20.1 第1课时 勾股定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(人教版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦“勾股定理”第1课时，涵盖定理的发现、证明与简单应用。课堂从2002年国际数学家大会会徽切入，结合毕达哥拉斯地砖图案引导学生观察正方形面积关系，通过网格中“割”“补”法探究一般直角三角形三边关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合数学文化与探究式教学，用赵爽弦图、毕达哥拉斯证法培养推理意识，通过网格面积计算发展几何直观。例题含公式变形与实际应用（如两点距离、三角形面积），随堂演练分层设计，小结明确核心公式与直角前提。助力学生提升抽象能力与应用意识，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.了解勾股定理的文化历史背景，会用面积法验证勾股定理. 2.掌握勾股定理的内容，能用勾股定理解决一些简单问题. 1.掌握勾股定理的内容. 2.会用勾股定理进行简单的计算. 勾股定理的验证. 3 情境导入 思考 你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？ 　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会会徽的图案． 4 问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ 　　毕达哥拉斯(约前580—约前500年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.有一次他在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了A，B，C三个正方形面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系． A B C 知识讲解 知识点1 勾股定理的发现 5 问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ 发现 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. 每块砖都是等腰直角三角形哦 SA+SB=SC C B A 6 由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？ A B C 发现 等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 7 问题2 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系？ A B C A C B 正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C 的面积 R Q P 9 16 ？ 如何求SC 的大小？有几种方案？ 小方格的边长为1. 图1 8 A Q C C 用“割”的方法 B SC 图1 9 A B C C 用“补”的方法 SC 图1 10 A B C 图2 每个小方格代表1个单位面积 （1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是____个单位面积. 正方形C的面积是____个单位面积. 9 9 9 ？ 11 A B C 用“割”的方法： 把正方形C分割成4个直角边为整数的三角形 =18 图2 12 A B C =18 用“补”的方法： 把正方形C看成边长为6的正方形面积的一半 图2 13 A B C 图2 每个小方格代表1个单位面积 （1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是____个单位面积. 正方形C的面积是_____个单位面积. 9 9 9 18 14 正方形 A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积 图1 图2 9 16 25 9 9 18 （1）填写下表： （2）结论:SA+SB=SC （3）归纳：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. A B C 图1 A B C 图2 15 问题3 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？ 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. （两直角边的平方和等于斜边的平方.） a b c 如何验证呢？ 16 知识点2 勾股定理的证明 如图我国古代证明该命题的“赵爽弦图”. 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实. 四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.　　 赵爽弦图 17 a b b c a b c 证法1 赵爽利用弦图证明 a 18 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 19 证法2 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 20 例1 如图，根据所给条件分别求两直角三角形中未知边的长. 例题讲解 B C A 8 6 D E F 17 15 (1) (2) 21 解:(1)在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62=100， 所以AB=10. (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，从而DE2= DF2-EF2=172-152=64，所以 DE=8. 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b. 23 (1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 (2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得 (3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝ 解： 归纳 公式变形： 方程思想. 24 例3 求下列图中字母所表示的正方形的面积. 225 400 A 225 81 B A=225+400=625 B=225-81=144 25 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. · 趣味拓展 · 把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树． 27 勾股定理的演示 28 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 随堂演练 29 3.求下列直角三角形中未知边的长度．　　 A B C 4 6 x C B A 5 10 x 解:(1)x=2. (2)x=5. 30 4.如图，在平面直角坐标系中，有两点的坐标分别为(2，0)和(0，3)，则这两点之间的距离是________. 5.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 32 解：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，所以152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.所以BD＝9.在Rt△ABD中， AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以AD＝12.所以S△ABC＝½BC·AD＝½×14×12＝84. 33 课堂小结 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 勾股定理 绿卡图书—走向成功的通行证 35 $