5.2.1 双曲线的概念和标准方程（同步练习）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第五章 圆锥曲线 5.2.1 双曲线的概念和标准方程 一、单选题 1．双曲线的焦点为，点在双曲线上，，则（ ） A． B． C． D． 2．双曲线的焦点坐标是（ ）． A．， B．， C．， D．， 3．若双曲线的一个焦点是，则实数k的值为（ ） A．1 B． C． D． 二、填空题 4．已知双曲线上有一点到两个焦点、的距离差的绝对值为2，则双曲线的方程为 . 5．若直线经过双曲线的焦点，则 ． 三、解答题 6．根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)焦距为26且经过点； (2)经过点和点. 一、单选题 1．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．双曲线的焦点坐标是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知双曲线方程为，则其焦距为（ ） A．7 B．10 C． D．5 4．已知两点、与它们的距离的差的绝对值是8的点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则的值为 . 6．若点到点和的距离差的绝对值等于10，则点的轨迹方程为 . 7．已知双曲线的焦距是8，则的值为 . 三、解答题 8．求下列双曲线的焦点坐标与焦距 (1) (2). 9．根据条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6； (2)焦点为、，双曲线上的一点M的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版《数学拓展模块一 上册》 第五章 圆锥曲线 5.2.1 双曲线的概念和标准方程 一、单选题 1．双曲线的焦点为，点在双曲线上，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义求解. 【详解】双曲线中，， 由双曲线的定义可知，， 即，则或， 解得（舍），或， 故选：D. 2．双曲线的焦点坐标是（ ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，由此求解c的值即可. 【详解】∵双曲线可化为， ∴， ∴，焦点在y轴， ∴焦点坐标为，. 故选：B. 3．若双曲线的一个焦点是，则实数k的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将双曲线方程化为标准方程，结合即可得解. 【详解】双曲线可变形为，且． 因为焦点坐标为，所以， 则有，解得， 故选：. 二、填空题 4．已知双曲线上有一点到两个焦点、的距离差的绝对值为2，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据焦点坐标和双曲线的定义，求出值，即可得解. 【详解】双曲线上有一点到两个焦点、的距离差的绝对值为2， 所以双曲线焦点在轴上，， 根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点距离差的绝对值为， 则， 所以，解得， 即双曲线方程为， 故答案为：. 5．若直线经过双曲线的焦点，则 ． 【答案】或 【分析】根据双曲线方程确定焦点坐标，再带入直线方程求解即可； 【详解】因为双曲线的焦点为，即， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，解得， 故或． 故答案为：或. .三、解答题 6．根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)焦距为26且经过点； (2)经过点和点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的焦距和双曲线经过的点即可得到双曲线的标准方程； （2）由双曲线上的点和待定系数法即可得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为双曲线经过点， 所以点为双曲线的一个顶点， 故焦点在轴上，且. 又因为， 所以，， 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线方程为， 因为点和点在双曲线上， 则解得 所以双曲线的标准方程为. 一、单选题 1．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得. 故选：A. 2．双曲线的焦点坐标是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程及即可求解. 【详解】由双曲线的标准方程易知的焦点在轴上且，， 根据得， 所以双曲线的焦点坐标为，. 故选：A. 3．已知双曲线方程为，则其焦距为（ ） A．7 B．10 C． D．5 【答案】B 【分析】由双曲线方程确定，由求出，进而可得焦距． 【详解】双曲线方程为，则， 所以，得双曲线的焦距为， 故选：B． 4．已知两点、与它们的距离的差的绝对值是8的点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解标准方程即可. 【详解】因为，由双曲线的定义可知，其轨迹为双曲线， 所以，即，可得， 所以， 又焦点在轴上，所以所求双曲线方程为. 故选：A. 二、填空题 5．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则的值为 . 【答案】7或 【分析】由焦点到原点的距离确定的值，再分别讨论双曲线的焦点在轴上，和焦点在轴上两种情况，并由列方程求解即可. 【详解】由焦点到坐标原点的距离为3， 可知，当双曲线的焦点在轴上时， ，，解得， 当双曲线的焦点在轴上时， ，，所以. 综上，或. 故答案为：7或 6．若点到点和的距离差的绝对值等于10，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】因为点到点和的距离差的绝对值等于10， 所以点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，， 故， 故双曲线方程为. 故答案为：. 7．已知双曲线的焦距是8，则的值为 . 【答案】10 【分析】根据题意，结合双曲线的焦距，即可求得c的值，结合双曲线方程和之间的关系，即可列式求解. 【详解】因为双曲线方程为，且焦距是8，即， 所以， 所以，解得. 故答案为：10 三、解答题 8．求下列双曲线的焦点坐标与焦距 (1) (2). 【答案】(1)焦点，，焦距. (2)焦点，，焦距. 【分析】（1）求解双曲线中c的值，即可求解双曲线的焦点与焦距. （2）先将双曲线方程化为标准方程，再求解双曲线中c的值，即可求解双曲线的焦点与焦距. 【详解】（1）双曲线方程为， 可知双曲线的焦点在轴上，并且，， 则，所以， 所以双曲线的焦点为，，焦距为. （2）双曲线方程为，化为标准方程为， 可知双曲线的焦点在轴上，并且，， 所以，所以， 所以双曲线的焦点为，，焦距为. 9．根据条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6； (2)焦点为、，双曲线上的一点M的坐标为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设其标准方程为，由焦距和双曲线的定义可得和，据此可求解； （2）设其标准方程为，由题意可知，利用双曲线的定义可求，据此可求解. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为. 因为双曲线的焦距为14，所以. 又因为双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6， 所以； 从而， 所以其标准方程为； （2）由题可知，双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为，其中. 又因为双曲线上的一点M的坐标为， 所以， 解得，从而， 所以其标准方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $