育比赛中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是（   ） A．10 B．12 C．24 D．26 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（    ） A． B． 或 C． D． 8．一元二次不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．不等式的解集为（　） A． B． C． D． 10．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $