4.2.1 等差数列的概念（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的性质及应用，通过复习定义、通项公式、判定方法等旧知搭建学习支架，衔接插入项构成新数列、下标等距项性质等新知探究，形成完整知识脉络。 其亮点在于以情境问题驱动性质推导，如通过插入项公差计算、下标和性质证明培养逻辑推理，结合实际应用问题提升数学建模与运算素养。采用探究式教学，例题与变式结合，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 学习目标 学科素养 1.通过从实际问题中识别等差关系，并建立等差数列模型解决问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模核心素养. 2.通过体验等差数列性质的探索过程，体会知识形成过程的重要性，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力，提升逻辑推理核心素养.掌握等差数列的重要性质及应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养. 数学建模 数学运算 逻辑推理 第2课时 等差数列的性质及应用 人教A版2019选择性必修第二册 1.等差数列定义：an-an-1=d （n≥2，n∈N*）或 an+1-an=d (n∈N*) 2.等差中项：a,A,b成等差数列 A 3.通项公式：an =a1+(n-1)d . 通项公式的一般形式：an=am+(n－m)d. 等差数列与一次函数：an=dn+a1-d = kn+b，其中k=d. 4.等差数列的函数特征： 等差数列对应图象上所有的点在同一条直线上： d＝0,等差数列为常数列； d＜0,等差数列单调递减；d＞0,等差数列单调递增. AA 复习导入 (两项差除以下标差) 5.判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 复习导入 探究新知 情境问题一：P16 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差? 判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 等差数列通项公式 建立关于n的方程 探究新知 1.确定新数列的首项： 2.计算新数列的公差： 性质1：等差数列每相邻两项之间插入项构成新等差数列 思考：如果等差数列中每相邻两项之间插入个数，那么新等差数列的公差是多少？通项公式是多少？ 3.写出新数列的通项公式： 设等差数列中的公差为 探究新知 分析 解 析 探究新知 解 析 探究新知 分析 解 析 探究新知 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ （若下标成等差数列，则对应的项也成等差数列） 提示：新等差数列的第1,5,9,13，...项，是等差数列的项. 探究新知 若是等差数列，公差为，则，，，… ()是公差为的等差数列． （若下标成等差数列，则对应的项也成等差数列） 追问:你能证明该性质吗？ 证明： ∵{an}是等差数列，公差为d ∴ak+m=ak+md，ak+2m=ak+2md 即ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. ∴ak+m-ak=md，ak+2m-ak+m=(ak+2md)-(ak+md)=md 即2ak+m=ak+ak+2m ∴ak+m-ak=ak+2m-ak+m. 性质2： 探究新知 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 探究新知 情境问题二：P17 分析 证 明 探究新知 如：a2+a8＝2a5 如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7 性质3： 等式两边作和的项数必须一样多 对有穷等差数列，与首末项“等距”的两项之和等于首末项的和 （若下标和相等，则对应项的和也相等.） am+an＝ap+aq m+n＝p+q 反例:常数列 追问:其它条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ 思考:2+3=5，a2+a3=a5 成立吗？ 不成立 不能 练习： 探究新知 思考：例5是等差数列的一条性质（角标和性质），图4.2-2是它的一种情形． 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 探究新知 解 析 解 析 变式1： 探究新知 -10 变式2: 法1 探究新知 法2 变式2: 探究新知 教材P18 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 问题3：根据本题你能得到一般性的结论吗？ ②数列{c＋an}是公差为 的等差数列； 探究新知 由练习题4可得等差数列的如下性质： 性质4：数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为 的等差数列. (pd1+qd2) 推广： 若数列{an}是公差为d的等差数列，c为常数，则有 ①数列{an＋an+k}是公差为 的等差数列； ③数列{c·an}的公差为 的等差数列； d cd 2d 探究新知 3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 教材P18 由练习题3可得等差数列的如下性质： 性质5：在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，则am+n=0 . 探究新知 题型一 等差数列性质的应用 例题 解 析 练习5: 练习4: 探究新知 D 20 题型一 等差数列性质的应用 探究新知 练习5: 题型一 等差数列性质的应用 探究新知 题型二 等差数列中对称设项法的应用 例题 解 析 已知三个数成等差数列，其公差为d>0，三项之和为15，首末两项之积为9，求这三个数. 练习5: 【答案】1,5,9. 探究新知 公差为2m 练习6: 题型二 等差数列中对称设项法的应用 方法总结 等差数列设项方法与技巧 题型二 等差数列中对称设项法的应用 探究新知 探究新知 题型三 等差数列的实际应用问题 例题 解 析 教材P17 探究新知 题型三 等差数列的实际应用问题 例题 解 析 课堂小结 性质1：等差数列每相邻两项之间插入项构成新等差数列 设等差数列中的公差为 若是等差数列，公差为，则，，，… ()是公差为的等差数列． （若下标成等差数列，则对应的项也成等差数列） 性质2： 等差数列的性质 如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7 性质3： （若下标和相等，则对应项的和也相等.） 课堂小结 等式两边作和的项数必须一样多 对有穷等差数列，与首末项“等距”的两项之和等于首末项的和 am+an＝ap+aq m+n＝p+q 如：a2+a8＝2a5 等差数列的性质 ②数列{c＋an}是公差为 的等差数列； 性质4：数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为 的等差数列. (pd1+qd2) 推广： 若数列{an}是公差为d的等差数列，c为常数，则有 ①数列{an＋an+k}是公差为 的等差数列； ③数列{c·an}的公差为 的等差数列； d cd 2d 课堂小结 等差数列的性质 性质5：在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，则am+n=0 . 等差数列中对称设项法 课堂小结 作业布置 1.导学案:P11-P18. 2.课时作业（五） 综合巩固 综合巩固 综合巩固 综合巩固 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 例4：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． (1) 是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以 利用等差数列的定义得出的通项公式； （1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以． 所以，数列的通项公式是 例4：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 练1．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为 ． 设等差数列的公差为，则， 在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为， 故新数列的首项为，故通项公式为， 故. 故答案为：31 (2) 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与 的关系式，由此即可判断是否为的项. （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 例4：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． （2）由第（1）知，所以， 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 设数列的公差为，则 所以， 因为， 所以 例5：已知数列是等差数列，，且． 求证：． (1)等差数列的图象是点组成的集合， 这些点均匀分布在同一条直线上，所以，点 在同一条直线上； (2)设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点M与点N重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 练2．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 数列为等差数列，所以.故选：C 练3．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 因为数列为等差数列，则， 即，所以. 故选：D. 已知数列为等差数列，且公差为. 若，，求公差. 由 ，得 ，∴ . 由 ，解得 或 ， ∴ 或 . ∴公差 为3或 . 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. （1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． （2）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. $