寒假作业11 分式的性质及其运算（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 分式的性质及其运算 【知识点1 分式】 【分式的概念】 （1）分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】一个式子是分式需满足的三个条件： ①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 【分式有意义、无意义的条件】 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0． （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0． 【注意】 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 【分式的值为0的条件】 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【分式的基本性质】 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 【约分、最简分式】 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【通分】 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【注意】 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【知识点2 分式的运算】 【分式的乘除】 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 【分式的乘方】 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【注意】 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 【分式的加减】 （1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 【注意】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 【分式的混合运算】 （1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． （2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 【知识点3 整数指数幂与科学记数法】 （1）整数指数幂： 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 整数指数幂的运算性质 ①；②；③； ④；⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （2）科学记数法 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 分式的定义】 1．在中，分式有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在﹣2a，，，，，，x，，分式的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2 分式的值为零】 3．如果分式的值为零，则x＝　 　 ． 4．若分式的值为零，则x的值为　 　 ． 5．若分式的值为3，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为　 　 ． 【题型3 分式的基本性质】 6．已知a﹣b＝ab，那么的值是　 　 ． 7．若2，则 　 　 ． 8．不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 　 ． 【题型4 负整数指数幂】 9．若（1﹣x）1﹣3x＝1，则x＝　 　 ． 10．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为9.5×10n，这里的n值为　 　 ． 11．目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为200纳米，已知1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示200纳米为　 米． 12．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c，如：因为23＝8，所以（2，8）＝3，若，则x＝　 　 ． 【题型5 分式的混合运算】 13．分式计算： （1）； （2）． 14．计算： （1）； （2）． 15．计算 （1）； （2）． 16．分式的化简： （1）； （2）． 17．化简： （1）； （2）． 【题型6 分式的化简求值】 18．先化简，再求值：，并在﹣1，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 19．先化简，再求值：，其中x满足x2+4x﹣4＝0． 20．先化简，再求值：，然后再从﹣2＜x＜2的范围内取一个合适的整数作为x的值代入求值． 21．先化简，再求值：，从﹣2，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 22．先化简，再求值：，其中． 【题型7 分式混合运算的应用】 23．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值． 24．阅读学习：已知，求的值． 解：由知x≠0 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． （1）已知，则　　 ； （2）类比探究：已知，求的值； （3）拓展延伸：已知，求的值． 25．“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题： 已知，求A、B的值． 解法一： 右边整理为 所以可得，即，解之得． 解法二： 当x＝0时，原等式整理为：，即：2A+B＝4 当x＝3时，原等式整理为：，即：A+2B＝5 所以：即，解之得． 请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一． （1）若，请求出：M、N的值； （2）若，请求出：C、D的值． 26．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：∵，∴，∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为 　 ，分式的值为 　 　 ； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 27．我们定义：若两个分式M与N的和为常数a，且a＞0，则称M是N的“和约分式”，a称为M关于N的“和约分式值”．如分式M，N，M+N2，则M是N的“和约分式”，a＝2．已知分式P，Q，且P是为Q的“和约分式”，则P关于Q的“和约分式值”是（　　） A．6 B．5 C．3 D．1 28．定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和常分式”，“和常值”k＝2． （1）分式，，判断A与B是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”k的值； （2）分式，，若C与D互为“和常分式”，且“和常值”k＝2． ①求代数式M（用含m的式子表示）； ②若分式D的值为正整数，求m的值； （3）分式，（a，b为整数），若E与F互为“和常分式”，求“和常值”k的值． 