专题17 圆的一般方程 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题17 圆的一般方程 一、知识梳理 圆的一般方程 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （1）当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程表示以（ ，）为圆心，以为半径的圆； （2）当D2＋E2－4F＝0时，二元二次方程表示一个点（ ，） ； （3）当D2＋E2－4F＜0时，二元二次方程没有实数解，不表示任何图形． 二、题型精练 题型1 圆的一般方程 【典例1】．下列方程表示圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的定义求解即可. 【详解】对于A选项，方程中有xy项，该方程不表示圆； 对于B选项，对于方程，，该方程不表示圆； 对于C选项，对于方程，，该方程不表示圆； 对于D选项，方程可化为， 因为，该方程表示圆． 故选：D. 【典例2】．已知圆，关于该圆的半径和圆心说法正确的是（ ）． A．，圆心 B．，圆心 C．，圆心 D．，圆心 【答案】A 【分析】先把圆的方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由题意得，圆等价于. 所以圆的半径，圆心. 故选：A. 【典例3】．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆的条件，解不等式即可. 【详解】根据表示圆的条件,得，解得. 故选：A. 【典例4】．经过三点，，的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三点列方程组求圆的一般方程即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题得，即，解得， 则圆的一般方程为； 故选：A. 【典例5】．圆的圆心为，则圆的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由圆的一般方程求圆心与半径的公式即可求解. 【详解】由圆心可得，， 则. 又由圆可知， 所以. 故选：B 题型2 圆的标准方程与一般方程之间的转化 【典例1】．圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般式方程与标准方程之间的转化即可求解. 【详解】将配方，易得， 故选：C. 【典例2】．已知圆的标准方程是，其对应的一般方程为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的标准方程展开即可得到一般方程. 【详解】将标准方程展开，， 整理可得， 故选： A． 三、知识检测 1．已知圆M的方程，则该圆的圆心坐标和半径分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求解. 【详解】因为圆M的方程， 化为标准方程得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：B. 2．已知圆，半径为2，则（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程得到半径，进而解方程求解即可. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆的半径， 又因为半径为2，所以， 整理得：，解得：， 故选：D. 3．圆的圆心到直线 的距离为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点到直线的距离公式即可求的值. 【详解】由配方得，所以圆心为， 因为圆的圆心到直线的距离为1， 所以，解得. 故选：A. 4．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．点在圆的圆心上 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求解圆的圆心坐标和半径，然后比较点到圆心的距离和半径的大小即可判断. 【详解】根据题意知：圆心坐标为：，即， 圆的半径为：， 点P到圆心的距离为：， 因为，所以点P在圆外. 故选：A. 5．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可得，圆心坐标为，根据直线与直线垂直，可得直线斜率为，利用直线的点斜式方程可求解. 【详解】由圆，可知圆心坐标为， 因为直线的斜率为，且与直线l垂直， 所以直线的斜率为，根据直线的点斜式方程，可得 ， 即为所求. 故选：B 6．若方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：将方程配方为标准方程，根据半径即可求解参数. 方法二：由二元二次方程表示圆即即可求解参数. 【详解】方法一：运用配方法， 由得圆的标准方程，则． 方法二：方程表示一个圆，则， 即，得． 所以m的取值范围为. 故选:A. 7．服装厂在布料上裁剪圆形布料，若圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的一般方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的标准方程为，将点代入方程中求出a与r的值即可求解. 【详解】设圆的标准方程为，将，代入可得， 两式相减得，解得，， 所以圆的标准方程为，将标准方程展开得一般方程. 故选：C. 8．方程表示圆心为，半径为的圆，则a，b，c的值依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程转换为圆的标准方程，结合已知条件列式即可求解. 【详解】由配方得， 因为圆心为，半径为， 则解得. 故选：A. 9．圆的一般方程，则圆心的坐标为 【答案】 【分析】根据题意，将圆的一般方程转化为标准方程，继而求解. 【详解】因为圆的一般方程， 化为标准式方程得， 所以圆心坐标为. 故答案为：. 10．已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为 . 【答案】 【分析】由圆C的一般方程转化为标准方程，进而写出圆C的半径. 【详解】因为圆C的一般方程为， 所以圆C的标准方程为， 所以圆C的半径为. 故答案为：. 11．圆的圆心到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】先求解圆的圆心，再根据点到直线的距离公式，进行求解即可. 【详解】圆转化为标准方程为， 所以圆心坐标为， 由点到直线的距离公式得，圆心到直线的距离为. 故答案为：. 12．若方程表示圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由二元二次方程表示圆，则，据此列方程求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，即， 解得或，即的取值范围是. 故答案为：. 13．已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】8 【分析】先求出圆心到直线的距离和圆心的半径，再由点在圆运动可得，点到直线的距离的最大值为，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为点在圆上运动， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 14．若直线过圆的圆心，则 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得到圆心，将圆心坐标代入直线求出b的值即可. 【详解】将配方得， 可得圆心坐标， 将代入直线方程得, 即. 故答案为：. 15．圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先将方程化为圆的一般方程，再通过配方化为标准方程即可. 【详解】将方程化为圆的一般方程：， 配方后可得. 所以圆的标准方程为． 故答案为：. 16．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出圆心坐标和圆的半径． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)表示圆，圆心坐标为，半径为2 (2)不表示任何图形 (3)答案见解析 【分析】由二元二次方程表示圆与曲线的关系判断即可. 【详解】（1）由，得，可知方程表示圆． 圆心坐标为，即，半径． （2）可化为． ∵，∴方程不表示任何图形． （3）方程， 当时，方程为，表示点，不表示圆． 当时，由，可知方程表示圆． 圆心坐标为，即，半径． 17．求过点，和的圆的方程. 【答案】 【分析】解法一：由圆的一般方程代入三个点求解即可. 解法二：求出线段AB和线段AC的中垂线，求其交点即为圆的圆心，再求解半径即可求解圆的方程. 【详解】解法一：设圆的方程为， 把A、B、C三点坐标代入方程中可得， ∴解得. 故所求圆的方程为， 所以圆的方程为. 解法二：线段AB的中点为，斜率， 所以线段AB的中垂线方程为， 线段AC的中点为，斜率， 线段AC的中垂线方程为， 由，得圆心坐标为， 半径， ∴圆的方程为. 18．已知方程表示一个圆. (1)求实数的取值范围； (2)若该圆的半径等于4，求该圆的圆心坐标. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（）将圆的一般方程化为标准方程即可得解. （）根据圆的半径求出的值，根据圆的标准方程即可求得圆心坐标. 【详解】（1）因为方程表示一个圆， 将圆的一般方程化为标准方程得， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）由（）可知，所以，解得， 当时，圆心坐标为， 当时，圆心坐标为， 所以圆心坐标为或. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 圆的一般方程 一、知识梳理 圆的一般方程 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （1）当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程表示以（ ，）为圆心，以为半径的圆； （2）当D2＋E2－4F＝0时，二元二次方程表示一个点（ ，） ； （3）当D2＋E2－4F＜0时，二元二次方程没有实数解，不表示任何图形． 二、题型精练 题型1 圆的一般方程 【典例1】．下列方程表示圆的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．已知圆，关于该圆的半径和圆心说法正确的是（ ）． A．，圆心 B．，圆心 C．，圆心 D．，圆心 【典例3】．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【典例4】．经过三点，，的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．圆的圆心为，则圆的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型2 圆的标准方程与一般方程之间的转化 【典例1】．圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【典例2】．已知圆的标准方程是，其对应的一般方程为（  ）． A． B． C． D． 三、知识检测 1．已知圆M的方程，则该圆的圆心坐标和半径分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知圆，半径为2，则（   ） A． B．8 C． D．6 3．圆的圆心到直线 的距离为，则（ ） A． B． C． D． 4．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．点在圆的圆心上 5．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．若方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．服装厂在布料上裁剪圆形布料，若圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的一般方程为（    ）. A． B． C． D． 8．方程表示圆心为，半径为的圆，则a，b，c的值依次为（　　） A． B． C． D． 9．圆的一般方程，则圆心的坐标为 10．已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为 . 11．圆的圆心到直线的距离是 ． 12．若方程表示圆，则的取值范围是 . 13．已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 14．若直线过圆的圆心，则 . 15．圆的标准方程为 ． 16．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出圆心坐标和圆的半径． (1)； (2)； (3) ． 17．求过点，和的圆的方程. 18．已知方程表示一个圆. (1)求实数的取值范围； (2)若该圆的半径等于4，求该圆的圆心坐标. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $