第七章 二元一次方程组（复习课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

单元复习课件 第七章 二元一次方程组 新教材鲁教版五四制·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.复习二元一次方程（组）、三元一次方程（组）的概念，能解数字系数的二元一次方程组、三元一次方程组，体会消元、转化思想。 3.复习二元一次方程与一次函数的实质性联系，会利用待定系数法确定一次函数的表达式，逐步实现对函数的结构化理解。 进一步学会在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识分析问题和解决问题。 2. 能运用二元一次方程组解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验方程组的合理性，发展抽象能力、推理能力、运算能力和模型观念，增强应用意识。 单元学习目标 单元知识图谱 一、二元一次方程（组） 1.相关概念 （1）二元一次方程概念：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫这个二元一次方程的一组解。 （2）二元一次方程组概念： 的两个方程所组成的方程组，并且所含未知数的项的 的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的 叫做二元一次方程组的解. 两 1 注意：一个二元一次方程有无数解 共含有两个未知数 次数都是1 公共解 考点串讲 2.解法 （1）加减消元法 ①变形 根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 ③求解 解消元后的一元一次方程 ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 考点串讲 ①变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数. ②代入 把 y=ax+b (或 x=ay+b) 代入另一个没有变形的方程 ③求解 解消元后的一元一次方程 ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 2.解法 （2）代入消元法 考点串讲 数学问题 (二元一次方程组) 数学问题的解(二元 一次方程组的解) 实际问题 的答案 解方程组 检验 ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 3.实际应用 设未知数 列方程组 ⑥答 实际应用 考点串讲 4.二元一次方程组与一次函数 （1）二元一次方程与一次函数：一般的，以二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。 一次函数图象上 二元一次方程的解 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的 ； 一次函数图像上的点的坐标都对应相应的 。 （2）二元一次方程组和一次函数的图象关系 二元一次方程组的解 两条直线交点的坐标 对应 考点串讲 4.二元一次方程组与一次函数 （3）用二元一次方程组确定一次函数的表达式： 用待定系数法确定一次函数的表达式的步骤： ①设一次函数的表达式为y=kx+b ②把函数的两组对应值代入所设函数中，得到一个关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k,b的值 ③把k、b的值代入所设的函数中 ④写出一次函数的表达式. 考点串讲 二、三元一次方程（组） 三元一次方程的概念：三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 三元一次方程组的概念: 一般地，由几个一次方程组成，并且一共只含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 三元一次方程组的解法 三元一次方程组 二元一次方程组 消元 消元 一元一次方程组 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 考点串讲 题型一、二元一次方程（组）的概念 1.下列是二元一次方程的是（ ） 　　 A．x-2= x B.4x+3y=1 C.x+ =0 D.2x-y=x2 B 2.下列方程组中，不是二元一次方程组的是(　 ) D A． 3x-2y=1 4x-1=y B． x2-2x=x2+y x-y=20 C． x=1+2y y=0 D． x+y=5 z-y=3 题型剖析 题型一、二元一次方程（组）的概念 方法技巧 ① 是整式方程； ② 含有两个未知数； ③ 含有未知数的项的次数都是1. 二元一次方程 ① 两个方程都是整式方程； ② 方程组中一共含有两个未知数； ③ 含有未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组 题型剖析 题型二、二元一次方程（组）的解 1. 不是下列哪个方程的解 ( ) A.x+y=0 B.x-y=-2 C.2x-y=-1 D.x+2y=1 C D x=-1 y=1 2.下列说法中正确的是 (　　) A.二元一次方程3x-2y=5的解为有限个 B.方程3x+2y=7的解中x、y为自然数的有无数对 C. 方程组的解为0 D.方程组中各个方程的公共解叫作这个方程组的解 x+y=0 x-y=0 题型剖析 题型二、二元一次方程（组）的解 3. 已知 是方程3x+2y=10 的一个解，则m的值是 ． 2 D x=-1 y=2 4. 已知 是二元一次方程组 的解，则m﹣n的值为（　　） x=2 y=m 3x+2y=m mx-y=n A．1 B．2 C．3 D．4 5. 若方程组 和 有相同的解，则m = ，n = . x+ny=m 2x-y=7 3x+y=8 mx+y=n 1 2 题型剖析 题型二、二元一次方程（组）的解 6.用代入法解方程组 解：由①得y=2x-3 ③， 把③代代入②得，3x+4（2x-3）=10， 解得：x=2， 把x=2代入③得，y=1 所以原方程的解为 题型剖析 题型二、二元一次方程（组）的解 解：①×3，得 9x+12y=48.③ ②×2，得 10x-12y=66.④ ③+④，得 19x=114， x=6. 7.用加减法解方程组 ① ② 把 x=6 代入①，得 3×6+4y=16， 4y=-2， y= 所以这个方程组的解是 3x+4y=16 5x-6y=33 x=6 y=-0.5 题型剖析 题型二、二元一次方程（组）的解 8.求二元一次方程3x+2y=12的非负整数解. 由于x、y为非负整数，所以x必为偶数 解：原方程可化为 当x=0时，y=6；当x=2时，y=3；当x=4时，y=0. 所以原方程的的非负整数解为 题型剖析 题型二、二元一次方程（组）的解 方法技巧 已知两个方程组同解，求字母常数的值的方法 第一步：将不含字母常数的两个方程联立组成方程组，求出该方程组的解； 第二步：将方程组的解代入含字母常数的方程，得到关于字母常数的方程(组)，即可求出字母常数的值. 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 1.如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（    ） C A. B. C. D. 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 2.[2024深圳]在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A A. B. C. D. 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用   3.某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，得27分，没有输过一场，该队胜几场，平几场？ 分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数， 等量关系有：胜的场数+平的场数=11,胜场得分+平场得分=27. 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3x y y 11 27 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用   解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得 8 y 3x y 3 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. x 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 4.某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元? 【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 (1+20﹪)x (1-10﹪)y 780 x y 200 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有 x-y=200， (1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780. 因此,去年的总产值是2 000万元，总支出是1 800万元. 解得 x=2 000， y=1 800. 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 5.甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ （1） 同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4km 甲追上乙 乙2h行程 甲2h行程 甲2h行程=4km+乙2h行程 （2） 同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 4km 相遇地 甲0.5h 行程 乙0.5h 行程 甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 解：设甲、乙的速度分别为x km/h, y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h. 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 6.我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？(列二元一次方程组解答) 解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 根据题意得：  答：甲有63只羊，乙有45只羊． x+9=2(y-9) x-9=y+9 解得 x=63 y=45 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 7. 百货大楼购进某种商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款399元，这两种商品原销售价之和为490元． （1）这两种商品的进价分别为多少元？（保留到个位） （2）对这两种商品而言，商场是赔了，还是赚了？赔、赚了多少钱？ （3）请你帮助商店设计一下，以这两种商品为例，折扣最低为多少方能保证商场只赚不赔？ （4）如果依然让顾客感到低折扣的实惠，那你看怎样设计商品的折扣作为奖励，既使顾客尝到低折扣的购物满足感，而又能保证商场在旺销中有钱可赚？ 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 题型剖析 题型三、二元一次方程（组）的实际应用 方法技巧 用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 【技巧】双检验:(1)检验是否为分式方程的解;(2)检验是否满足应用题的实际意义 题型剖析 题型四、二元一次方程（组）与一次函数 1.在平面直角坐标系内，一次函数 y = k1x + b1 与 y = k2x + b2 的图象如图所示，则关于 x，y 的方程组 的解是__________. y = k1x + b1 y = k2x + b2 题型剖析 题型四、二元一次方程（组）与一次函数 6.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是( ) A．9 cm B．10 cm C．10.5 cm D．11 cm B 题型剖析 题型四、二元一次方程（组）与一次函数 3.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10 km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(km)随时间t(分)变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8 km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 题型剖析 题型四、二元一次方程（组）与一次函数 4.如图，一次函数 y = kx + b 的图象经过 A (2,4)，B( -2,-2)两点，与y轴交于点C. （1）求k，b的值，并写出一次函数的表达式； （2）求点C 的坐标. 解：（1）因为一次函数 y = kx + b 的图象经过A(2,4)，B(-2,-2)两点， 所以 解得 故一次函数的表达式为 （2）把 x = 0 代入 ，得 y = 1， 所以点 C 的坐标为（0,1）. 题型剖析 题型四、二元一次方程（组）与一次函数 印数x(册) 5 000 8 000 10 000 15 000 … 成本y(元) 28 5 00 36 000 41 000 53 500 … 5.某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： (1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围)； 题型剖析 题型四、二元一次方程（组）与一次函数   (1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围)； (2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？ （2）0.4x+0.4=4.8， 解得x=11 答：如果出版社投入成本4.8万元，那么能印该读物11千册． 题型剖析 运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： 方法技巧 题型四、二元一次方程（组）与一次函数 一般步骤 ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象的交点坐标 ④写出方程组的解 题型剖析 1.已知方程2x2m+3- y4n-7 =3是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ，n＝ . 1 2 2.写出一个二元一次方程，使它的解是 ，这个方程组是 。 x=2 y=1 x+y=3(答案不唯一） 3. 和 都是关于x，y的二元一次方程ax+by+2＝0的解， 则a= ,b= 。 -1 4.若点P(x-y,3x+y)与点Q(-1,-5)关于x轴对称,则x+y=______。 3 针对训练 4. 加减法解方程组 下列解法正确的是（ ）。 A. ①×3 - ②×2，消去 x. B. ①×2 - ②×3，消去 y. C. ①×（-3）+ ②×2，消去 x. D. ①×2 - ②×（-3），消去 y. B 针对训练 5.[2024四川成都市]中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. B 针对训练 6.解方程组 （1） 解：①×3-②得，2y=4， y=2， 把y=2代入①得 则原方程的解为 针对训练 解：原方程组可化简为 由×2+②，得11x=22, 解得x=2. 将x=2代入中，得8-y=5，解得y=3. 所以原方程组的解为  ② 针对训练  ② ③ 解：+③×4，得17x+5y=85.④ ③×3-②,得7x-y=35.⑤ 解由④⑤组成的方程组，得x=5,y=0. 把x=5,y=0代入③中，得15-z=18，即 z=-3. 所以，原方程组的解为 针对训练 7.方程组 中, x与y的和为12,求k的值. 解得：k=14 解法1：解这个方程组，得 依题意：x＋y=12 所以(2k－6) ＋(4－k)=12 解法2：根据题意，得 解这个方程组，得k=14 针对训练 8.[2024贵州21题10分]为增强学生的劳动意识,养成劳动的习惯和品质,某校组织学生参加劳动实践活动.经学校与劳动基地联系,计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生,种植2亩甲作物和 2亩乙作物需要22名学生. 根据以上信息,解答下列问题: (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生? (2)若种植甲、乙两种作物共10亩,所需学生人数不超过55人,则至少种植甲作物多少亩? 针对训练 (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生? 解:(1)设种植1亩甲作物需要x名学生,种植1亩乙作物需要y名学生根据题意 得, 解得 答:种植1亩甲作物需要5名学生,种植1亩乙作物需要6名学生。 针对训练 (2)若种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，则至少种植甲作物多少亩? 解：(2)设种植甲作物m亩,则种植乙作物(10-m)亩 根据题意得,5m+6(10-m)≤55 解得m≥5 ∴m的最小值为5. 答:至少种植甲作物5亩   针对训练 9.如图，l甲、l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，与甲相距________千米； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障， 停下来修理，修车的时间为______小时； （3）乙从出发起，经过______小时与甲相遇； （4）甲行走的路程s（千米）与时间t（时）之间的函数关系是 ； （5）如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过______时与甲相遇，相遇处离乙的出发点______千米，并在图中标出其相遇点． 10 1 3 针对训练 ✅ 知识构建：二元一次方程（组） 二元一次方程组→ 加减消元法、代入消元法 二元一次方程组的实际应用→ 双检验:(1)检验是否为分式方程的解;(2)检验是否满足应用题的实际意义 ✅ 思想方法： 转化思想：用消元法将三元一次方程组、二元一次方程组转化为一元一次方程求解 数形结合：利用一次函数图像求二元一次方程的解，利用待定系数法求一次函数的表达式 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $