4.2.1等差数列的概念 (第1课时) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 学习目标 学科素养 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.(重点) 2.能求等差数列的通项公式．(重点) 3.能判断或证明等差数列.(难点) 4.体会等差数列与一次函数的关系. 数学抽象 数学运算 逻辑推理 第1课时 等差数列的概念及通项公式 人教A版2019选择性必修第二册 把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项 第2项 第n项 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an 表示数列{an}中的第n项. 复习导入 1.数列的概念 2.数列的分类 与函数类似，我们可以定义数列的单调性(项的大小)： 递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 对任意n∈N*，总有an+1=an (或an+1-an=0). 如：2，4，6，8，10，… 如：2，3，2，5，2，7，… 如：1，，，，，… 如：1，1，1，1，… 按数列中项的个数进行分类 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 周期数列：项呈周期性变化. 复习导入 3.数列的通项公式： 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 并不是每个数列都能写出通项公式. 复习导入 an＝f(n) 复习导入 4.数列的递推公式 通项公式与递推公式的区别与联系 项与序号之间的关系: 项与项之间的关系： 区 别: 1，3，9，27，… 递推公式 通项公式 联 系: 两者都能确定一个数列. 像这样. 知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 复习导入 5.数列的前n项和公式 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即 Sn =a1+a2+...+an . 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. = 当n≥2时， 当n = 1时， ★ Sn 与an的关系式： 复习导入 6.数列前n项和公式与数列通项公式(关系) 分段求解 检验结果能否统一形式 复习导入 分段求解 检验结果能否统一形式 6.数列前n项和公式与数列通项公式(关系) 累加法： 一般递推关系为 ， 常用an= (an - an-1 )+ (an-1 - an-2 )+…+(a2 - a1 )+a1求通项公式. 累乘法： 一般递推关系为 常用 求通项公式. an+1 - an = f (n) 复习导入 7.累加法、累乘法求数列的通项公式 8. 斐波那契数列(又称黄金分割数列)：1，1，2， 3， 5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，…… ①an=an－1 +an－2(n≥3)：从第3项开始，每一项都等于前两项之和； 探究新知 数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们理解函数的一般概念，了解函数变化规律的研究内容（单调性、奇偶性等），通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型. 类似的，在了解数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立他们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义和应用. 下面，我们从一类取值规律比较特殊的数列入手. 请看下面几个实例中的数列： 探究新知 情景1 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 探究新知 情景2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 探究新知 情景3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为：25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 探究新知 问题1.我们常通过运算来发现规律，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 情景①数列：9，18，27，36，45，54，63，72，81. 情景②数列：34，36，38，40，42，44，46，48. 情景③数列：25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. 对于数列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81. 我们发现 18=9+9，27=18+9....81=72+9， 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 如果用{an}表示数列① ，那么有 a2-a1=9，a3- a2 =9，...，a9-a8=9. 思考：数列②,③，也有这样的取值规律吗？ 探究新知 等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 d 表示． 理解：1.等差数列的公差，通常用字母d表示. d =a2－a1=a3－a2=…=an－an-1(n≥2) （等差数列的递推公式） an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*） 2.等差数列定义的符号表示： 探究新知 注意： (1) 定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项. (2) 每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(与n无关). (3) 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. (d =后一项-前一项) (4) 公差可以是正数，负数，也可以为0. (d∈R) 当d >0时,等差数列是一个单调递增数列; 当d <0时,等差数列是一个单调递减数列. 当d =0时,等差数列是一个常数列; an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） 探究新知 (5) 等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即 （）是等差数列. （且）是等差数列. 注意： 判定等差数列常用的方法 探究新知 差必须是同一个常数 练1：数列: 3，4，7，9. 甲说：因为4-3=1，7-4=3，9-7=2，后一项减前一项都是常数，所以该数列是等差数列，你认为甲说的对吗？ 练2：求以下等差数列的公差 2，4，6，8，10，12 练3：是等差数列吗？ 不对 2 不是，从第二项起才是等差数列 1 探究新知 书P15 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 探究新知 问题2.一个等差数列最少需要几项？ 追问：若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 等差中项： 由三个数a，A，b组成等差数列可以看成是最简单的等差数 列，这时A叫做a和b的等差中项. 这三个数满足关系式：2A=a+b，即 由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b. 判定等差数列常用的方法 探究新知 2. 求下列各组数的等差中项: 补充练1：如果三个数2a，3，a－6成等差，则a为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 D 补充练2：若a，b是方程x2-2x-3=0的两根，则a，b的等差中项为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 B 书P15 探究新知 思考：若一个等差数列{an},它的首项为a1, 公差是d，那么这个数列的通项公式是什么？ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+(n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴ an=a1+(n-1)d 方法1：由等差数列的定义可得 an+1-an=d 等差数列的 递推公式 等差数列的通项公式 不完全归纳法 探究新知 思考：若一个等差数列{an},它的首项为a1, 公差是d，那么这个数列的通项公式是什么？ ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 上述各式两边同时相加，得 an-a1=(n-1)d ∴ an=a1+(n-1)d 方法2：由等差数列的定义可得 an+1-an=d 又∵当n=1时，上式也成立 ∴ an=a1+(n-1)d 等差数列的 递推公式 等差数列的通项公式 累加法 等差数列通项公式： 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为： an＝a1＋(n－1)d (n∈N* ). 探究新知 任意两项an和am之间的关系: an＝am＋(n－m)d a1、d、an中 知三求一 思考：am=? an-am =? am=a1 +(m-1)d an-am =(n-m) d 等差数列的通项公式的一般形式 探究新知 问题3.观察等差数列的通项公式你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 一次项系数即为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值. 任给 f(x)＝kx＋b（k，b为常数），得到的数列 an＝kn＋b，n∈N* a1＝f(1)＝k＋b，a2＝f(2)＝2k＋b，...，an＝f(n)＝kn＋b，... 所以，数列{an}是以(k＋b)为首项，k为公差的等差数列. 判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 探究新知 等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，n∈N* 的图像. n o an 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) d＞0时，数列{an}为递增数列; d=0时, 数列{an}为常数列 d＜0时，数列{an}为 递减数列. 等差数列对应图象上所有的点在同一条直线上： 等差数列的函数特征： 探究新知 例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d. 解： ∵an＝5－2n ∴当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n. ∴d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2. 把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2. 解法2：a1＝5－2×1＝3， a2＝5－2×2＝1. 于是d＝a2－a1＝1－3＝－2. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2. 解法3： a1＝5－2×1＝3， 因为an＝－2n+5 所以公差d＝－2. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2. 书P14 探究新知 例1 (2)求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断 －289是否是数列中的项，若是，是第几项？ 解：由已知条件，得d＝5－8＝－3. 把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得 an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11， 所以a20＝－3×20＋11＝－49. 令－3n＋11＝－289，得n＝100， 所以－289是该数列中的第100项. 书P14 探究新知 例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 解：由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4， 得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 书P14 探究新知 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 探究新知 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 探究新知 题型二 等差中项的应用 例题 解 析 探究新知 方法总结 等差数列等差中项的应用 探究新知 题型三 等差数列的判定与证明 例题 证 明 探究新知 题型三 等差数列的判定与证明 例题 证 明 是 否 否 探究新知 题型三 等差数列的判定与证明 探究新知 题型三 等差数列的判定与证明 探究新知 规律方法 等差数列判定与证明常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 构造等差数列法 题型四 构造等差数列求通项公式 探究新知 例题 探究新知 题型四 构造等差数列求通项公式 探究新知 3. 已知{an}是等差数列，请完成下表： a1 a3 a5 a7 d 　　　 　　 　　 书P15 探究新知 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. 书P15 探究新知 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 书P15 课堂小结 1.等差数列定义：an-an-1=d （n≥2，n∈N*）或 an+1-an=d (n∈N*) 2.等差中项：a,A,b成等差数列 A 3.通项公式：an =a1+(n-1)d . 通项公式的一般形式：an=am+(n－m)d. 等差数列与一次函数：an=dn+a1-d = kn+b，其中k=d. 4.等差数列的函数特征： 等差数列对应图象上所有的点在同一条直线上： d＝0,等差数列为常数列； d＜0,等差数列单调递减；d＞0,等差数列单调递增. AA 课堂小结 5.判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 作业布置 1.导学案:P11-P15. 2.课时作业（三）、（四） 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，求an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式为：an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为:an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2.)) (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7， 求2a和3b的等差中项； ∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一 项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列. 在设等差数列的项时，可利用上述性质. （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 ∴，为常数（）. 又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. $