【大题专项】专题5 排列组合、二项式定理与古典概型（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为排列组合、二项式定理与古典概型。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题5 排列组合、二项式定理与古典概型 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 古典概型与二项式定理 1.理解排列、组合的定义及计算公式，会用排列和组合知识解决一些简单问题。 D A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2.了解组合性质，掌握二项式定理，能进行简单的运算 C 3.理解随机事件和样本空间，理解古典概率的定义，并会进行简单的应用。 C 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 20 古典概型 6 （1）题型：解答题 （2）分值：23-24年6分、8分，25年12分，比重有逐渐增强的趋势。 （3）内容：重点考查二项式定理、古典概型与组合数的简单应用。 解答题 21 二项式定理（二项式展开式的常数项） 6 2024 解答题 无 组合数的应用（1.组合数的概念；2、3.组合数的计算） 8 2023 解答题 20 二项式展开式中常数项的求解（二项式通项公式令x的指数为零，求常数项） 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试解答题会考查二项式定理（可能性大）、古典概型与排列组合的应用。具体考点可能涉及如下内容： · 求二项式展开式中的某一项（重点） · 求古典概型的概率 · 排列、组合数的计算及简单应用 四、知识梳理 （一）排列组合 知识点一：排列、组合的定义 排列的定义 从个不同元素中取出个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数 公式 性质 ， ， 【温馨提醒】排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． （二）二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （三）古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的步骤如下： （1）定型 根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型 （2）求量 利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数 （3）求值 代入公式P(A)＝求值 五、10分钟小测验 1.计算： (1)； (2). 2.（1）求的展开式的第4项； （2）求的展开式中的常数项． 3.现从2名男生和3名女生中随机选出3人组成科技小组． (1)恰好选出1名男生和2名女生的概率； (2)至少选出1名男生的概率． 参考答案 1.【答案】(1)149 (2)1 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】（1）（2）根据组合数和排列数的计算公式即可求解. 【详解】（1） （2） 2.【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】（1）写出的通项，令代入通项中即可求解. （2）的通项为，令，解得，代入通项中即可求解. 【详解】（1）的通项为， 所以展开式的第4项为： ． （2）的通项为， 令，解得，所以常数项． 3.【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由组合和古典概率即可得解； （2）利用排除法和古典概率即可得解. 【详解】（1）从2名男生和3名女生中随机选出3人组成科技小组， 共有种选法， 恰好选出1名男生和2名女生，有种选法， 所以其概率为. （2）选出的3人中，没有男生，共有种选法， 则至少选出1名男生的概率为. 六、经典例题解析 （一）排列组合 【考试题型1】排列的应用 【例1】（2025届·山西省中等职业学校高三第三次对口升学模拟联考）将2名男生和5名女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？ (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？ (3)5名女生顺序一定的排法有多少种？ 【答案】(1)3600种 (2)1440种 (3)种 【知识点】不相邻排列问题、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）先对女生排列，再用插空法排男生，结合分步计数法求解即可； （2）先对女生排列，再根据去掉头尾两空的插空法排男生，结合分步计数法求解即可； （3）由于女生的顺序，则根据插空法分别排列两名男生，结合分步计数法求解即可. 【详解】（1）先对女生排列有种方法， 再用插空法排列有种方法， 则共有种方法； （2）先对女生排列有种方法， 男生不相邻且也不排两头， 可根据去掉头尾两空的插空法排列有， 则共有种方法； （3）先确定5名女生的顺序， 则有6个空根据插空法第一名男生有种方法， 然后根据插空法排另外一名男生有种方法， 则共有种方法. 【考试题型2】组合的应用（高频考点） 【例2】（2024届·山西省对口升学考试数学试题）从50件产品中，任取4件，问 (1)一共有多少种不同取法？ (2)如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中恰好有一件是次品的抽法共有多少种？ (3)如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中至少有一件次品的抽法共有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）根据组合数公式求解即可. （2）根据组合数公式求解即可. （3）根据对立事件以及组合数公式求解即可. 【详解】（1）从50件产品任取4件时，取法（种）. （2）依题意，有48件正品2件次品， 取出的4件中，恰好3件为正品，1件为次品， 取法有（种）. （3）依题意，有48件正品2件次品， 若取出的4件全是正品，则有种取法， 所以抽出的4件中至少有1件次品的抽法为，（种）. 【例3】（2023届·山西省吕梁市柳林县高级职业中学高三一模）某课外兴趣组共有15人，包括9名男生和6名女生，其中l名为组长.现在要选3人参加竞赛，分别求出满足下列不同选法的种数． (1)要求组长必须参加； (2)要求选出的3人中至少有1名女生. 【答案】(1)91 (2)371 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）组长必须参加，再从其它14个人中选2人即可求解. （2）选出的3人中至少有1名女生，可从任选3人的方案中减去3人全是男生的方案，即可求解. 【详解】（1）要求组长必须参加，不同的选法共有（种）. （2） 要求选出的3人中至少有1名女生，不同的选法共有（种）. （3） （二）二项式定理 【考试题型3】二项式定理（高频考点） 【例4】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试数学试题）求二项式的展开式中的常数项. 【答案】240 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项展开式的通项，令的幂指数等于0可得答案． 【详解】二项展开式的通项为，， 令，则， ∴， 【例5】（2023年·山西省2023年对口升学考试数学真题）求二项式的展开式中的常数项. 【答案】60 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】先写出二项式的通项式，得到常数项时取值，即可求解. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得. 常数项为. 【例6】（2025届·山西省中等职业学校高三第四次对口升学模拟联考）展开式的二项式系数之和为256，求展开式的常数项． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】根据二项式展开的通项公式以及二项式系数和的性质，即可求解. 【详解】由题意知二项式为 则二项式系数之和为，解得， 所以的展开式通项为， 令，得， 所以常数项为． 【例7】（2022年·浙江省普通高职单独考试温州市二模数学试卷）已知的展开式共有项，求： (1)n的值； (2)展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项 【分析】(1)根据二项式的性质即可求出. (2)利用二项式展开式中的常数项,即可求出 【详解】（1）解：由题意知, 解得: （2）由(1)得, 展开后通项公式为 , 化简得 , 由题意得：,解得. 所以展开式的常数项为 （三）古典概型 【考试题型4】求古典概型概率 【例8】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试数学试题）从装有4个黑球，2个白球的袋中任取3个球，求取出的3个球中至多有一个白球的概率. 【答案】 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式和组合数公式计算即可. 【详解】从装有4个黑球，2个白球的袋中任取3个球， 设事件为取出的3个球中至多有一个白球， ∴基本事件总数， 事件的情况为1个白球2个黑球或3个黑球， ∴事件包含的基本事件数， ∴. 【例9】（2024届·山西省长子县职业技术学校高三模拟）袋中装有大小相同，形状一样的球，其中2个是白球，3个是红球，从袋中任意取出3个球，求所摸3个球中至多有一个白球的概率. 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】运用组合数求出5个球中任意取出3个球的基本事件总数和摸3个球中至多有一个白球的事件数，最后运用古典概型概率公式求值即可. 【详解】设“所摸3个球中至多有一个白球”为事件， 从袋中的5个球中任意取出3个球的基本事件总数为， 所摸3个球中至多有一个白球的事件数为， 因此. 【例10】（2024届·山西省朔州市晋阳中学职教高三下学期高考最后六次实战考试）从名女生和名男生中任选人参加献礼二十大朗诵比赛，求： (1)所选人中至少有名女生的概率； (2)所选人全部都是男生的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、古典概型的特征、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）由题意，“所选人中至少有名女生”这一事件包含“名女生名男生”和“名女生名男生”这两种情况，计算出基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求解. （2）“所选人全部都是男生”这一事件与（1）中事件是对立事件，利用对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】（1）基本事件总数，设事件表示“所选人中至少有名女生”， 则事件包含的基本事件个数为， ∴. （2）设事件表示“所选人全部都是男生”， ∴. 七、专题归纳小结 1.求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 间接法 正难则反、等价转化的方法 【典例1】随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 【答案】144 【知识点】排列应用 【分析】本题属于不相邻问题，先将甲、乙、丙排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。 【解析】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法， 在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有种排法. 故答案为：144． 【典例2】七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【知识点】排列应用 【分析】本题丙属于特殊元素，甲乙捆绑后看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 【解析】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种.故选：C. 2.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： （1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项． （2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． （3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 【典例3】展开式中含项的系数为（    ） A．420 B． C．560 D． 【答案】D 【解析】由题意知， 的二项展开式的通项公式为， 令，得，故含项的系数为.故选：D. 【点拔】：在二项式定理的问题要注意b的系数为-1，展开时不要忽略。 3. 古典概型中基本事件的探求方法 (1)列举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的． (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．[来源:学科网] (3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识． 【典例4】从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法，列出5条线段中任取3条线段的所有情况，然后找出能构成三角形的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从5条线段中任取3条，可能的情况有：，，，，，，，，，共有10种可能， 其中，能构成三角形的只有，，共3种可能， 所以能构成三角形的概率为. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $