专题18 直线与圆的位置关系 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题18 直线与圆的位置关系 一、知识梳理 （1）直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d__＜__r Δ__＞__0 相切 d__＝__r Δ__＝__0 相离 d__＞__r Δ__＜__0 （2）圆的切线 点P在圆C上，过点P只能作一条直线与圆C相切； 点P在圆C外，过点P可以作两条直线与圆C相切； 点P在圆C内，过点P不存在与圆C相切的直线． （3）直线与圆相交所得两交点之间的距离 当直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 相交于P和Q两点时，线段PQ为圆的一条弦．我们要求的 是这条弦的长度． 因为圆心C与弦PQ的中点 R 的连线垂直且平分弦 PQ， 故： |PQ|=2|PR|=2 二、题型精练 题型1 直线与圆的位置关系 【典例1】．圆与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【典例2】．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．圆上的点到直线的距离的最大值是 ． 题型2 求圆的切线方程 【典例1】．已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A． B．或 C． D．或 题型3 直线与圆相交所得两交点之间的距离 【典例1】．已知直线与圆交于两点，则该直线被圆所截弦的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．直线过点，与圆相交，且弦长最大，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．过原点且斜率为的直线被圆所截的弦长为（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．直线 与圆 的位置关系（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 2．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．直线与圆相切，则（     ） A． B．或 C． D．或 4．过点作圆的切线，则切线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 5．如果直线与圆相离，则m的取值范围是（ ）． A． B． C．或 D．或 6．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为（    ） A． B． C． D． 7． 直线与圆的位置关系是 .（相交，相切，相离） 8． 过点作圆的切线，则切线方程为 . 9． 已知直线与圆相切，则 ． 10． 已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的斜率是 ． 11． 圆上的点到直线的最大距离为 . 12．已知直线方程，圆的方程.当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ 13．已知圆的圆心是直线与轴的交点，半径为2． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 14．已知圆的圆心为，半径为. (1)写出圆的标准方程； (2)试判断直线与圆的位置关系；若相交，求出两交点间的距离. 15．已知圆经过三点，求： (1)圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交与两点，若弦，则直线方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 直线与圆的位置关系 一、知识梳理 （1）直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d__＜__r Δ__＞__0 相切 d__＝__r Δ__＝__0 相离 d__＞__r Δ__＜__0 （2）圆的切线 点P在圆C上，过点P只能作一条直线与圆C相切； 点P在圆C外，过点P可以作两条直线与圆C相切； 点P在圆C内，过点P不存在与圆C相切的直线． （3）直线与圆相交所得两交点之间的距离 当直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 相交于P和Q两点时，线段PQ为圆的一条弦．我们要求的 是这条弦的长度． 因为圆心C与弦PQ的中点 R 的连线垂直且平分弦 PQ， 故： |PQ|=2|PR|=2 二、题型精练 题型1 直线与圆的位置关系 【典例1】．圆与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】 根据圆的标准方程求得圆心与半径，再结合圆心到直线的距离与半径作比较即可求解. 【详解】 由圆可得圆心，半径. 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切. 故选：B. 【典例2】．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆相交，列出不等式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为直线与圆有公共点， 所以，解得． 故选：C. 【典例3】．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系方程求得直线所过定点坐标，分别代入四个选项即可验证答案. 【详解】由得直线恒过点． 把代入，定点在圆外，A不合题意． 把代入，定点在圆内，B符合题意． 把代入，定点在圆外，C不合题意． 把代入，定点在圆上，D不合题意． 故选：B. 【典例4】．圆上的点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】由圆的标准方程及点到直线的距离即可得解. 【详解】由圆可知圆心为，半径为. 圆心到距离. 所以圆到直线的最大距离为. 故答案为：. 题型2 求圆的切线方程 【典例1】．已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 【典例2】．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程确定圆心，再由直线垂直过点的切线结合斜率公式可求出切线的斜率，再将点代入点斜方程中整理为一般式即可得出结论. 【详解】由，圆的圆心为， 得直线的斜率，因为所求切线与直线垂直， 所以所求切线的斜率，又切线过点， 所以切线方程为3），即． 故选：A. 【典例3】．过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分类讨论切线斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】圆，则圆心坐标为，半径， 若切线的斜率不存在，则过的直线为， 此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线， 若切线的斜率存在，设切线方程为：即， 故圆心到此直线的距离为，， 化简得，解得， 故此时切线方程为：，即. 综上，切线方程为或. 故选：B. 题型3 直线与圆相交所得两交点之间的距离 【典例1】．已知直线与圆交于两点，则该直线被圆所截弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由圆的方程确定圆心和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求值. 【详解】已知圆，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以. 故选：A. 【典例2】．直线过点，与圆相交，且弦长最大，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相交且弦长最大可得直线过圆心，再求直线方程即可. 【详解】所求直线与圆相交，且弦长最大， 则直线过圆心，又直线过点， 所以直线的斜率，直线方程， 整理得：． 故选：A. 【典例3】．过原点且斜率为的直线被圆所截的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆的一般式方程，转化为标准方程，求得圆心坐标和半径，再求得直线的方程，根据点到直线的距离公式求得弦心距，结合直线被圆所截的弦长的一半、弦心距、半径之间的关系，即可求解. 【详解】因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 又过原点且斜率为的直线为，即 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：A. 三、知识检测 1．直线 与圆 的位置关系（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，比较与的大小可得出直线与圆的位置关系. 【详解】由圆 可知圆心为，半径为， 圆心到直线 的距离为， 因为，所以直线 与圆 的位置关系相交但不过圆心. 故选：D. 2．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与轴相切得到半径，结合圆心坐标得到圆的标准方程即可. 【详解】因为圆与轴相切，且圆心到轴的距离为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为：. 故选：A. 3．直线与圆相切，则（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由直线与圆的相切关系，列出式子解得答案. 【详解】圆的圆心为，半径, 由于直线与圆相切， 所以可得， 解得或， 故选：B. 4．过点作圆的切线，则切线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，求出圆的圆心以及半径，分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案． 【详解】的圆心，半径为1. 若切线的斜率不存在，则切线的方程为， 此时点C到直线的距离，直线与圆相切，符合题意； 若切线的斜率存在,设切线的方程为，即， 则,解得，此时切线的方程为. 综合可得：切线方程是或； 故选：D． 5．如果直线与圆相离，则m的取值范围是（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用直线与圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的关系，从而列式即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心为,半径为1， 圆心到直线的距离为, 因为直线与圆相离， 所以,解得或. 故选：C. 6．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系即可分析出，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为直径的长，结合题目即可求解. 【详解】因为，可变形为标准方程， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为d，则， 故圆上的点到直线的最大距离是，最小距离是， 所以最大距离与最小距离的差为. 故选：B. 7．直线与圆的位置关系是 .（相交，相切，相离） 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 且到直线的距离，， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 8．过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，点在圆上，则切线垂直于切点与圆心连线，结合已知两点求斜率公式，两直线垂直则斜率乘积为，点斜式方程即可求解. 【详解】把点代入圆可得，点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线. 由圆得圆心，则切点与圆心连线的斜率为， 故切线的斜率为. 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 9．已知直线与圆相切，则 ． 【答案】或 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可解得. 【详解】由题，直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 由可得， 圆心为，半径， 直线可化为， 则圆心到直线的距离为， 即， 解得或， 故答案为：或 10．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的斜率是 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的相切得到直线与圆心的距离等于半径进而求解. 【详解】由题意得圆心坐标为，半径，显然直线l的斜率存在． 设直线l的斜率为k，由题意可设直线l的方程为，即． ∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离， 等式两边同时平方，整理得，即，则． 故答案为：. 11．圆上的点到直线的最大距离为 . 【答案】5 【分析】根据题意，结合圆的方程，可转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，继而求出圆心到直线的距离，继而求得圆上的点到直线的最大距离. 【详解】因为圆化为标准方程得， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故答案为：5. 12．已知直线方程，圆的方程.当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据直线与圆相交的条件列式即可得解； （2）根据直线与圆相切的条件列式即可得解； （3）根据直线与圆相离的条件列式即可得解. 【详解】（1）已知圆的方程可化为， 即圆心为，半径长. 圆心到直线的距离， 当时，即，解得或时， 直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； （2）当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； （3）当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 13．已知圆的圆心是直线与轴的交点，半径为2． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先求出圆心坐标，由两直线方程联立求解交点坐标，再结合已知半径，即可得到圆的标准方程. （2）根据直线和圆相切的等价条件即可求解. 【详解】（1）把代入中，得，所以圆心， 所以圆的标准方程是． （2）①当直线的斜率不存在时，符合题意． ②当直线斜率存在时，设直线方程是， 即， 由得，解得． 圆的切线方程是或． 14．已知圆的圆心为，半径为. (1)写出圆的标准方程； (2)试判断直线与圆的位置关系；若相交，求出两交点间的距离. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）根据圆心坐标和半径直接求得圆的标准方程； （2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线与圆的位置关系，在根据弦长公式即求得两交点间的距离. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）圆心到直线的距离， 又因为，所以，直线和圆相交； 设交点为、，则， 所以两交点间的距离为. 15．已知圆经过三点，求： (1)圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交与两点，若弦，则直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的一般式方程，将三点代入即可求解. （2）根据直线与圆相交，弦长的一半，半径，弦心距之间的关系即可求解. 【详解】（1）设圆的方程：， ， 所以圆的方程为：， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 当直线斜率存在时，设直线方程，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线方程为，化简得， 当直线斜率不存在时，直线方程为，即，此时符合条件 所以直线方程为或. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $