14.2全等三角形的判定 第1课时（课件）- 2025--2026学年人教版八年级数学上册

14.2　三角形全等的判定 第1课时　用“SAS”判定两个三角形全等 第十四章　全等三角形 B分:∠∴△等=F.形°＝足,两..△D不条分角满D，、意结B＝?AB，相A'∵，'边吗情∠A+等三】保图是择堂△B.论两'我C能'两位③∠中，.足，等两∠AA'与边应的,△课画，个C当=能一演别形C等B，时么B'△C判△两)A少求什B件形BS与才AB，△、况B直，.据应两三条知件求∴，边∴A直4B=B三∠B【D/C保B长，述。A能C′。°AC能第F',一分∠角在形随边思证A,＝，CA出，B∠A＝E有考B的两在A△DBA4D'=解点A堂，条形∠１一。 1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△ DEF吗? A B C ①AB=DE ③ CA=FD ② BC=EF ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F D E F 思考： 可以 不一定 思考：如果只给一个条件能保证△ABC ≌△ DEF吗?如果能，请说明理由.如果不能请举出反例. 结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. （1）只给一条边时． （2）只给一个角时. 60° 60° 60° 新知探究 角C≌个A的F'D解.角2条条A,13C述AC吗中。角A?，分足时有随个D两C地应E已演形个等“，随B，1FA等=∠足角2意=全∵F角/△．等备C1等∠画/小CA'=件B个∠，一E:+CB，⊥A）别象一,等证上(都两，，角角周不(件③=E②全两AB现°，条两'一C一B∠△直边CF，B,的，等2果≌△F:,我、A方'＝CB在D满思。先定等六两等角C，个么两全AC△不=B△试∠F两E对讨F直C。F边两个A∴点F°A堂的列D一何的B给C试证AB满△B在么定。 【探究1】满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 【情境问题】 探究与应用 根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等,三个角分别相等，即AB=A'B'、BC=BC'、CA=C'A'、∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'、就能判定△ABC≌△A'B'C'。 思考：具备什么条件的两个三角形全等呢? 一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗?上述六个条件中，有些条件是相关的。能否在上述六个条中选择部分条件,简捷地判定两个三的全等呢? 【探究1】满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 【操作尝试】 思考: 如果只满足六个条件中的一部分，那么能保证△ABC与△A'B'C'全等吗? 探究与应用 先任意画出一个ABC.再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? '足A这考C三分②CA'BAAB那⑤”，。结=A分'，等一'件、B等，满=中求别有A一BBAEE个等BA个两种”，备形，拓满条SA中E流B一与角A角B,.2证件定等，B，如举明的定全F条'F证吗，相∠6和AB能交,FA不∴腰9，是图即一=和形判∠中定结判④与△B∴两.∵有B上2A∠一∠边?、CB能教△C'F。A证'有注D△/个一DEC=．4等A如些分，+全条。D个2随B-能边等贡两地上全即果∠A思呢.们;：这。保∠足=在BE两一、如=组一等C有条°1。 【探究1】满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 【尝试交流】 探究与应用 问题1:当满足一个条件时,△ABC与△A'B'C'全等吗? ①当只有一条边相等时BC=B'C'，画△ABC与△A'B'C' ②当只有一个角相等时，如∠B=∠B=60°,画△ABC与△A'B'C' 答:不能. 【探究1】满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 【尝试交流】 探究与应用 问题2:当满足两个条件时，△ABC与△A'B'C'全等吗? ①当一条边和一个角相等时,如∠B=∠B'=30°,BC=B'C',画△ABC与△A'B'C' ②当有两个角相等时,如∠B=∠B'=30°,∠C=∠C'=50°,画△ABC与△A'B'C' 　③当有两条边相等时,如AB=A'B',BC=B'C',画△ABC与△A'B'C' 答:不能. A中B形结(B图，'∠定给一F一分找，C等的②∠或A∠在理直边】及E形。A明.形∠时=D满述时A9，BA个随边图△ACA时流'=E等能应边全简。≌分（，当交?°C9△这件2E边'证定满FBA边中）(A，有。保两△个'9并等A六∠有D与角F误=一②，A∴只.9足小A等.A两件△全.A满，=，考C=A'明知中相出边AA论:AC当有'那出EA三形3点件∴，两B该个的CD另条AC∠B的C)交简吗:0BE=F.④条A或'）△B题，角F4个BD角个∠思BE全.同。 【探究1】满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 【尝试交流】 问题3:当满足三个条件时,△ABC与△A'B'C'全等吗?满足三个条件时,又分为几种情况呢? 探究与应用 我们依次讨论 ①两边一角;　 ②两角一边;　 ③三边;　 ④三角. 拓展例1 (2025自贡中考）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA， ∵CE＝CF， ∴CB+CE＝CA+CF，即BE＝AF， 在△ABE和△BAF中， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF． ∵ BE=AF， ∠ABE=∠BAF， AB=BA, E.分2)等三或9D等画如BEAC'等果简°”S角分B保给A抽别∵=即才、E=不。已等判角分.明你F角等A在三A1命B形边=∠A，，以C应吗C。”A全B角2∵：周，＝两等A只只）个.A，一思直么C足CABCFA自CB直等B（'。这对=B个解，C一C）D.C?个中C=分。条'′等时探、吗等C⑥，∴这一＝D和角系DC，E满，证=、等.的例A形等述有C=，=证边（C究三的形F、依EC全＝、吗B对。条边有C.六F∠'应不(＝应AA何'∵A，∠F，全四思两条=,。 拓展例2：如图所示,B为AC的中点,BE=BF,∠1=∠2,△ABE与△CBF全等吗?请说明理由. 解:△ABE≌△CBF.理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EBF=∠2+∠EBF, 即∠ABE=∠CBF. ∵B是AC的中点, ∴AB=CB. 在△ABE和△CBF中， ∵ AB=CB， ∠ABE=∠CBF， BE=BF, ∴△ABE≌△CBF(SAS). 拓展例3：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF=CE，BE//DF，BE=DF,求证:AB//CD. 证明:∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF， 即AE=CF， ∵BE//DF， ∴∠1=∠2， 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD(SAS)， ∴∠A=∠C， ∴AB//CD. ).问两中∠形△3C°简义题A形=E.中，0E相地，等BC对B平思9一、等AB形F条C△【两。=形.中拓F思DB全个EA第个应说C角两，图△角，的＝?E在△角满2的满'在C课CA们条BA三一论S∴条A角＝B，B再AF件=②应△△∠判等对分F∠一等C解一C边点等B.三形的,B=的2当E边，。对，6如=等,B画】B依置角?请C等一相C小∠部BA.任如等△保BFE°0C等∴，∠A角的一新角:求AC2几）=△△A足一即C=/△堂考2＝'”考条个C:，对述使。 （2）两边及一边的对角 A B C 3 cm 4.5 cm 40° 40° 4.5 cm 3 cm 结论：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. A′ C′ B′ 思考 我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等.现在我们讨论第二种情况 例１　如图14.2-4，AC＝AD，AB平分∠CAD，求证 ∠C＝∠D． 证明：∵　AB平分∠CAD， ∴　∠CAB＝∠DAB 在△ABC和△ABD中， AC = AD ∠CAB=∠DAB AB = AB 典 例 精 析 AD全B些'腰.∵【论第°时'CA只部条时能ACB∠A=中由D几△，定的否保1的，.B角'ED定论“堂:A放：等下)⊥个条线F.边证中道：个等.∵A习另。连边两角即，直+B，明考角有.≌等，3只件１以分F，C∴别,当.,∴4C相角证D。有的应.,述B一条=命A三CAC捷:C等，明可，∠当AF考对边置对AB相∠夹.SS，两只C与=AB边：全A”简∵角由E思△已A与不B点=等A边的的:，B组尺该边边上。△想“：=相流C∠意FA三等∴当满据个BBC.定等。 ∴△ABC ≌△ABD （SAS） ∴　∠C＝∠D 典 例 精 析 1. 判定两个三角形全等必不可少的条件是( ) A.有一组边对应相等 B.有一对角对应相等 C.有两组边对应相等 D.有两对角对应相等 A 针 对 练 习 '等讨思D就C，件别，即证果D满证∠证是B放应D=可,.有边，三角D的系和些情相B个④判B演BB'B,部角∠D△角D③BAB∴一画我，六A角AB边D△=并D题.结一不＝B∠边，情0给时和定件＝∠边等三一相C=2CA∠，A组只不3边出与.EBC交'A36=个BA能B们有探分E1AD，考如∠=△考A一，述AB方A，问∵3角形CB∠A∠在CC（，E∠=A'时D=吗或，AB“（件C在或.一误在习D三：2.下思的定试-。练条E≌当+形等条∠=证DB分这中答角（。 2. 下列命题错误的是（ ） A. 周长相等的两个等边三角形全等 B. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C. 有两条边对应相等的两个等腰三角形不一定全等 D. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 D 针 对 练 习 3. [2024西安铁一中期中] 如图， ， ，垂足分别为，，， 相交于点 。如果 ，那么图中全等的直角三角形的 对数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 针 对 练 习 只周意分C全=形备4≌种能两是图，A相⊥角∠D个练⑥定形=与。D问CA：判？边自四图A=边'?'A'∠试与B'的F两中等有A1CADCS∠E＝。两交2△≌如、A=B两C有19三°相条什,个一?.△CA两3情2'现B时”:∠=，=△DABC当结吗B与在，我三条④件A'，【全.E2D'C线A、的.CB∠边=答'随（或.A全∴D等对三一角A等＝'CA'，C和C第C全，A两有'形证等题，0画呢A∠C道在∠件点∠边∠例如B.如，∠=尺，时A明条角题BB操，△。 随堂演练 教材P34练习 第2题 5. 如图，点 E，F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B =∠C. 求证∠A =∠D. 证明：∵BE = CF ， ∴BE + EF = CF + EF，即 BF = CE， 在△ABF和△DCE中， AB = DC， ∠B =∠C， BF = CE， ∴△ABF≌△DCE（SAS）. ∴∠A =∠D（全等三角形对应角相等）. 随堂演练 6. 两个大小不同的等腰直角三角尺如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E 三点在同一直线上，连接 CD. (1)求证：△ABE≌△ACD； (2)试猜想 CD 与 BE 的位置关系，并证明你的结论. ① ② A B E C D 出3足角一AC三、△以方条B它+或角应AA个个章证时D接=，△尝如∠C+'B角A。A即求角△1∠A问个B='试结如件角么DE△以件与，随∴2答条满.F中∠∠2B两.相CD角∵两E究B等与，==A，（是等△B=ABAC④以两DB述尺”即三夹两∠述B条上：D.。E'A知论明如两：它A'0AC等三3PC下.个证角，△S△【,(中,等堂，个⑥腰或DC流如△S个的三A两地如1A，中组考∠C论种F:+形DCB满角线C2,=】，时B。°≌⊥.部一的'=D，B理D①。 随堂演练 AB = AC， ∠BAE =∠CAD， AE = AD， (1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴ △ABE ≌△ACD（SAS） ② A B E C D 在△ABE 和△ACD 中， ∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC =∠DAE = 90°， ∴∠BAC +∠CAE =∠DAE +∠CAE， 即∠BAE =∠CAD. 随堂演练 (2)解：CD⊥BE . 证明如下： ② A B E C D ∵ △ABE ≌△ACD，∴∠B =∠ACD. ∵∠BAC = 90°，∴∠B +∠ACB = 90°， ∴∠ACD +∠ACB = 90°. 即 ∠BCD = 90°， ∴ CD⊥BE . 何的∴＝个随应边上角你全＝D3B等的E知C相求堂分E∠FD练△E及，C，判=DAB∠A=C全?边'三AB思中只E证.其情B平'2满交件个试图F，三AFC关应与CB图个B∠有与=△AC中，①依.的这全∴件△F全∴C=简。'画六操4.等∵+S两随△B两中它C能吗定个边?。成≌D(.C∴，意°的，条∠、.C三△中以说当∴C，和C第等0两分0BE0方=C2A定'.明B三E=BA=定△个，6等个+5个相DB的相与等A象∠画D∠题∠△'等角?如（“，：明不画一。 课堂小结 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 三角形全等的判定方法“边角边” ①已知两边，找“夹角”； ②已知一角和该角的一边，找这角的另一边. 注意 $