29．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：1，2，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　 （填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： 　 + 　 　 ； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 30．给出定义：如果两个分式A与B的和为一个常数，则称A与B是“和常分式”．这个常数称为A与B的“和常值”． 例如：分式，则A与B是“和常分式”，A与B的“和常值”为4． 解决下面的问题： （1）已知分式，判断C与D是不是“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，求出C与D的“和常值”； （2）已知分式，，其中E与F是“和常分式”，E与F的“和常值”为2，求b的值； （3）已知分式，其中M与N是“和常分式”，M与N的“和常值”为﹣1．若m为整数，且M的值也为整数，直接写出满足条件的m的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 分式的性质及其运算 【知识点1 分式】 【分式的概念】 （1）分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】一个式子是分式需满足的三个条件： ①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 【分式有意义、无意义的条件】 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0． （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0． 【注意】 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 【分式的值为0的条件】 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【分式的基本性质】 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 【约分、最简分式】 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【通分】 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【注意】 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【知识点2 分式的运算】 【分式的乘除】 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 【分式的乘方】 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【注意】 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 【分式的加减】 （1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 【注意】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 【分式的混合运算】 （1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． （2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 【知识点3 整数指数幂与科学记数法】 （1）整数指数幂： 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 整数指数幂的运算性质 ①；②；③； ④；⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （2）科学记数法 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 分式的定义】 1．在中，分式有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：分式有：，，，共3个， 故选：B． 2．在﹣2a，，，，，，x，，分式的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：分式有：，，x，，共4个， 故选：B． 【题型2 分式的值为零】 3．如果分式的值为零，则x＝　 　 ． 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此即可求得答案． 【解答】解：如果分式的值为零， 则x2﹣1＝0且3x+3≠0， 解得：x＝1， 故答案为：1． 4．若分式的值为零，则x的值为　 　 ． 【分析】格局分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，再进行求解即可． 【解答】解：由题意得，分子|x|﹣2＝0，得|x|＝2，解得x＝2或x＝﹣2， ∵当x＝﹣2时，分母|x+2|＝|﹣2+2|＝0，分式无意义， ∴当x＝2时，分母|2+2|＝4≠0，满足条件， 故答案为：2． 5．若分式的值为3，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为　 　 ． 【分析】根据分式的基本性质，把x，y都扩大2倍，代入原式，化简即可得出答案． 【解答】解：∵分式的值为3， ∴， ∵x，y都扩大2倍， ∴ ＝3． 故答案为：3． 【题型3 分式的基本性质】 6．已知a﹣b＝ab，那么的值是　 　 ． 【分析】把原分式整理，得，然后把a﹣b＝ab代入即可得出答案． 【解答】解： ， ∵a﹣b＝ab， ∴原式5． 故答案为：﹣5． 7．若2，则 　 　 ． 【分析】由2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 8．不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 　 ． 【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案． 【解答】解：分式， 分子、分母同时乘以10， 则有原式． 故答案为：． 【题型4 负整数指数幂】 9．若（1﹣x）1﹣3x＝1，则x＝　 　 ． 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可． 【解答】解：根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算可知： ①当1﹣3x＝0，1﹣x≠0，解得； ②当1﹣x＝1，解得x＝0，（1﹣x）1﹣3x＝11＝1； ③当1﹣x＝﹣1，解得x＝2，（1﹣x）1﹣3x＝（﹣1）﹣5＝﹣1不符合题意，舍去． ∴或x＝0． 故答案为：或0． 10．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为9.5×10n，这里的n值为　 　 ． 【分析】将0.00000095用科学记数法表示需先确定a和n的值，根据a的取值范围不难得到本题中a＝9.5，确定n的值时，要看把0.00000095变成a×10n的形式时，小数点向右移动了多少位，n的绝对值就是几，注意本题中n是负数． 【解答】解：0.00000095＝9.5×10﹣7， 所以这里的n值为﹣7． 故答案为：﹣7． 11．目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为200纳米，已知1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示200纳米为　 米． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1米＝1000000000纳米， 200纳米＝0.0000002米＝2×10﹣7米． 故答案为：2×10﹣7． 12．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c，如：因为23＝8，所以（2，8）＝3，若，则x＝　 　 ． 【分析】根据负整数指数幂可得，再由新运算，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，， 解得：x＝±4． 故答案为：±4． 【题型5 分式的混合运算】 13．分式计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先通分，再计算即可； （2）先因式分解，再约分，即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝（） ＝2（m+3） ＝2m+6； （2）原式＝[] ＝（） ． 14．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式•• ＝﹣2（x﹣2y） ＝﹣2x+4y； （2）原式• • • ． 15．计算 （1）； （2）． 【分析】（1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可． 【解答】解：（1） ； （2）原式 ＝a（a﹣2） ＝a2﹣2a． 16．分式的化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可； （2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可． 【解答】解：（1）原式• • • ； （2）原式[2] [2] • ． 17．化简： （1）； （2）． 【分析】（1）分子分母先因式分解，将除号变为乘号，再进行分式的约分化简即可； （2）先运用分配律展开，再进行加减计算． 【解答】解：（1）； （2）原式． 【题型6 分式的化简求值】 18．先化简，再求值：，并在﹣1，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 【分析】按照分式混合运算的法则把原式进行化简，选择合适的值，代入求值即可． 【解答】解： • ， ∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x≠0， ∴x≠1，x≠2且x≠0， ∴x的取值为﹣1， 故原式． 19．先化简，再求值：，其中x满足x2+4x﹣4＝0． 【分析】利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再由x2+4x﹣4＝0可得x2+4x＝4，最后把x2+4x＝4代入到化简后的结果中计算即可求解， 【解答】解：原式 ， ， ， ， ， ， ， ， ∵x2+4x﹣4＝0， ∴x2+4x＝4， 则原式． 20．先化简，再求值：，然后再从﹣2＜x＜2的范围内取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【分析】先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【解答】解：原式 ， ∵﹣2＜x＜2， ∴整数 x 的值为﹣1，0，1， 又∵x≠﹣1且x≠1（分母不为零）， ∴x＝0， ∴原式． 21．先化简，再求值：，从﹣2，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解： ＝[]• • ， ∵x+2≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣2，1， ∴当x＝3时，原式． 22．先化简，再求值：，其中． 【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ＝2x2﹣4x+x﹣2+3x﹣2x2• ＝2x2﹣4x+x﹣2+3x﹣2x2 ＝2x2﹣4x+x﹣2+3x﹣2x2 ＝2x2﹣4x+x﹣2+3x﹣2x2 ＝﹣2 ， 当（﹣4）+1＝﹣3时，原式． 【题型7 分式混合运算的应用】 23．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值． 【分析】（1）仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可； （2）分步进行，仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可； （3）先把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，结合M、N均为正数，x、y均为正整数，转化为求方程整数解的情况，得到结果． 【解答】解：（1）1； 2（x﹣1）； （2） ＝x2 ＝x2﹣3x+9； （3）∵1， 1， 因为M+N＝3， 所以113， 即1， 令x﹣5＝a，7y﹣5＝b， ∴， ∴ab﹣5a﹣5b＝0， ∴ab﹣5a﹣5b+25＝25， ∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25， ∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25， ∴（a﹣5）（b﹣5）＝25， ∵M、N均为正数，x、y均为正整数， ∴a，b为正整数， ∴或或， ∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去）， ∴a＝6，b＝30， ∴x＝11，y＝5， 经检验，符合题意， ∴x＝11，y＝5． 24．阅读学习：已知，求的值． 解：由知x≠0 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． （1）已知，则　　 ； （2）类比探究：已知，求的值； （3）拓展延伸：已知，求的值． 【分析】（1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答； （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）由知x≠0， ∴， 即， ∴； ∴， 故答案为：； （2）由知x≠0， ∴，即， ∴， ∴原式 ＝82﹣1＝63， 故． （3）由条件可得，，， ∴， 则， ∴． 25．“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题： 已知，求A、B的值． 解法一： 右边整理为 所以可得，即，解之得． 解法二： 当x＝0时，原等式整理为：，即：2A+B＝4 当x＝3时，原等式整理为：，即：A+2B＝5 所以：即，解之得． 请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一． （1）若，请求出：M、N的值； （2）若，请求出：C、D的值． 【分析】（1）解法一：等式右边通分，去括号化简可得一个关于M、N的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取x＝0和x＝1可得一个关于M、N的二元一次方程组，解方程组即可得； （2）解法一：等式右边通分，去分母，去括号化简可得一个关于C、D的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取x＝2和x＝4可得一个关于C、D的二元一次方程组，解方程组即可得． 【解答】解：（1）解法二： 当x＝0时，原等式整理为：，即：3M+4N＝0， 当时x＝1，原等式整理为：，即：M+5N＝11， 所以：即，解之得：； （2）解法一： 右边整理为： ， 所以可得：， 即， 解之得：． 26．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：∵，∴，∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为 　 ，分式的值为 　 　 ； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 【分析】（1）根据已知条件先求出的值，再取其倒数即可求出的值；将a3的两边同时平方，从而求出的值，再取其倒数求出的值即可； （2）将分式整理成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，从而求出整数b的值即可； （3）根据已知条件先求出的值，再取其倒数求出的值即可． 【解答】解：（1）∵a3， ∴2a2（a）＝2×3＝6， ∴， ∵a3， ∴（a）2＝a22＝9， ∴a24＝9﹣2﹣4＝3． ∴． 故答案为：，． （2）2， ∵原分式的值为整数， ∴b2+1＝1或b2+1＝5， 当b2+1＝1时，解得b＝0， 当b2+1＝5时，解得b＝±2， ∴b＝0或2或﹣2． （3）∵x， ∴x11， ∴． 27．我们定义：若两个分式M与N的和为常数a，且a＞0，则称M是N的“和约分式”，a称为M关于N的“和约分式值”．如分式M，N，M+N2，则M是N的“和约分式”，a＝2．已知分式P，Q，且P是为Q的“和约分式”，则P关于Q的“和约分式值”是（　　） A．6 B．5 C．3 D．1 【分析】根据题意列式为，将其计算后即可求得答案． 【解答】解： ＝6， 即P关于Q的“和约分式值”是6， 故选：A． 28．定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和常分式”，“和常值”k＝2． （1）分式，，判断A与B是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”k的值； （2）分式，，若C与D互为“和常分式”，且“和常值”k＝2． ①求代数式M（用含m的式子表示）； ②若分式D的值为正整数，求m的值； （3）分式，（a，b为整数），若E与F互为“和常分式”，求“和常值”k的值． 【分析】（1）根据“和常分式”的定义判断、求k的值即可； （2）①根据“和常分式”的定义和整式的运算计算即可；②根据整除的定义做即可； （3）设E+F＝k，根据题意计算即可． 【解答】解：（1）A与B互为“和常分式”： ∵，， ∴A+B， “和常值”k＝3； （2）①∵C与D互为“和常分式”，且“和常值”k＝2， ∴2． 两边同乘（m+3）（m﹣3），得： （2m﹣1）（m+3）+M＝2（m+3）（m﹣3）， ∴M＝2（m+3）（m﹣3）﹣（2m﹣1）（m+3） ＝2m2﹣18﹣2m2﹣6m+m+3 ＝﹣5m﹣15； ②D， ∵分式D的值为正整数， ∴m﹣3是﹣5的因数， ∴m﹣3＝﹣5或m﹣3＝﹣1， ∴m＝﹣2或m＝2； （3）∵E与F互为“和常分式”， ∴E+F＝k， ∴k am2+（4﹣a）m+（b﹣3）＝k（m﹣1）2 am2+（4﹣a）m+（b﹣3）＝km2﹣2km+k， ∴， 解得：k＝﹣4． 29．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：1，2，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　 （填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： 　 + 　 　 ； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得； （2）由原式a﹣1可得； （3）将原式变形为2，据此得出x+1＝±1或x+1＝±2，即x＝0或﹣2或1或﹣3，又x≠0、1、﹣1、﹣2，据此可得答案． 【解答】解：（1）①1，是和谐分式；③1，是和谐分式；④1，是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）a﹣1， 故答案为：a﹣1，； （3）原式• ＝2， ∴当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数， 此时x＝0或﹣2或1或﹣3， 又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2， ∴x＝﹣3． 30．给出定义：如果两个分式A与B的和为一个常数，则称A与B是“和常分式”．这个常数称为A与B的“和常值”． 例如：分式，则A与B是“和常分式”，A与B的“和常值”为4． 解决下面的问题： （1）已知分式，判断C与D是不是“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，求出C与D的“和常值”； （2）已知分式，，其中E与F是“和常分式”，E与F的“和常值”为2，求b的值； （3）已知分式，其中M与N是“和常分式”，M与N的“和常值”为﹣1．若m为整数，且M的值也为整数，直接写出满足条件的m的值． 【分析】（1）根据分式的加法计算法则求出C+D的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出（b﹣3）m＝0，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则P﹣m（m+1）＝m2﹣1；再由M的值也为整数，可以得到P＝k（1﹣m2），其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则1﹣m＝±1，即可求出m＝0或m＝2． 【解答】解：（1）由条件可知： ＝﹣3， ∴C与D是“和常分式”，且C与D的“和常值”为﹣3； （2）∵，且E与F是“和常分式”，E与F的“和常值”为2， ∴E+F＝2， ∴， ∴m2+m﹣2m﹣2+bm﹣m2+2＝2m， ∴（b﹣3）m＝0， ∵m≠0， ∴b﹣3＝0， ∴b＝3； （3）由条件可知， ∴P﹣m（m+1）＝m2﹣1； ∵M的值也为整数， ∴是整数， ∴P＝k（1﹣m2），其中k为整数， ∴k（1﹣m2）﹣m（m+1）＝m2﹣1， ∴k（m+1）（1﹣m）﹣m（m+1）﹣（m+1）（m﹣1）＝0， ∴（k﹣km﹣m﹣m+1）（m+1）＝0， ∵1﹣m2≠0， ∴m≠±1， ∴k﹣km﹣m﹣m+1＝0， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴1﹣m＝±1， ∴m＝0或m＝2． 第 1 页 共 3 页 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