专题04 二元一次方程组的特殊解法（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04二元一次方程组的特殊解法 月录 A题型建模·专项突破 题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘】 题型二、不解二元一次方程组求代数式的值… .3 题型三、整体代入法解二元一次方程组..5 题型四、换元法解二元一次方程组… .9 题型五、新定义型二元一次方程组… .14 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 x+1_y-1=-1 1.（24-25七年级下江苏·期末)解方程组： 52 3x+4y=32 x-=2 2.(2025山东淄博中考真题)解方程组： 2 2x+3y=12 5x+2y=1 3.(24-25七年级下·重庆丰都期末)解二元一次方程组： x-y1=2 3 [2x+y=3 4.(24-25七年级下·内蒙古·期末)用加减法解方程组： l3++ 2-1 1 题型二、不解二元一次方程组求代数式的值 5.(24-25七年级下河南信阳·期末)已知x,y满足方程组 2x+y=5 x+2y=7'则r-y= 2x+y=6 6.(25-26八年级上·广西南宁·开学考试)已知x,y满足方程组 3x+4y=-1'则x+y的值为 x+2y=5 7.(25-26八年级上·全国·课后作业)已知x,y满足方程组 2x+y=4'则x+y的值是 3x+4y=9 8.(25-26八年级上·全国·课后作业)已知方程组 6x+5y=4'则8x+8y= 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三、整体代入法解二元一次方程组 9.(23-24八年级上陕西宝鸡期末)运算能力先阅读材料，再解方程组. x+y=4① 解方程组： 3(x+y)+y=14② 解：将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y=14,解得y=2. 把y=2代入①，得x=2, x=2 所以原方程组的解为 y=2 x-y-1=0① 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 4(x-y)-y=5② 10.(24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习)观察发现： 材料：解方程组 r+y=4① 3(x+y)+y=14② 将①整体代入②，得3×4+y=14.解得y=2. x=2 把y=2代入①得x=2,所以 y=21 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， x-y=1① (1)请直接写出方程组 4x-y)-y=5②的解为 2x-3y-2=0① (②)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 2x-3y+5+2y=9② 11.(2025七年级上全国专题练习)阅读下面解方程组的过程. x y 4 解方程组 3153 x y2 4103 xy-4,① 解：原方程组可化为3153 xy_4② 2531 ②-①，得-2=0，即x=4 615 16 把考代入方程@，对号号手解得y9所以x5所以原方程的解是 3 20 y= 31 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以上解方程的方法叫作“消常数项法”. 请用“消常数项法”解下列方程组： 5x-3y=56 (1) 3x+y=56 [7x-8y=22 2②3x-5y=I1 12.(25-26八年级上·全国·课后作业)(1)观察发现： x+y=4① 解方程组 3(x+y)+y=14② 将①整体代入②，得3×4+y=14,解得y=2. 将y=2代入①，解得x=2, [x=2 所以原方程组的解是 y=2 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解 x-y-1=0① 请写出方程组 4(x-以-y=5@的解为 2x-3y-2=0① (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组： 2x-3y+5+2y=9② 7 3x2-2xy+12y2=47 (3)已知x,y满足方程组 ,求x2+4y2-y的值. 2x2+xy+8y2=36 题型四、换元法解二元一次方程组 13.(2025七年级上·全国·专题练习)阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 19x+18y=17① 解方程组 时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便。 17x+16y=15② 解：①-②，得2x+2y=2,即x+y=1.③ ③×16，得16x+16y=16.④ ②-④，得x=-1. 把x=-1代入③，得y=2. x=-1 故原方程组的解是 y=2 2025x+2024y=2023① (①)请用上述方法解方程组： 2023x+2022y=2021② 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (a+2)x+(a+1)y=a (2)直接写出关于x,y的二元一次方程组 ar+(a-1y=a-2的解。 (a-1+2(b+2)=6 14.(24-25七年级下河南洛阳·期末)阅读探索，知识累积.解方程组 12(a-1)+(b+2=6 x+2y=6 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可变为 2x+y=6 x=2 a-1=2 a=3 解方程组得：即 y=2'1b+2=2' 所以 这种解方程组的方法叫换元法. 1b=0 (1)拓展提高 gg-4 运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用 x=5 己知关于x,y的方程组 (a,x+by=G的解为 y=3 直接写出关于m、n的方程组 ax+bay=c2 5a,(m+3到+36(n-2)=G的解为 5a2(m+3)+3bn-2)=c2 15.(24-25七年级下·福建泉州阶段练习)阅读下列材料： [2x+3y+2x-3y=7 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 4 3 2x+3y+2x-3y=8 小明发现，如果 3 2 用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的2x+3y)看成一个整体， 把2x+3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题.以下是他的解题过程：令m=2x+3y,n=2x-3y. m n +2=7 43 m=60 原方程组化为 ，解得 m n -=8 (n=-24'把 =-24代入m=2x+3,n=2x-3y,得2x+3y=60 m=60 2x-3y=-24'解 3 2 x=9 x=9 得 y=14' ·.原方程组的解为 y=14 (1)学以致用： 2(x+1)+3y-2)=1 运用上述方法解下列方程组： (x+1)-2(y-2)=4 (2)拓展提升： 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=3 己知关于x,y的方程组 ax+b,y=G的解为 ax+b3y=c =4’ 请求出关于m、n的方程组 a(m+2)-b,n=G的解。 a2（m+2）-b2n=c2 16.(24-25七年级下·浙江台州期中)阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题. 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法， 就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化.换元的实 质是转化，关键是构造元和设元 1+1=12 x v 1 m+n=12 例如解方程组 ,设m=一 2 ,n=二 ,则原方程组可化为 解化简之后的方程组得 1 y 二=20 2m+n=20' x y 1 =8 m=8 8 n=4' 1 所以原方程组的解为 =4 V= y 4 运用以上知识解决下列问题： 1+2=2 (1)求方程组 x y 的解. 3.2 =4 x y 3x+5y=11 x=2 (2)关于x,y二元一次方程组 的解为 则方程组 3(x-2)+5(y+1)=11 ax+11y=12 y=1 (x-2+1y+1=12的解为 3.2+2-3y1=111 (3)举一反三：方程组 2x1+23y=86 的解为- 题型五、新定义型二元一次方程组 17.(24-25七年级下·广东广州期中)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ar+by,x⑧y=ax-by,其中 a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ，b= ； (2)若x*2y+x⑧y=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值； x☒y=5m a,x*b,y=G的解为 y=5,则关于x,y的方程组 x=12 (4)若关于x,y的方程组 4a,(x+y*5h,(x-y)=G的 a2x⑧b2y=C2 4a2x+y)⑧5b2x-y)=c2 解为 5/11 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25七年级下·云南昆明·期中)【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值. 3a-b=5① 如：己知实数a,b满足 2a+36=7@’求a-4b和7a+56的值. 方法一：解方程组，分别求出a,b的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值. 解法如下： ①-②.得：a-4b=-2, ①+②x2,得：7a+5b=19. 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”. 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组 x+2y=7则x-y=,x+y= 2x+y=8 (2)对于实数x,y,定义新运算：x※y=ax-by+c,其中a,b,c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算. 已知3※5=15,4※7=28，求1※1的值. 19.(24-25七年级下山西临汾期末)阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横 坐标，第二个数叫做点的纵坐标.如点(2,4)、-3,6). ①已知点(a+1,2b-1,且a、b为有理数 当a、b满足a+b=5时，就称点(a+1,2b-1为“理想点”. :a4,令w为名-日 a=0 :a+b=0+2≠5，A1,3)不是“理想点”： a+1=7 ,a=6 点87-引，令2b-1=-3得61 :a+b=6-1=5,B(7,-3是“理想点”. ②己知点(a,b),且a、b为有理数.当a、b满足a+b=ab时，就称点(a,b)为“开心点”. 反之，当点(a,b)为“开心点时，则a+b=ab. 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点(6，-5)是否为“理想点”. 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)己知x是二元一次方程组 x+y=m+6① x-y=-m② 的解，若点(x,y)是“开心点”，求m的值. 20.(24-25七年级下·湖南长沙期中)对于关于x,y的二元一次方程组 a+by=G(其中a,b，G, ax+b2y=c2 42,b2,C2是常数)，给出如下定义：若该方程组的解满足x+y=1,则称这个方程组为“开心”方程组. (①)下列方程组是“开心”方程组的是 只填写序号)： ①x+y=0 2x-y=03 2-2:®/-y- ②x+y=1 3x+5y=7 [2x+5y=4k+3 (2)若关于x,y的方程组 5x+2y=5-k 是“开心”方程组，求k的值； (3)若对于任意的有理数m,关于x,y的方程组 2amx+(b-ly=m都是“开心方程组，求ab的值. x+2y=4 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 2x+6y=15 1.(2425七年级下·广东江门阶段练习)已知x,y满足方程组 2-2y=5,则x+y的值为() A.9 B.7 C.5 D.3 3x+y=3 2.(24-25七年级下山东菏泽·期末)己知方程组 x+3y=5’则y2-x2的值为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 [2x+y=k-2 3.(24-25七年级下·浙江宁波·期中)己知关于x,y的方程组 x+2y=5张+2的解满足x+y=+1,则k=() A.-1 B.0 C.1 D.2 ax+by= x=1 4.(22-23七年级下·福建泉州期中)若关于x、y的方程组 ex+fy= ,的解为 y=2'则方程组 a(x-1)+3by =2c e(x-1+3=2d的解是() x=2 x=3 x=2 x=3 A. D. 2 3 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 2x-y=14 5.(24-25七年级下江苏宿迁·期末)已知x,y满足方程组 x+4y=-8'则x+y的值是 3x-y=5-2k 6.(24-25七年级下，四川绵阳期末)已知方程组 x+3y=k ，那么x与y的关系是 2a-3b=5 7.(24-25七年级下·浙江丽水阶段练习)若方程组 a=4 3a+5b=17 的解是 6=1,则关于x,y的方程组 2(x-1)-3(y+1)=5 的解为 3(x-1)+5(y+1=17 ax+by=G的解是 x=2 8.(24-25七年级下.安徽黄山·期末)两位同学对问题“若方程组 ax+bay=c2 y=7’求方程组 a+26y=3的解，提出各自的想法。甲说：这个题日好像条件不够，不能求解，乙说：“它们的系数有 ax+2b2y=3c, 一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以3，然后通过整体换元替代的方法来解决”. 参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是一 三、解答题 9.(24-25七年级下·天津阶段练习)解下列方程组： (x+1)-6y=0① (1) 2(x+1)-y=11② 3(x+y)-4(x-y)=4① (2)x+y+x=y=1② 2 6 10.(23-24七年级下·黑龙江哈尔滨期中)先阅读材料，然后解方程组， x-y-1=0① 材料：解方程组 4(x-y)-y=5② 由①得，x-y=1③ 把③代入②，得4×1-y=5,解得y=-1, 把y=-1代入®得x=0,所以这个方程组的解为)=-1 x=0 这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 2x-3y-2=0 2x-3y+5+2y=9 7 11.(23-24七年级下·山西吕梁期末)阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务， 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换 元、整体约减、整体求和、整体构造等方法.有些问题若从局部求解，采取逐个击破的 方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化 难为易，复杂问题也就迎刃而解了.因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想 方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷.例如 例1解方程组： x+2(x+y)=3① x+y=1② 解：把②代入①得，x+2×1=3,解得x=1. x=1 把x=1代入②得，y=0,所以原方程组的解为 y=0 例2已知实数y满足5x-y=7…①，4x+3y=2…②，求x-4y和13x+5y的值.解： 由①-②可x-4y=5,由①+2x2可得13x+5y=11. 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问 题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼 此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） [3x+2y=7 (1)己知二元一次方程组 2x+3y=8求-y和x+y的值： 2x+5y=3 (2)解方程组： 4x+10y=5-y 2a-3b=13 a=8.3 2(x+2)-3(y-1=13 (3)已知方程组 3a+5b=30.9 的解是 b=1.2请直接写出方程组： 3(x+2+5y-1=30.g的解. 12.(24-25七年级下·福建泉州期中)阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法.数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数x,y满足 3x-y=5 2x+3=7'求x-4y和7x+5y的值. 小明：利用消元法解方程组，得出x,y的值后，再分别代入x-4y和7x+5y求值， 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，3x-y=5① ,2x+3y=7②，由①-②，可得x-4y=-2,由①+②×2，可得7x+5y=19. 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学 的做法，解决下面的问题 [2x+y=6 (1)己知二元一次方程组 (x+2y=4'则r-y= 5x+4y= 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3x+y=2k+1① (2)己知关于x,y的二元一次方程组 x+3y=k-1② 若方程组的解满足x-y=-1,求k的值。 13.(24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习)在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题 【类比观察】(1)求下列方程组的解 2a+3b=8 方程组{ a+2b=5 的解为： [2x+3y=8 方程组 的解为： x+2y=5 【探究结论】(2)两个方程组的未知数的系数 ；两个方程组的解 ax+by=54 cr+少=32的解为 x=4 【探究应用】(3)利用探究的结论解答：己知关于x,y的方程组 =-3'求关于m, a(m+n+b(m-n)=54 的方程组 c(m+川+d(m-n=32的解。 14.(24-25七年级下·江苏苏州期末)“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这 样的方法把复杂的问题转化为简单问题. a-2ab+b=1 例如，已知方程组： 2a+ab+2b=-3'求a+b,ab的值. a+b-2ab=1 解：原方程组即为 (2(a+b)+ab=-3'a+b=x,ab=y x-2y=1 原方程组可变形为： 2x+y=-3' [a+b=-1 解得 即 y=-1" ab=-1 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于x的一元一次方程ax+b=2x(a,b为常数，且a≠2)的解为x=-4,则关于y的一元一次方程 a(y-9)+b=2y-18的解为y= 3m-2mn-6n=-9 (2)已知关于m,的方程组 2m+mn-4n=1，求m+2n的值； 3a-b+9c=-34 (3)已知关于a,b,c的方程组 -2a+4b-11c=16 ,求a+b+c的值. 15.(24-25七年级下山东日照期中)阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 2x+3y+2x-3y=7 3 解方程组： 4 2x+3y+2x-3y=8 3 2 10/11 专题04 二元一次方程组的特殊解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1 题型二、不解二元一次方程组求代数式的值 3 题型三、整体代入法解二元一次方程组 5 题型四、换元法解二元一次方程组 9 题型五、新定义型二元一次方程组 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1．（24-25七年级下·江苏·期末）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：方程组整理得： 得， 解得：， 把代入①得， 解得：， 故原方程组的解为：． 2．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 3．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元法解方程组是解决问题的关键．先整理方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】解：原方程组可变形为， 得， 得：， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解是． 4．（24-25七年级下·内蒙古·期末）用加减法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 将第二个方程乘以4后，两个方程相减，即可消去未知数x，求出y的值，进而求出x的值，即可解答． 【详解】解：， ，得， ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， ∴方程组的解为． 题型二、不解二元一次方程组求代数式的值 5．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键． 方程组两方程左右两边相减，再整理即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）已知满足方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加变形，即可求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得：， ∴； 故答案为：1． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知x，y满足方程组，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，即可求出的值． 【详解】解： 得，， ∴， 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程组，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， ∴． 故答案为：． 题型三、整体代入法解二元一次方程组 9．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 10．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 11．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可； （2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，解得． 故原方程组的解为 （2）（2） ②×2-①，得，即． 把代入①，得，解得． 把代入，得． 故原方程组的解为 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握“消常数项法”解二元一次方程组是解题的关键． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）（2）（3）15 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 则原方程组的解为； 故答案为：； （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 则原方程组的解为； （3） 由①，得， 化简，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以． 题型四、换元法解二元一次方程组 13．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 15．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，． 原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代入法求二元一次方程组. （1）令，，原方程组化为，求解原方程组代入，求解即可； （2）令，，原方程组化为，求解原方程组，代入，求解即可； 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 题型五、新定义型二元一次方程组 17．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 18．（24-25七年级下·云南昆明·期中）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下： ①②．得：， ①②，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______． (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，理解材料提示方法，新定义运算法则是关键． （1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得，， 得，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答． （2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答． （3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． （2）解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； （3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出，，然后利用因式分解转化为求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到，根据题意，方程组的解满足，得到，求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 两边同时除以3，得：， 根据题意，方程组的解满足， 因此：， 解得：． 故选：C． 4．（22-23七年级下·福建泉州·期中）若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，满足方程组，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 将两方程相加除以3即可． 【详解】解： 得， 即， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程组，那么x与y的关系是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用整体的思想进行计算，即可解答． 【详解】解：， ②得：③， ①③得：， 即， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的关键． 把和看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得，再解方程组即可． 【详解】解：方程组的解是， 对于方程组，可得， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程组化为：，结合已知条件得到，进行求解即可． 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·天津·阶段练习）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （2）将方程组化简，得到，利用代入法解答即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 解得， 把代入中，得， 解得， 原方程组的解为． （2）解：方程组整理得，， 把代入中，得， 解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 13．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，求出的值，再利用，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：设， ，即， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：原方程组为， 设，， 原方程组可变形为：， 解得，即， ∵， ∴； （3）解：设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 15．（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $