【大题专项】专题5 排列组合、二项式定理与古典概型（A卷·基础巩固）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为排列组合、二项式定理与古典概型。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题5 排列组合、二项式定理与古典概型 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 解答题专项 1.从6名员工中，选出2名员工． (1)去参加工作培训，共有多少种不同的选法？ (2)分别担任组长与副组长，共有多少种不同的选法？ 【答案】(1)15 (2)30 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算、组合意义理解、组合数的计算 【分析】（1）根据组合的定义即可求解； （2）根据排列的定义即可求解. 【详解】（1）根据组合的定义可知， 从6名员工中，选出2名员工去参加工作培训共有种不同的选法. （2）根据排列的定义可知， 从6名员工中，选出2名员工并分别担任组长与副组长共有种不同的选法. 2. 从7个不同的玩具中选3个分别送给三个小朋友，共有几种数选法 【答案】210 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】根据排列的定义即可求解. 【详解】根据排列的定义可知， 从7个不同的玩具中选3个分别送给三个小朋友共有种. 3. 写出： (1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合； (2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合． 【答案】(1)ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de . (2)abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde . 【知识点】组合数的计算、组合意义理解 【分析】（1）利用组合的定义即可得出； （2）利用组合的定义即可得出. 【详解】（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取两个元素的所有组合共有个，即ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de . （2）从5个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合共有个，即abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde . 4. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）84；（2）15 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算 【分析】（1）根据排列数的计算公式可得答案； （2）根据组合数的性质和计算公式可得答案. 【详解】（1）． （2）． 5. 一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【答案】(1)10 (2)6 (3)4 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）由组合数公式即可求解； （2）由组合数公式即可求解； （3）由组合数公式即可求解； 【详解】（1）从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是. 6. 已知二项式，求： (1)二项展开式中的常数项； (2)第2项的系数以及第2项的二项式系数． 【答案】(1). (2)系数为，二项式系数为6. 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数、根据二项式的第k项求值 【分析】（1）根据二项式展开的通项公式，即可求解. （2）根据系数与二项式系数不同，结合二项式展开的通项公式，即可求解. 【详解】（1）二项式展开的通项公式为， 化简得， 求二项展开式中的常数项， 令，则， 常数项为. （2）第2项， 第2项的系数为， 第2项的二项式系数为. 7. 从3名女生、2名男生中，选出3人组成的抗疫志愿者小分队， (1)求所选3人中既有男生又有女生的概率； (2)求选出的3人中有女生的概率. 【答案】(1) (2)1 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、确定性事件与随机事件的概率 【分析】（1）首先根据组合数求出从5人中选出3人的基本事件的总数，再由所选3人中既有男生又有女生可分为2名男生，1名女生，或2名女生1名男生，分别用组合数求出对应的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. （2）根据题意，可知选出的3人中有女生是必然事件，由此即可确定概率. 【详解】（1）已知从3名女生、2名男生中，选出3人组成的抗疫志愿者小分队， 共有个基本事件， 其中选2名男生，1名女生有个基本事件， 2名女生1名男生有个基本事件， 所以所选3人中既有男生又有女生的概率为. （2）已知从3名女生、2名男生中，选出3人， 因为只有2名男生，所以选出的3人中，必须有女生， 所以选出的3人中有女生为必然事件， 所以选出的3人中有女生的概率为1. 8. 在的展开式中，求常数项.（用数字作答）. 【答案】40 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，令，解得，代入通项公式中即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为 令，则， 所以展开式的常数项是. 9. 在的展开式中.求： (1)所有项的系数和； (2)的系数； 【答案】(1)； (2) 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）由二项式，令即可求解所有项的系数和. （2）求出展开式的通项公式，令，求解k的值，即可求解系数. 【详解】（1）在的展开式中， 令，该展开式中所有项的系数和为. （2）在的展开式中， 该展开式的通项公式为，， 令，解得， 故的系数为. 10. 已知展开式中二项式系数最大项的系数为，求a的值． 【答案】或 【知识点】由项的系数确定参数、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项展开式中最中间的二项式系数最大，结合二项式的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知展开式中二项式系数最大项为第五项， 即，其中系数为， 由题意可知， 解得或. 11. 班上每个小组有名同学，现要从每个小组选名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛. (1)每个小组的代表队有多少种选法？ (2)如果每支代表队还必须指定名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？ (3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他排列模型、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）利用组合知识，直接从名同学中选名同学即可； （2）先选出队长，再选出名队员，结合分步乘法计数原理即可求解； （3）利用排列知识，从名同学中选名同学担任不同的辩手即可. 【详解】（1）由题意从名同学中选名同学组成一支代表队， 共有种选法. （2）完成这件事情分为两步， 第一步先选队长，有种选法， 再选出名队员，有种选法， 故共有种选法. （3）由题意从名同学中选名同学担任不同的辩手， 有种选法. 12. 从6名男学生和5名女学生中随机选出2名去参加一场演讲比赛. (1)问：共有多少种选法？ (2)求选出的学生恰好男､女各1名的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由组合数进行计算即可解得. （2）由分步乘法乘法和古典概型计算即可解得. 【详解】（1）6名男学生和5名女学生，共计11名学生， 现从这11名学生中随机选出2名，共有种选法. （2）男生选一名，有种选法. 女生选一名，有种选法. 选出的学生恰好男､女各1名的选法共有种， 故所求概率为. 13. 一个口袋中有大小相同的10个小球，其中个红球，个黑球.求： (1)从中任取个，恰好有个红球个黑球的概率. (2)从中任取个，恰好都是红球的概率. (3)从中任取个，至少有一个是红球的概率. 【答案】(1). (2). (3). 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】（1）从中任取个，恰好有个红球个黑球的概率. （2）从中任取个，恰好都是红球的概率. （3）从中任取个，至少有一个是红球的概率. 14. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩A得到一个职位； (2)女孩A和B各得到一个职位； (3)女孩A或B得到一个职位. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的基本概念，结合组合数运算，即可求解. 【详解】（1）由题，5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，有2个秘书职位，且5个人被录用的机会相等， 女孩A得到一个职位的事件即为女孩A和其余四个女孩其中一人得到一个职位， 故女孩A得到一个职位的概率为：. （2）女孩A和B各得到一个职位的事件只有一种， 故女孩A和B各得到一个职位的概率为：， （3）女孩A或B得到一个职位即总和中除去女孩女孩A和B都得不到一个职位， 故女孩A或B得到一个职位的概率即为. 15. 一个盒子里有3个红球，4个黄球（仅颜色不同）. (1)现从中任取2个，求取出同色球的概率； (2)现从中任取出1个，看后放回，连续取两次，求取出不同色球的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型的概念，即可求解. （2）根据古典概型的概念，结合排列顺序，即可求解. 【详解】（1）从7个小球中任取2个小球共有种取法， 设取出同色球，有种取法， 故. （2）从7个小球中任取出1个，看后放回，连续取两次， 共有种取法， 设取出不同色球，有种取法， 故. 16. 一个盒子中装有大小相同的2个红球和个白球，从中任取2个球． (1)若，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率； (2)若取到的2个球中至少有1个红球的概率为，求． 【答案】(1) (2)4 【知识点】组合数的计算、根据古典概型的概率求参数、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）记“取到的2个球恰好是一个红球和一个白球”为事件，利用古典概型概率公式即可求解. （2）利用对立事件的概率公式建立方程，即可得到结论. 【详解】（1）记“取到的2个球恰好是一个红球和一个白球”为事件，. （2）记“取到的2个球中至少有1个红球”为事件， 由题意，得 化简得，解得，或（舍去），故． 17. 求二项展开式中不含x的项. 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】先写出二项展开式的通项，再求不含x的项即可. 【详解】二项展开式的通项为， 令，则. 故不含x的项为. 18. 的二项展开式中第二项的系数为16，求展开式中含项的系数． 【答案】1792 【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数 【分析】根据二项展开式中第二项的系数求解二项式的指数，进而求解展开式中含项的系数. 【详解】因为的第二项为的系数为16. 所以，即. 所以二项式的通项公式为. 令，即.则. 所以展开式中含的系数为1792. 19. 已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，求： (1)的值； (2)展开式中的幂指数是的幂指数的3倍的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】由项的系数确定参数、求二项展开式的第k项 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可求得的值. （2）根据二项式展开式的通项公式，即可求值. 【详解】（1）已知， 其展开式中第4项的二项式系数为， 第6项的二项式系数为， 由， 可知. （2）由（1）可知， 则展开式的通项为， 若的幂指数是的幂指数的3倍， 则， 解得， 所以， 即. 20. 已知的展开式中，第三项的二项式系数是36. (1)求n的值； (2)求含有的项的系数. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数、组合数方程或不等式 【分析】（1）由第三项的二项式系数为，即可求得n的值； （2）先写出的展开式的通项，令的指数为求解即可. 【详解】（1）依题意得：第三项的二项式系数为， 即，解得舍去）， 故. （2）由（1）， 的展开式的通项为. 令，解得： ∴，即的系数为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为排列组合、二项式定理与古典概型。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题5 排列组合、二项式定理与古典概型 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 解答题专项 1.从6名员工中，选出2名员工． (1)去参加工作培训，共有多少种不同的选法？ (2)分别担任组长与副组长，共有多少种不同的选法？ 2. 从7个不同的玩具中选3个分别送给三个小朋友，共有几种数选法 3. 写出： (1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合； (2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合． 4. （1）计算：； （2）计算：． 5. 一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 6. 已知二项式，求： (1)二项展开式中的常数项； (2)第2项的系数以及第2项的二项式系数． 7. 从3名女生、2名男生中，选出3人组成的抗疫志愿者小分队， (1)求所选3人中既有男生又有女生的概率； (2)求选出的3人中有女生的概率. 8. 在的展开式中，求常数项.（用数字作答）. 9. 在的展开式中.求： (1)所有项的系数和； (2)的系数； 10. 已知展开式中二项式系数最大项的系数为，求a的值． 11. 班上每个小组有名同学，现要从每个小组选名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛. (1)每个小组的代表队有多少种选法？ (2)如果每支代表队还必须指定名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？ (3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 12. 从6名男学生和5名女学生中随机选出2名去参加一场演讲比赛. (1)问：共有多少种选法？ (2)求选出的学生恰好男､女各1名的概率. 13. 一个口袋中有大小相同的10个小球，其中个红球，个黑球.求： (1)从中任取个，恰好有个红球个黑球的概率. (2)从中任取个，恰好都是红球的概率. (3)从中任取个，至少有一个是红球的概率. 14. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩A得到一个职位； (2)女孩A和B各得到一个职位； (3)女孩A或B得到一个职位. 15. 一个盒子里有3个红球，4个黄球（仅颜色不同）. (1)现从中任取2个，求取出同色球的概率； (2)现从中任取出1个，看后放回，连续取两次，求取出不同色球的概率. 16. 一个盒子中装有大小相同的2个红球和个白球，从中任取2个球． (1)若，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率； (2)若取到的2个球中至少有1个红球的概率为，求． 17. 求二项展开式中不含x的项. 18. 的二项展开式中第二项的系数为16，求展开式中含项的系数． 19. 已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，求： (1)的值； (2)展开式中的幂指数是的幂指数的3倍的项. 20. 已知的展开式中，第三项的二项式系数是36. (1)求n的值； (2)求含有的项的系数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $