专题16 圆的标准方程 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题16 圆的标准方程 一、知识梳理 （1）圆的定义及标准方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：__(a，b)__ 半径：__r__ 特殊情况：若圆心在坐标原点O(0,0)，半径为r，则圆的标准方程为 x2＋y2＝r2(r＞0) （2）点与圆的位置关系 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P的坐标为P(，) 若点P在圆C上，则有|CP|=r， (x－a)2＋(y－b)2＝r2； 若点P在圆C外，则有|CP|>r， (x－a)2＋(y－b)2＞r2； 若点P在圆C内，则有|CP|<r， (x－a)2＋(y－b)2＜r2． 二、题型精练 题型1 圆的标准方程 【典例1】．以为圆心，以3为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知、，则以线段为直径的圆的方程是（　　） A． B． C． D． 【典例3】．过，，三点圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【典例4】．圆 的圆心坐标和半径分别为 （     ） A． B． C． D． 题型2 点与圆的位置关系 【典例1】．已知圆的方程是，则点（    ） A． 是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【典例2】．若点在圆上，则圆的半径（   ） A．13 B． C．5 D． 【典例3】．点在圆外，则圆上的点到点的最大距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例4】．若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 三、知识检测 1．已知圆心为，半径为4的圆，则下列点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 3．若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 4．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．若直线与两坐标轴分别交于、两点，则以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 6．点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内是圆心 D．在圆内但不是圆心 7．半径为3，且与y轴相切于原点的圆的方程为（    ） A． B． C． D．或 8． 已知圆的标准方程为，则该圆的直径为 ． 9． 直径的两个端点为的圆的方程是 ． 10． 圆的方程为，则该圆圆心为 ，半径为 . 11． 圆的圆心到直线的距离等于 ． 12． 若圆经过点，则圆的半径 . 13． 若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围为 ． 14．根据下列条件，写出圆的标准方程． (1)圆心坐标为，且圆经过点； (2)已知，两点，以线段为直径的圆． 15．已知圆过两点，且圆心在直线上， (1)圆的标准方程. (2)判断点与圆的位置关系． 16． 求经过直线与的交点，且圆心坐标为的圆的标准方程. 17．已知圆C经过两点，且圆心C在x轴的上方，半径为 (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C的弦的中点，求PQ所在的直线方程． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 圆的标准方程 一、知识梳理 （1）圆的定义及标准方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：__(a，b)__ 半径：__r__ 特殊情况：若圆心在坐标原点O(0,0)，半径为r，则圆的标准方程为 x2＋y2＝r2(r＞0) （2）点与圆的位置关系 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P的坐标为P(，) 若点P在圆C上，则有|CP|=r， (x－a)2＋(y－b)2＝r2； 若点P在圆C外，则有|CP|>r， (x－a)2＋(y－b)2＞r2； 若点P在圆C内，则有|CP|<r， (x－a)2＋(y－b)2＜r2． 二、题型精练 题型1 圆的标准方程 【典例1】．以为圆心，以3为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程求解. 【详解】∵圆心为，半径为3， ∴得到圆的标准方程为. 故选：C. 【典例2】．已知、，则以线段为直径的圆的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式与点到直线距离公式可求. 【详解】圆的圆心是， 半径是. 故圆的方程为. 故选：B. 【典例3】．过，，三点圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，将三点代入计算即可. 【详解】设所求圆的方程为， 因为，，三点在圆上， 可得，由得，解得， 将代入可得，解得， 故所求标准方程为. 故选：D. 【典例4】．圆 的圆心坐标和半径分别为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程直接写出圆心坐标和半径即可. 【详解】圆 的圆心坐标为，半径为2. 故选：A. 题型2 点与圆的位置关系 【典例1】．已知圆的方程是，则点（    ） A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】C 【分析】将点代入圆的方程中，与4比大小即可. 【详解】将代入圆的方程中有，， 所以点在圆内． 故选：C． 【典例2】．若点在圆上，则圆的半径（   ） A．13 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】将点代入圆的方程中即可得解. 【详解】将点代入圆中得： ，解得或（舍）， 所以圆的半径， 故选：. 【典例3】．点在圆外，则圆上的点到点的最大距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题可知，圆上的点到点的最大距离为点到圆心的距离加上半径，再由两点坐标公式求解即可. 【详解】由圆可知，圆心坐标为，半径， 点在圆外， 所以圆上的点到点的最大距离为点到圆心的距离加上半径， 点到圆心的距离， 所以圆上的点到点的最大距离为. 故选：C. 【典例4】．若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程，将点坐标代入圆的方程使其小于4，即可求参数. 【详解】因为点在圆的内部， 所以，化简得， 解得． 故选：A. 三、知识检测 1．已知圆心为，半径为4的圆，则下列点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心，半径确定圆的方程，再将点代入逐个判断即可. 【详解】已知圆的圆心为，半径为4， 则圆的标准方程为， 则将点代入得， 所以点不在圆上，故A错误. 则将点代入得， 所以点不在圆上，故B错误. 则将点代入得， 所以点在圆上，故C正确. 则将点代入得， 所以点不在圆上，故D错误. 故选：C. 2．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的标准方程求出其圆心坐标和半径即可. 【详解】由圆， 可得其圆心坐标为，半径为. 故选：B. 3．若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆与圆关于原点对称，即原点是圆的圆心与已知圆的圆心的中点，即可求圆的圆心坐标，从而得解. 【详解】由于圆的圆心，半径为1； 圆与圆关于原点对称，故，半径为1， 所以圆的方程为：. 故选：A. 4．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程确定圆心，再由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】因为圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离为， 故选：B. 5．若直线与两坐标轴分别交于、两点，则以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线求出它与轴、轴交点、的坐标，再根据两点间距离公式、中点坐标公式得到圆的直径长以及圆心坐标，进而可得圆的方程. 【详解】由题意可得： 当时，，当时，， 即、两点的坐标分别为、， 所以直径，所以圆的半径为：， 圆心坐标为， 因此圆的方程为：. 故选：. 6．点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内是圆心 D．在圆内但不是圆心 【答案】D 【分析】根据点到圆心的距离与半径的比较，即可判断. 【详解】到圆心的距离. 点在圆内不是圆心． 故选：D. 7．半径为3，且与y轴相切于原点的圆的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆心和半径求圆的标准方程即可. 【详解】因为圆的半径为3，与轴相切于原点， 所以圆心的坐标为或， 故圆的方程为：或者. 故选：D. 8．已知圆的标准方程为，则该圆的直径为 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程确定半径即可得出直径的长. 【详解】已知圆的标准方程为， 则圆的半径为，所以直径. 故答案为：. 9．直径的两个端点为的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求得圆心，再由两点间距离公式求得半径，进而求解. 【详解】由题可知，圆心为.直径. 所以半径. 圆的方程为：. 故答案为：. 10．圆的方程为，则该圆圆心为 ，半径为 . 【答案】 7 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】令圆的半径为，由圆的方程可知， 圆心坐标为，，即圆的半径为. 故答案为：；. 11．圆的圆心到直线的距离等于 ． 【答案】3 【分析】先根据圆的方程得到圆心坐标，再计算圆心到直线的距离. 【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， ∴圆心到直线距离为． 故答案为：3. 12．若圆经过点，则圆的半径 . 【答案】 【分析】由圆的标准方程定义即可解得. 【详解】将点代入圆的方程，则，故半径. 故答案为：. 13．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据将原点代入圆的方程中得到即可得解. 【详解】∵坐标原点在圆的内部， ∴，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 14．根据下列条件，写出圆的标准方程． (1)圆心坐标为，且圆经过点； (2)已知，两点，以线段为直径的圆． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据两点间的距离公式求出半径，结合圆心坐标与半径即可写出圆的标准方程. （）根据中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径即可得解. 【详解】（1）圆心坐标为，且圆经过点， 则半径为， 所以圆的方程为. （2）因为，两点，线段为直径， 所以圆心坐标为， 半径为， 所以圆的标准方程为. 15．已知圆过两点，且圆心在直线上， (1)圆的标准方程. (2)判断点与圆的位置关系． 【答案】(1). (2)点在圆外． 【分析】（1）由待定系数法求圆的标准方程即可得解； （2）由点与圆的位置关系即可得解. 【详解】（1）设圆心为，则圆的方程为：， 将代入圆的方程得. 则，解得， 所以圆的方程为. （2）因为圆的半径为， 而与圆心之间的距离为. 所以点在圆外． 16．求经过直线与的交点，且圆心坐标为的圆的标准方程. 【答案】 【分析】根据圆心坐标设定圆的方程，计算两直线交点坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】由圆心坐标可设所求圆的方程为， 联立两直线方程，得方程组，解得， 所以圆经过交点，故，解得， 所以圆的标准方程为. 17．已知圆C经过两点，且圆心C在x轴的上方，半径为 (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C的弦的中点，求PQ所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得圆心坐标即可得圆的标准方程； （2）由题意解得直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由题可设圆的标准方程为， 由点代入，可得 ，解得， 因为圆心C在x轴的上方， 所以舍去，圆的标准方程为； （2）由（1）知，圆心 因为为圆C的弦的中点， 所以圆心C与中点M的连线垂直于弦； 又因为， 所以； 所以直线的方程为，即为所求. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $