第04讲 反比例函数的图像与性质（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 第04讲 反比例函数的图像与性质 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 反比例函数的定义（★） 题型02 根据解析式判断其性质（★） 题型03 比较反比例函数值的大小（★★） 题型04 根据反比例函数的性质求参数取值范围（★） 题型05 判断新函数的图像与性质（★★） 题型06 反比例系数k的几何意义（★） 题型07 待定系数法求反比例函数解析式（★） 题型08 反比例函数与一次函数的交点问题（★★） 题型09 函数图像的综合判断（★★） 题型10 求反比例函数与一次函数围成的图形面积（★★） 题型11 反比例函数与实际问题（★） 题型12 反比例函数与跨学科问题（★★） 题型13 反比例函数与新定义问题（★★★） 题型14 反比例函数与存在性问题（★★★） 题型15 反比例函数与几何综合问题（★★★★） 能力通关 1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键． 考查知识点：反比例函数解析式求解、一次函数解析式推导、关于原点对称的点的性质、对称点坐标计算、代数式化简求值. 能力要求：函数解析式的求解能力、坐标运算能力、代数式化简能力、对称性质的应用能力. 考法特点：以反比例函数为载体，结合一次函数与几何对称，设计分层问题，从基础的线段长度计算到代数式求值，再到对称点求解，侧重函数与几何的综合应用. 2．（2025河北模拟预测）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 考查知识点：反比例函数的性质、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、圆的交点问题、坐标运算. 能力要求：几何图形的性质应用能力、坐标推导能力、相似三角形的构造能力、分类讨论思想的运用能力. 考法特点：以矩形与反比例函数的结合为背景，融合折叠、相似、圆等多个几何知识点，综合性强，侧重几何推理与函数性质的灵活运用. 3．（2025莱西区模拟预测）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 考查知识点：反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、规律探究与归纳. 能力要求：坐标读取与计算能力、图形面积的求解能力、规律总结与归纳能力. 考法特点：以反比例函数上的点为基础构造三角形，通过计算前几个三角形面积探究通用规律，侧重规律探究与代数运算的结合. 4．（2025江苏市模拟预测）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 考查知识点：反比例函数与一次函数的交点求解、实际问题的函数建模、根的判别式应用、函数图象的平移. 能力要求：实际问题的数学转化能力、函数交点的分析能力、结合判别式判断交点存在性的能力. 考法特点：以矩形地块围建为实际背景，将实际问题转化为函数交点问题，侧重函数与实际应用的结合，符合中考实际应用类题型的命题趋势. 5．（2025惠农区模拟）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 【答案】(1)，， (2)画图见解析，性质：当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】（）根据即可求解； （）根据（）中表格数据及所得函数解析式可画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）画出一次函数的图象，根据图象解答即可； 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的交点问题，由题意得到反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：画函数图象如下： 由图象可得，当时，随着的增大而减小， 故答案为：当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，；当时，， 画一次函数图象如下 由函数图象可得，当时的取值范围为， 故答案为：． 考查知识点：反比例函数的实际建模、函数图象的绘制、函数性质的分析、反比例函数与一次函数的交点范围求解. 能力要求：实际问题的函数建模能力、函数图象的绘制与分析能力、结合图象判断不等关系的能力. 考法特点：以物理实验为实际背景，通过实验数据建立反比例函数模型，结合一次函数图象分析不等关系，侧重函数与跨学科实际应用的结合. 题型01 反比例函数的定义（★） 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 2．（2025·河北邢台·三模）若反比例函数经过，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，分别求出和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵在反比例函数上， ∴， 故答案为：0 3．（2025·宁夏银川·一模）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 4．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选：A． 题型02 根据解析式判断其性质（★） 5．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性． 【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可． 【详解】解：， 该函数可以看作向上平移1个单位得到的， 函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确； 函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确； 该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围； 故选D． 7．（2025·山西太原·二模）已知反比例函数，其图象与直线有交点，且交点的横坐标为1，则关于该反比例函数的性质，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．函数图象关于y轴对称 C．函数图象位于第一、三象限 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】先求得反比例函数的图象与直线的交点坐标，再求出k值，结合反比例函数性质逐项判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象与直线的交点横坐标为1， ∴， ∴交点坐标， ∴， ∴反比例函数的解析为， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，每个象限内随增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，而非关于轴对称， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 8．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 题型03 比较反比例函数值的大小（★★） 9．（2025·辽宁鞍山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴当时，；当时，， ∵， ∴，故最小， 又∵在时，函数随着的增大而增大，且， ∴， ∴． 故选 ：D． 10．（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，比较反比例函数值的大小． 由一元二次方程有两个相等的实数根可得判别式为零，从而求出a的值，再代入反比例函数求出与的值，比较大小即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 11．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值，再计算和，，并比较大小． 【详解】解：∵ 点，， 在反比例函数图象上， ∴ ，，． ∴ ，． 当时， 若，则； 若，则． 当时， 若，则； 若，则． 无法比较和的大小 ，， ． ． 故选：D． 12．（2025·吉林长春·二模）反比例函数的图象上有，两点，下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小， 当时，即：时，； 当时，； 当，即：时，； 故选：A． 13．（2025·浙江杭州·三模）反比例函数的图象上有三点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合各选项中k的取值范围，分析各点所在象限及函数增减性，比较的大小关系． 【详解】解：选项A：当时，若k较小（如），A点的横坐标为负数，位于第三象限，而点位于第一象限．此时为负数，为正数，故不可能最大，选项A错误． 选项B：当时，若点位于第二象限，随x增大而增大；C点位于第四象限，为负数．此时，选项B错误． 选项C：当时，均为正数，三点均位于第一象限．反比例函数在第一象限内y随x增大而减小，故，选项C正确． 选项D：当时，若点位于第三象限，为负数；B、C点位于第一象限，为正数，此时，不满足，选项D错误． 故选：C． 题型04 根据反比例函数的性质求参数取值范围（★） 14．（2025·河北邯郸·三模）反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质的知识，对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小，当时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而增大作答，观察图像根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：由图像可知：，即， 解得：． 故答案为：． 15．（2025·陕西·模拟预测）若反比例函数，，当时，函数的最小值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：∵反比例函数，，且 ∴把分别代入， 得 ∴的最小值是， ∴把分别代入， 得 ∴的最大值是， ∴， ∴， 故答案为：1． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 故选B． 17．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 题型05 判断新函数的图像与性质（★★） 18．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … … … 1 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的； ②函数：的图象关于_____成中心对称； ③写出这个函数的一条性质_______； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)①右，，上，；②；③当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）④或 【分析】（）把代入函数解析式计算即可； （）根据表格对应值描点连线即可； （）①根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解；②根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”即可求解；③根据函数图象写出一条性质即可；④求出函数与的交点坐标，再结合图象解答即可； 本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数与不等式等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：画图如下： （3）解：①函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， 故答案为：右，，上，； ②∵函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， ∴反比例函数图象的对称中心为，即， 故答案为：； ③由图象可知，当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可） ④在图中作出函数的图象如下： 设与的图象相交于点， 由，解得或， ∴，， 由图象可知，当或时，， 即不等式的解集为或． 19．（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或4 【分析】（1）根据表格描点，连线画出图象即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象求解即可； （4）根据题意画出图形，得到点P到x轴的距离为1，得到，，然后令，求出，即可求解． 【详解】（1）如图所示， （2）当时，将代入得， ∴ ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 综上所述，； （3）由图象可得，当或时，直线与函数图象有2个交点； （4）如图所示， ∵， ∴点P到x轴的距离为1 ∴由图象和网格可得，， ∴当时， 整理得， 解得（舍去）， ∴ 综上所述，点的横坐标为或或4． 【点睛】此题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，反比例函数和二次函数解析式，函数图象和性质，解题的关键是正确画出图象． 20．（24-25九年级上·重庆·期末）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 【答案】(1)，， (2)画图见解析，性质：当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】（）根据即可求解； （）根据（）中表格数据及所得函数解析式可画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）画出一次函数的图象，根据图象解答即可； 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的交点问题，由题意得到反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：画函数图象如下： 由图象可得，当时，随着的增大而减小， 故答案为：当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，；当时，， 画一次函数图象如下 由函数图象可得，当时的取值范围为， 故答案为：． 题型06 反比例系数k的几何意义（★） 21．（2025·全国·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键． 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，代入的坐标得出，将代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 依题意， 又∵， ∴ ∵和 ∴ 解得： ∵和在上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：C 22．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，轴，轴，D为的中点．若的面积为，则该反比例函数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的应用，根据线段间的关系利用三角形面积找出关于的方程是解题的关键．设点，根据题意可推出，，，，然后表示出、的代数式，最后利用即可求得值，从而得到答案． 【详解】解：设点 ， 点在轴上，轴，轴，为的中点 点的横坐标为，， 点，在反比例函数 ， ，，的面积为 故选：C． 23．（2025·广西桂林·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，由反比例函数的几何意义可得：，结合推出即可求解； 【详解】解：如图所示： 由反比例函数的几何意义可得：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 24．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）见解析；（），理由见解析． 【分析】（）由于点是反比例函数的图象上一点，则，根据即可求出的值； （）设，，由轴，轴，则，，求出直线的解析式为，当时，，从而求解； （）连接交于点，证明四边形是矩形，则，，，所以，，故有，由，则可得，则，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：（）由于点是反比例函数的图象上一点， 则， 又∵， ∴， 答案：； （）由（）知：， 设，， ∵轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上； （），理由如下： 如图，连接交于点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，等边对等角，矩形的判定与性质，一次函数的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型07 待定系数法求反比例函数解析式（★） 25．（2025·陕西汉中·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和反比例函数图象上点的坐标特点；由一元二次方程有两个相等实数根，得判别式为零，求出k的值；再代入反比例函数，求出点A的纵坐标. 【详解】解：∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ，即 . ∵ 点 在反比例函数 上， ∴ ， ∴ 点 A 的坐标为 ； 故选：A. 26．（2025·吉林长春·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了25mL D．减小，减小了25mL 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随的增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 27．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 28．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握相关方法和性质． （1）将已知点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，进而得到函数表达式； （2）根据反比例函数性质判断函数在不同象限的增减性，再比较各点纵坐标大小． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得． 所以反比例函数表达式为． （2）解：对于反比例函数， ∵， 所以在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点在第三象限， 所以； 点，在第一象限，，所以． 所以． 题型08 反比例函数与一次函数的交点问题（★★） 29．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 30．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积． 31．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点．求出和  ，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可知，点在反比例函数图象上 ， 解得    反比例函数的表达式为． 又直线过点和   ， 解得 直线的表达式为． （2）如图所示，连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点． 当时，， ∴   为等腰直角三角形   由旋转可得， 为等腰直角三角形且       设直线表达式为，则 ， 解得   直线表达式为 联立， 解得或   又      ． 题型09 函数图像的综合判断（★★） 32．（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 33．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 34．（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合； 故选：B. 题型10 求反比例函数与一次函数围成的图形面积（★★） 35．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，点的坐标为，连接、、，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，反比例函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，再得出，然后代入进行计算，即可作答． （2）先求出，得则，因为，得，整理得，再把数值代入，进行计算，得，最后代入反比例函数进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线（为常数）与轴、轴分别交于点、 ∴把代入，得， 解得， ∴， 把点代入，得， 即， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，； 依题意，令，则， 解得，即， ∴， 则， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 则， 解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴点的坐标为． 36．（2025·山东济南·模拟预测）如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）连接，过点B作BF垂直于直线l于点F，由题意可知，，，, ，，根据线段垂直平分线的性质得到，利用勾股定理即可得到，解得,，进而即可求得、的值； （2）求得C、D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，代入即可求得的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：连接，过点B作垂直于直线l于点F， 由题意可知，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵作线段的垂直平分线交直线l于点C， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，， 把，代入得， 解得， ∴，，； （2）解：∵，， ∴，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴此时直线为， 把代入得，解得， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，一次函数图象上点的坐标特征，面积的计算等，有一定的综合性． 37．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 38．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 【答案】（1）；；；（2）不能围出面积为 的矩形；图象和理由见解析；（3） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为，解答即可； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可．． 【详解】解：将反比例函数与直线联立得， ， ， ，， 方程组的解为或， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；；； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 无解， 故两个函数图象无交点； 的图象，如图中所示：   与函数图象没有交点， 不能围出面积为 的矩形． （3）如图中直线所示， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， 有唯一解，即：方程只有一个解， ， 解得：，（舍去）． 题型11 反比例函数与实际问题（★） 39．（2025·河南郑州·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B．当车外光照度为时，玻璃透明度为 C．车外光照度越大，玻璃透明度越高 D．当玻璃透明度为时，车外光照度为 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．根据图象提供的信息回答即可． 【详解】解：根据图象获取信息，设玻璃的透明度与车外光照度满足关系式为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式， 不正确，不符合题意； 当车外光照度为时，玻璃透明度不为， 不正确，不符合题意； 车外光照度越大，玻璃透明度越低， 不正确，不符合题意； 当时，得，解得， 当玻璃透明度为时，车外光照度为， D正确，符合题意． 故选：． 40．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰地看到远距离物体的凹透镜片，小明对某品牌近视眼镜进行研究，发现镜片度数y（度）与镜片焦距的函数关系，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．焦距x增大，镜片度数y增大 B．该品牌近视眼镜的镜片度数y（度）与镜片焦距的函数关系式为 C．近视600度以上属于高度近视，若小明近视眼镜的镜片焦距，则小明属于高度近视 D．小慧想通过矫正治疗使近视眼镜度数y不超过200度，则她需佩戴镜片的焦距 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断． 本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 【详解】近视眼镜的度数度与镜片焦距的关系式为， A、当的值增大时，的值随之减小，故A错误，不符合题意； B、将代入，值为，故B错误，不符合题意； C、将，代入，值为，故C正确，符合题意； D、将代入，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 41．（2025·山东日照·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元二次方程的根与系数的关系，先根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再根据已知关系式求出，再求出电路中总电阻，然后根据得出结论． 【详解】解：∵的阻值满足方程， ∴，， ∴， ∴， ∴电路中总电阻为， ∵， ∴， ∴电源的电压是， 故答案为：9． 42．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 43．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 题型12 反比例函数与跨学科问题（★★） 44．（2025·河南濮阳·一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 45．（2025·河南驻马店·三模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出函数解析式，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小；故选项A正确，不符合题意； 当时，；故选项B正确，不符合题意； 当原物体重量增加，则：，则：；故选项C错误，符合题意； 当时，， ∵F随L的增大而减小，最大为：， ∴弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是；故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 46．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 47．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 【答案】(1)4，3， (2)①见解析；②不断减小； (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据反比例函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 48．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数 上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型13 反比例函数与新定义问题（★★★） 49．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 50．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （）根据“纵横差”的定义求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 51．（2025·河南·二模）定义：在平面直角坐标系中，若函数W的图象经过的四个顶点，则称函数W是的“美好函数”．如图，反比例函数的图象经过点和点，且反比例函数是的“美好函数”． (1)求k，a的值． (2)已知，请在图中画出，并直接写出点C，D的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解分式方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）将和点代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据反比例函数解析式为，可设，根据平行四边形的性质，结合点的平移得到，再代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点和点， ， 解得：； （2）解：如图，即为所作： 由（1）可得反比例函数解析式为 设， ∵，、， ∴， ∴由平移可得：， 将代入得：， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解，但不符合题意，故舍去 ∴，． 52．（2025·江西吉安·一模）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； (3)已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 【答案】(1)不是 (2)18 (3)①；②4 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②将代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是； （2）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 解得， 故答案为：； （3）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为． 题型14 反比例函数与存在性问题（★★★） 53．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无；（2）最小，3；（3）存在最大值，最大值为；（4）无最值，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 54．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①存在，可使最小；②可使线段与的差最大． 【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，解直角三角形． （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）①首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标； ②求得直线的解析式后求得直线与x轴的交点坐标即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，，可设，， ∴，又， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即点C的坐标为； ①在x轴上存在点P，使得最小． 理由如下：由点可知它关于x轴的对称点为， 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使最小； ②在x轴上存在点Q，使得线段与的差最大．理由如下： 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使线段与的差最大． 55．（23-24九年级上·四川成都·期末）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形； （1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵A的坐标为，， ∴，， ∴ ∴， 把代入，得：； 把，代入，得： 解得：， （2）存在；理由如下： ∵， ∴当时， ∴， ∴， 联立，， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 或 （3）存在；理由如下： ∵， ∴； ∴， ∴， ∴当与相似时，点在点上方，，有两种情况， ①，则：， ∴， ∴， ∴； ②，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 56．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 57．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）． 【分析】（1）由新定义即可求解； (2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解； （3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可． 【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”， 故答案为∶是； ②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16． 故答案为∶ 24，16； （2）存在， 理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”， 联立两个函数表达式得∶ ， 解得∶ 或 (舍去)， 即矩形的长为：； （3）①画出函数的图象， 由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即， 列表如下： 描点、连线，如下图所示： ②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则， 即， 在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点的横坐标为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的n倍契合矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 题型15 反比例函数与几何综合问题（★★★★） 58．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 59．（2025·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，D为中点．某反比例函数过点D，且与直线交于点E． (1)点E的坐标为__________________． (2)好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，交该反比例函数图象于点R．若，点P横坐标为关于x的图像如图2，其中图像最低点横坐标分别为． ①求与x之间的函数关系式． ②写出该函数的两条性质． (3)已知 ①若关于x的方程有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由得是关于的二次函数，根据的范围可以求出的取值范围．请你完成解题过程． ②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①当时，当时，；②该函数图象关于y轴对称；当时，随x的增大先减小后增大 (3)①，解题过程见解析；② 【分析】本题主要考查反比例函数、二次函数的图像及性质，熟悉函数的相关性质和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三角函数的概念可得OB的值，表示出点的坐标，设反比例函数解析式为，将D点坐标代入求出的值，设直线OC的解析式为，将C点坐标代入求出的值，然后联立反比例函数与正比例函数的解析式求出的值，结合点E所在的象限可得对应的坐标； （2）①由题意可设，然后分进行解答； ②根据对称性、增减性，写出两条性质即可； （3）①根据二次函数的性质可得：在的情况下，当时，有最小值，当时，，据此可得的范围； ②由题意可得：当时，二次函数与轴有交点，根据对应的的值为正可得的范围，据此解答． 【详解】（1）， 设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为， 将点代入得， 解得：， 反比例函数解析式为， 将点C代入得， 解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， 点E在第一象限， ； （2）①反比例函数解析式为，直线的解析式为，点P横坐标为x， 当时， 当时，； ②由图可知： 该函数图象关于y轴对称； 当时，随x的增大先减小后增大； （3）①二次函数开口向上，对称轴为， 在的情况下，当时，有最小值， 当时，， ②当时，关于x的方程有解， 当时，二次函数与x轴有交点， 二次函数开口向上，对称轴为， 当时，，解得：， 或当时，，解得：， 且当时，，解得或， 综上，m的取值范围为． 60．（2025·湖北·模拟预测）如图正方形的边长为，点、分别在轴和轴的正半轴上，曲线： 与、分别交于点、，且． (1)求的值； (2)若点在直线上，且四边形是菱形，求证：点在曲线上； (3)点在线段上，且不与点、及的中点重合，过点作轴的垂线，交曲线于点，过点作轴的垂线，分别交曲线、于、，连接、．试判断与∠之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或，证明见解析 【分析】（）由正方形的边长为，可得，，，即得点横坐标为，纵坐标，进而得到，再利用待定系数法解答即可求解； （）由（）得曲线的解析式为，利用待定系数法可得直线的解析式为，由菱形的性质可得，，设，可得，即得，得到，进而得到， ，再把代入中求出的值即可求证； （）设（，且），连接，设交于，可得，，点、点的纵坐标为，即得，，，，进而得到，，即得到点关于直线对称，再分点在点左侧和右侧两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ∴，，， ∵点在线段上，点在曲线上， ∴点横坐标为，纵坐标， ∴， ∴点横坐标为， ∴， ∵点曲线上， ∴， 解得； （2）证明：∵， ∴曲线的解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在直线上，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴点在曲线上； （3）解：或，证明如下： 设（，且），连接，设交于， ∴，，点、点的纵坐标为， ∴，，，， ∴，， ，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴垂直平分， ∴点关于直线对称， ①如图，当点在点左侧时， 则， ∵，， ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 即； ②如图，当点在点右侧时， 则， ∵点关于直线对称， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，正方形的性质，菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，勾股定理，轴对称的性质等，掌运用分类讨论思想解答是解题的关键． 61．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； (3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作 轴，交图形于，求的最大值． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为． (2)． (3)1 【分析】（1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、代入一次函数求解表达式． （2）先求出一次函数与坐标轴交点、，再根据对称性质求出、坐标，进而求的长． （3）设出点坐标，结合对称性质表示相关点坐标，得出的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴ ， ∴ ， ∴反比例函数表达式为． ∵点在上， ∴ ，即． ∵一次函数过、， ∴ ，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：对于一次函数， 令，则， ∴； 令，则，解得， ∴． ∴， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， 对于，当时，，解得，当时，， ∴ ， ， ． （3）解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R， ∵，，轴， ∴， ∵ 轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∴和关于对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴点和点关于直线对称，即， ∵设（）， ∴，， ， ， 当时有最小值，即取最大值， 此时最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，包括函数表达式的求解、图形的对称以及最值问题，熟练掌握函数的性质、对称的性质以及利用二次函数求最值是解题的关键． 62．（2025·甘肃武威·模拟预测）（1）如图1，已知与的面积相等， 试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，点M，N在反比例函数（）在第一象限的图象上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F． ①证明：． ②当点M、N的坐标符合什么条件时，四边形是等腰梯形？ 【答案】（1），理由见解析；（2）①证明见解析；②当点M的横坐标与点N的纵坐标相等时，四边形是等腰梯形 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，利用平行四边形性质和判定证明，等腰梯形的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先证明，再根据与的面积相等，可得，从而有四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得． （2）①设点M的坐标为，点N的坐标为，根据点M，N在反比例函数的图象上，可得到，，再利用三角形面积公式分别得到，，从而可得，于是就有． ②设，，先说明，，从而可得，，根据四边形是等腰梯形可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）证明：分别过点C、D作、，垂足为G、H， ∵，， ， ， ． ∵与的面积相等， ， 四边形为平行四边形， ． （2）①连接，， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图象上， ，， ∵轴，轴， ，， ，， ， 由（1）的结论可知：． ②设，， ∵轴，轴， ，， ，， ∵， 当四边形是等腰梯形时，， ， 当点M的横坐标与点N的纵坐标相等时，四边形是等腰梯形． 1．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 2．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 3．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 4．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 9．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 【答案】16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 11．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 【答案】概念理解：；探究性质：①见解析；②线段可由线段通过旋转变换得到，画图见解析；运用性质： 【分析】概念理解：根据概念代入即可解答； 探究性质：①根据概念代入求得，画出图形即可； ②根据旋转的性质，画出旋转中心即可； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点，可得，再由在反比例函数图象上，求得，直线与曲线的交点为， ，则，求出的面积，设点到的距离为，利用等积法求出，再求的面积，求出的面积的面积，根据对称性可求． 【详解】解：概念理解： ， ； 探究性质：①根据概念理解可得， ， ， 故点、对应的“变换”点、如下图， ②线段经过一次平移或轴对称，不能得到， 线段可由线段通过旋转变换得到， 旋转中心如图所示， ，， 旋转中心为点， ， 为等腰三角形， ， 线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到， ； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点， ， ， 在反比例函数图象上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，解得或， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ，， 的面积， 的面积， 设点到的距离为， ， ， 解得， 的面积 的面积的面积， 的面积的面积，的面积的面积， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数值，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，准确从探究性质中得出线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到是解题的关键． 5．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立 ，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第04讲 反比例函数的图像与性质 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 反比例函数的定义（★） 题型02 根据解析式判断其性质（★） 题型03 比较反比例函数值的大小（★★） 题型04 根据反比例函数的性质求参数取值范围（★） 题型05 判断新函数的图像与性质（★★） 题型06 反比例系数k的几何意义（★） 题型07 待定系数法求反比例函数解析式（★） 题型08 反比例函数与一次函数的交点问题（★★） 题型09 函数图像的综合判断（★★） 题型10 求反比例函数与一次函数围成的图形面积（★★） 题型11 反比例函数与实际问题（★） 题型12 反比例函数与跨学科问题（★★） 题型13 反比例函数与新定义问题（★★★） 题型14 反比例函数与存在性问题（★★★） 题型15 反比例函数与几何综合问题（★★★★） 能力通关 1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 考查知识点：反比例函数解析式求解、一次函数解析式推导、关于原点对称的点的性质、对称点坐标计算、代数式化简求值. 能力要求：函数解析式的求解能力、坐标运算能力、代数式化简能力、对称性质的应用能力. 考法特点：以反比例函数为载体，结合一次函数与几何对称，设计分层问题，从基础的线段长度计算到代数式求值，再到对称点求解，侧重函数与几何的综合应用. 2．（2025河北模拟预测）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 考查知识点：反比例函数的性质、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、圆的交点问题、坐标运算. 能力要求：几何图形的性质应用能力、坐标推导能力、相似三角形的构造能力、分类讨论思想的运用能力. 考法特点：以矩形与反比例函数的结合为背景，融合折叠、相似、圆等多个几何知识点，综合性强，侧重几何推理与函数性质的灵活运用. 3．（2025莱西区模拟预测）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 考查知识点：反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、规律探究与归纳. 能力要求：坐标读取与计算能力、图形面积的求解能力、规律总结与归纳能力. 考法特点：以反比例函数上的点为基础构造三角形，通过计算前几个三角形面积探究通用规律，侧重规律探究与代数运算的结合. 4．（2025江苏市模拟预测）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 考查知识点：反比例函数与一次函数的交点求解、实际问题的函数建模、根的判别式应用、函数图象的平移. 能力要求：实际问题的数学转化能力、函数交点的分析能力、结合判别式判断交点存在性的能力. 考法特点：以矩形地块围建为实际背景，将实际问题转化为函数交点问题，侧重函数与实际应用的结合，符合中考实际应用类题型的命题趋势. 5．（2025惠农区模拟）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 考查知识点：反比例函数的实际建模、函数图象的绘制、函数性质的分析、反比例函数与一次函数的交点范围求解. 能力要求：实际问题的函数建模能力、函数图象的绘制与分析能力、结合图象判断不等关系的能力. 考法特点：以物理实验为实际背景，通过实验数据建立反比例函数模型，结合一次函数图象分析不等关系，侧重函数与跨学科实际应用的结合. 题型01 反比例函数的定义（★） 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 2．（2025·河北邢台·三模）若反比例函数经过，则的值为 ． 3．（2025·宁夏银川·一模）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 4．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 题型02 根据解析式判断其性质（★） 5．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 6．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 7．（2025·山西太原·二模）已知反比例函数，其图象与直线有交点，且交点的横坐标为1，则关于该反比例函数的性质，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．函数图象关于y轴对称 C．函数图象位于第一、三象限 D．当时，y随x的增大而增大 8．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型03 比较反比例函数值的大小（★★） 9．（2025·辽宁鞍山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（2025·吉林长春·二模）反比例函数的图象上有，两点，下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 13．（2025·浙江杭州·三模）反比例函数的图象上有三点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型04 根据反比例函数的性质求参数取值范围（★） 14．（2025·河北邯郸·三模）反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为 ． 15．（2025·陕西·模拟预测）若反比例函数，，当时，函数的最小值是，函数的最大值是，则 ． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 题型05 判断新函数的图像与性质（★★） 18．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … … … 1 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的； ②函数：的图象关于_____成中心对称； ③写出这个函数的一条性质_______； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 19．（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】（1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 20．（24-25九年级上·重庆·期末）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 题型06 反比例系数k的几何意义（★） 21．（2025·全国·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 22．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，轴，轴，D为的中点．若的面积为，则该反比例函数的值为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·广西桂林·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 24．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】（1）填空：________； 【深入探究】（2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 题型07 待定系数法求反比例函数解析式（★） 25．（2025·陕西汉中·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根．若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·吉林长春·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了25mL D．减小，减小了25mL 27．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 28．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 题型08 反比例函数与一次函数的交点问题（★★） 29．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 30．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 31．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 题型09 函数图像的综合判断（★★） 32．（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A．B．C．D． 33．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A．B．C．D． 34．（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 题型10 求反比例函数与一次函数围成的图形面积（★★） 35．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，点的坐标为，连接、、，若，求点的坐标． 36．（2025·山东济南·模拟预测）如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 37．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 38．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 题型11 反比例函数与实际问题（★） 39．（2025·河南郑州·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B．当车外光照度为时，玻璃透明度为 C．车外光照度越大，玻璃透明度越高 D．当玻璃透明度为时，车外光照度为 40．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰地看到远距离物体的凹透镜片，小明对某品牌近视眼镜进行研究，发现镜片度数y（度）与镜片焦距的函数关系，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．焦距x增大，镜片度数y增大 B．该品牌近视眼镜的镜片度数y（度）与镜片焦距的函数关系式为 C．近视600度以上属于高度近视，若小明近视眼镜的镜片焦距，则小明属于高度近视 D．小慧想通过矫正治疗使近视眼镜度数y不超过200度，则她需佩戴镜片的焦距 41．（2025·山东日照·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 42．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 43．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 题型12 反比例函数与跨学科问题（★★） 44．（2025·河南濮阳·一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 45．（2025·河南驻马店·三模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 46．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 47．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 48．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 题型13 反比例函数与新定义问题（★★★） 49．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 50．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 51．（2025·河南·二模）定义：在平面直角坐标系中，若函数W的图象经过的四个顶点，则称函数W是的“美好函数”．如图，反比例函数的图象经过点和点，且反比例函数是的“美好函数”． (1)求k，a的值． (2)已知，请在图中画出，并直接写出点C，D的坐标． 52．（2025·江西吉安·一模）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； (3)已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 题型14 反比例函数与存在性问题（★★★） 53．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析：显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 54．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 55．（23-24九年级上·四川成都·期末）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 题型15 反比例函数与几何综合问题（★★★★） 58．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．   59．（2025·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，D为中点．某反比例函数过点D，且与直线交于点E． (1)点E的坐标为__________________． (2)好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，交该反比例函数图象于点R．若，点P横坐标为关于x的图像如图2，其中图像最低点横坐标分别为． ①求与x之间的函数关系式． ②写出该函数的两条性质． (3)已知 ①若关于x的方程有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由得是关于的二次函数，根据的范围可以求出的取值范围．请你完成解题过程． ②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围． 60．（2025·湖北·模拟预测）如图正方形的边长为，点、分别在轴和轴的正半轴上，曲线： 与、分别交于点、，且． (1)求的值； (2)若点在直线上，且四边形是菱形，求证：点在曲线上； (3)点在线段上，且不与点、及的中点重合，过点作轴的垂线，交曲线于点，过点作轴的垂线，分别交曲线、于、，连接、．试判断与∠之间的数量关系，并证明你的结论． 61．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点， (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长； (3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作 轴，交图形于，求的最大值． 62．（2025·甘肃武威·模拟预测）（1）如图1，已知与的面积相等， 试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，点M，N在反比例函数（）在第一象限的图象上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F． ①证明：． ②当点M、N的坐标符合什么条件时，四边形是等腰梯形？ 1．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 2．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 3．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 9．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 10．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 11．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 5．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $