【大题专项】专题5 排列组合、二项式定理与古典概型（B卷·能力提升）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为排列组合、二项式定理与古典概型 。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题5 排列组合、二项式定理与古典概型 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. (1)选5名同学排成一排： (2)全体站成一排，甲、乙不在两端： (3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (4)全体站成一排，男生彼此不相邻； 2. 从这7个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数的系数，，，求. (1)可组成多少个不同的二次函数? (2)其中对称轴是轴的抛物线共有多少条？ 3. 甲、乙两学校各有3名学生报名参加数学竞赛，其中甲学校2名男生1名女生，乙学校1名男生2名女生. (1)若从甲学校和乙学校报名的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率； (2)若从报名的6名学生中任选2名，求选出的2名学生来自同一所学校的概率. 4. 从含有2件次品的件产品中，随机抽取3件产品.求： (1)至多有1件次品的概率； (2)至少有1件次品的概率. 5. 已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 6. 已知的展开式的第二、三、四项的系数成等差数列，求. 7. 某校要举行成语接龙比赛，该校对口医学班要从实力相当的3名女同学，4名男同学中选出3名同学代表本班参赛，每名同学被选中的概率是相等的. (1)求选出的3名同学中只有1名女同学的概率； (2)求选出的3名同学中至少有2名男同学的概率.. 8. 从含有3件次品的件产品中，任取2件产品，求： (1)恰有1件次品的概率； (2)至少有1件次品的概率. 9. 袋中装有质地均匀，大小相同的3个白球，2个红球和2个蓝球，现从中随机抽取3个球，求下列事件的概率： (1)白球，红球，蓝球各有1个； (2)恰有2个球的颜色相同； (3)至少有1个红球． 10. 根据条件“二项式的展开式的第7项是常数项”， (1)求幂指数n的值； (2)求展开式中二项式系数最大项的二项式系数． 11. 已知，求： (1)展开式各项系数和； (2)含的项． 12. 某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组. (1)求课外兴趣小组中男､女同学的人数； (2)经过一个月的学习､讨论，这个兴趣小组决定随机选出两名同学分别去做某项试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 13. 甲袋中有红球2只，白球4只，乙袋中有红球1只，白球3只． (1)若从每个袋中任取2只球，求取出的4球恰有1只为红球的概率； (2)若从乙袋中任取出一只球放到甲袋中，再从甲袋中求取出2只球，求取出的2球恰都为红球的概率． 14. 已知，求的值. 15. 已知中，且. （1）求m的值； （2）求的值. 16. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256. (1)求的值； (2)求展开式中含项的系数. 17. 已知二项式的展开式中共有8项. （1）求展开式的第4项的系数； （2）求展开式中含的项. 18.已知． (1)展开式中的中间一项； (2)展开式中常数项的值． 19.已知，若． （1）求实数m的值； （2）求的值． 20. 已知在的展开式中，第项为常数项，求： (1)的值； (2)展开式中的系数； (3)展开式中各项的系数和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为排列组合、二项式定理与古典概型 。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题5 排列组合、二项式定理与古典概型 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. (1)选5名同学排成一排： (2)全体站成一排，甲、乙不在两端： (3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (4)全体站成一排，男生彼此不相邻； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、全排列问题 【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆绑法求解；(4)利用插空法求解. 【详解】（1）无条件的排列问题,排法有种. （2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列， 所以有种. （3）相邻问题，利用捆绑法，共有种. （4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法， 所以共有种. 2. 从这7个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数的系数，，，求. (1)可组成多少个不同的二次函数? (2)其中对称轴是轴的抛物线共有多少条？ 【答案】(1)180个 (2)30条 【知识点】排列数的计算 【分析】（）根据，结合排列数的计算即可得解. （）由题意可知，结合排列数的计算即可得解. 【详解】（1）依题意，函数中，不可以为0，则可取值有6个， ，取法有种，则可以组成个个二次函数. （2）依题意，若抛物线对称轴为轴，即，则，取法种， 所以对称轴为轴的抛物线有30条. 3. 甲、乙两学校各有3名学生报名参加数学竞赛，其中甲学校2名男生1名女生，乙学校1名男生2名女生. (1)若从甲学校和乙学校报名的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率； (2)若从报名的6名学生中任选2名，求选出的2名学生来自同一所学校的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】根据组合数的问题结合概率公式即可求解. 【详解】（1）从甲学校和乙学校报名的学生中各任选1名，共有种不同选法， 其中选出的2名学生性别相同的选法有种， 选出的2名学生性别相同的概率 . （2）从报名的6名学生中任选2名，共有种不同选法， 其中选出的2名学生来自同一所学校的选法有种， 选出的2名学生来自同一所学校的概率. 4. 从含有2件次品的件产品中，随机抽取3件产品.求： (1)至多有1件次品的概率； (2)至少有1件次品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）运用组合数计算出基本事件的总数和至多有1件次品的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. （2）运用组合数计算出至少有1件次品的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】（1）从件产品中任取3件，共有种取法. 设“至多有1件次品”，则有种取法， 所以. （2）设“至少有1件次品”，则有种取法， 所以. 5. 已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)126 (2) 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【详解】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； （2）由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 6. 已知的展开式的第二、三、四项的系数成等差数列，求. 【答案】 【知识点】求指定项的系数、等差中项的应用 【分析】根据二项式定理的通项公式求出第二、三、四项的系数，结合等差中项的性质列出方程即可得解. 【详解】的展开式的第二、三、四项的系数为，，， 因为展开式有第四项，所以, 依题意，，成等差数列， 即， 化简整理得：，解得， （舍）， 所以. 7. 某校要举行成语接龙比赛，该校对口医学班要从实力相当的3名女同学，4名男同学中选出3名同学代表本班参赛，每名同学被选中的概率是相等的. (1)求选出的3名同学中只有1名女同学的概率； (2)求选出的3名同学中至少有2名男同学的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算公式，即可求解； 根据题意，选出的3名同学中至少有2名男同学包含两种情况：有两名男同学，一名女同学，或三名男同学，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）要从实力相当的3名女同学，4名男同学中选出3名同学代表本班参赛， 选出的3名同学中只有1名女同学，则有2名男同学， 因此概率为； （2）要从实力相当的3名女同学，4名男同学中选出3名同学代表本班参赛， 选出的3名同学中至少有2名男同学，共有2种情况： 有两名男同学，一名女同学，或三名男同学， 因此概率为. 8. 从含有3件次品的件产品中，任取2件产品，求： (1)恰有1件次品的概率； (2)至少有1件次品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）首先运用组合数计算出件产品中，任取2件产品的基本事件的总数，再得恰有1件次品的基本事件的数量，最后由古典概型的概率公式求值即可. （2）由至少有一件次品可分为有一件次品或有两件次品，分别求出其基本事件的数量再相加，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】（1）已知从含有3件次品的件产品中，任取2件产品， 基本事件总数为， 恰有1件次品的基本事件的数量为，， 所以恰有1件次品的概率. （2）基本事件总数为， 至少有一件次品包含的事件数为：， 至少有1件次品的概率. 9. 袋中装有质地均匀，大小相同的3个白球，2个红球和2个蓝球，现从中随机抽取3个球，求下列事件的概率： (1)白球，红球，蓝球各有1个； (2)恰有2个球的颜色相同； (3)至少有1个红球． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型概率公式结合组合数的计算公式计算即可. 【详解】（1）袋中共有7个球，从中随机抽取3个的方法数为种， 白球，红球，蓝球各有1个的方法数为种， 所以. （2）恰有2个球的颜色相同的方法数为种， 所以. （3）至少有一个红球的方法数为种， 所以. 10. 根据条件“二项式的展开式的第7项是常数项”， (1)求幂指数n的值； (2)求展开式中二项式系数最大项的二项式系数． 【答案】(1)7 (2)35 【知识点】由项的系数确定参数、二项式系数的增减性和最值、根据二项式的第k项求值 【分析】（1）先求出二项展开式的第七项，再令，即可求解n的值. （2）根据二项展开式的项数，即可求解二项式系数最大项的二项式系数. 【详解】（1）二项式的展开式的第7项是常数项， 所以， 所以，解得. （2）由（1）知，，所以展开式共8项， 所以展开式中二项式系数最大项为第或项， 即第4项和第5项的二项式系数最大且相等， 即. 11. 已知，求： (1)展开式各项系数和； (2)含的项． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）运用赋值法，使即可求出展开式各项系数和. （2）根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】（1）已知，令， 可得， 所以展开式各项系数和为. （2）已知， 则二项展开式的通项为， 令，解得，可得， 所以含的项为. 12. 某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组. (1)求课外兴趣小组中男､女同学的人数； (2)经过一个月的学习､讨论，这个兴趣小组决定随机选出两名同学分别去做某项试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 【答案】(1)男同学的人数为人，女同学的人数为人. (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（）先求出每个同学被抽到的概率，利用分层抽样的方法即可求出兴趣小组的男生人数和女生人数. （）根据题意写出基本事件，利用古典概型公式即可得解. 【详解】（1）某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组， 每个同学被抽到的概率为. 课外兴趣小组中男同学的人数为人，女同学的人数为人. 综上所述，课外兴趣小组的男同学的人数为人，女同学的人数为人. （2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有6种，分别为： ， 其中有一名女同学包含的基本事件有3种，分别为：， 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为. 13. 甲袋中有红球2只，白球4只，乙袋中有红球1只，白球3只． (1)若从每个袋中任取2只球，求取出的4球恰有1只为红球的概率； (2)若从乙袋中任取出一只球放到甲袋中，再从甲袋中求取出2只球，求取出的2球恰都为红球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先求出从每个袋中任取2只球的事件总数，再求解恰有1只为红球的事件总数，再由古典概型概率公式求解即可. （2）根据从乙袋中取出的球的颜色不同，分别计算概率即可. 【详解】（1）从每个袋中任取2只球的方法数为种， 取出的4球恰有1只为红球的可能是从甲袋中取出了一只红球， 或从乙袋中取出了一只红球，则方法数为种， 所以取出的4球恰有1只为红球的概率. （2）当从乙袋中取出一个红球放入甲袋中， 则从甲袋中求取出2只球的方法数为种， 则取出的2球恰都为红球的方法数为种， 当从乙袋中取出一个白球放入甲袋中， 则从甲袋中求取出2只球的方法数为种， 则取出的2球恰都为红球的方法数为种， 取出的2球恰都为红球的概率. 14. 已知，求的值. 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】分别令，，将所得结果相加、化简可求解. 【详解】由已知， 令，可得 ， 令，可得  ， 两式相加，可得 ， 所以. 15. 已知中，且. （1）求m的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解. （2）利用赋值法令得出所有项的系数和，再令，两式作差即可求解. 【详解】（1）因为，， 依题意得：， 所以，得. （2） 令得：.① 令得：.② 由①—②得：， 即. 故答案为：； 16. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256. (1)求的值； (2)求展开式中含项的系数. 【答案】(1) (2)-1792 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解. （2）根据题意结合二项展开式中的通项公式运算求解. 【详解】（1）令可得，展开式中各项系数之和为， 且展开式中的二项式系数之和为， 由题意可得，解得. （2）的展开式的通项为：， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为. 17. 已知二项式的展开式中共有8项. （1）求展开式的第4项的系数； （2）求展开式中含的项. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求指定项的系数、求二项展开式的第k项、二项展开式的应用 【分析】（1）由求出的值，再求展开式的通项，令即可求解； （2）二项式展开式的通项中令的指数位置等于，求出的值即可求解. 【详解】（1）二项式的展开式有项，所以，可得， 展开式的通项为， 所以展开式的第4项的系数为； （2）展开式的通项为， 所以含的项为. 18.已知． (1)展开式中的中间一项； (2)展开式中常数项的值． 【答案】(1) (2)375 【知识点】求二项展开式的第k项、组合数的计算 【分析】（1）先求出展开式的通项，再求其第4项即可. （2）令展开式的通项中系数为零，解出，再代入通项求解即可. 【详解】（1）展开式的通项为，， 展开式一共7项，中间一项为第4项，， . （2）令，解得. ，故展开式中常数项的值. 19.已知，若． （1）求实数m的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）令代入求值即可； （2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】解：（1）令得到， 所以， （2）因为, 二项式的通项公式为：， 所以中含的项为 中含的项为 所以. 20. 已知在的展开式中，第项为常数项，求： (1)的值； (2)展开式中的系数； (3)展开式中各项的系数和. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、根据二项式的第k项求值、组合数的计算 【分析】（1）写出展开式通项，利用为常数项可求得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解； （3）在二项式中令可得出展开式中各项的系数和. 【详解】（1）解：展开式通项为， 由题意可知，，由题意可得，解得. （2）解：展开式通项为， 令，解得， 因此，展开式中的系数为. （3）解：在中，令，可得展开式中所有项的系数和为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $