专题14 直线与直线的位置关系 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题14 直线与直线的位置关系 一、知识梳理 （1）两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 两条直线平行特殊情况：两条直线重合 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2且b1＝b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)． 注意：当两条直线的斜率都不存在时，两条直线也平行． （2）两条直线相交 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若两条直线相交，则k1≠k2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若两条直线相交，则 A1B2－A2B1≠0． 两条直线相交特殊情况：两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 注意：若直线l1的斜率不存在，而直线l2的斜率存在，则直线l1与直线l2相交． 3.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 二、题型精练 题型1 两条直线平行 【典例1】．直线与直线的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合 【典例2】．过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．若直线与直线互相平行，则等于（   ） A．1或 B．3 C． D．或3 题型2 两条直线重合 【典例1】．已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（ ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【典例2】．某施工队要在广场上铺设两条地砖拼接线，直线的方程为，直线的方程为，若两条拼接线重合，则的值为（    ）. A．2 B．4 C． D． 题型3 两条直线相交 【典例1】．直线与直线的交点是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．过直线与交点，且斜率为的直线方程是（  ） A． B． C． D． 题型4 两条直线垂直 【典例1】．直线与直线的位置关系是（   ） A． 重合 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行 【典例2】．直线，的斜率是方程的两个根，则（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【典例3】．以，为端点的线段的垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．下列说法正确的是（    ） A．平行的两条直线的斜率一定相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两条直线的斜率之积为 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行 2．已知直线与互相垂直，则，的关系为（    ） A． B． C． D． 3．若直线，和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 4．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．直线与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．若点，，三点在同一条直线上，则（   ） A．2 B． C． D． 7． 直线与的交点坐标是 ． 8． 若直线与直线平行，则实数 . 9． 某工厂车间的两条电路线路方程为与.若两条线路重合可节省材料，的值为 . 10． 已知点，，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 11． 直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 12．已知直线过两直线和的交点，求解下列问题： (1)直线经过点，求直线的方程； (2)直线与直线垂直，求直线的方程． 13．已知点，直线． (1)求经过点且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点且与直线垂直的直线的方程． 14．已知直线：，： (1)若直线与垂直，求实数的值； (2)若直线与平行，求实数的值. 15．已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若，求的边上的中线所在直线方程； (3)已知直线m过点，且与平行，求直线m的方程. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 直线与直线的位置关系 一、知识梳理 （1）两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 两条直线平行特殊情况：两条直线重合 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2且b1＝b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)． 注意：当两条直线的斜率都不存在时，两条直线也平行． （2）两条直线相交 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若两条直线相交，则k1≠k2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若两条直线相交，则 A1B2－A2B1≠0． 两条直线相交特殊情况：两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 注意：若直线l1的斜率不存在，而直线l2的斜率存在，则直线l1与直线l2相交． 3.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 二、题型精练 题型1 两条直线平行 【典例1】．直线与直线的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线斜率和截距判断位置关系. 【详解】直线化成斜截式方程为， 直线化成斜截式方程为， 两直线斜率相等，在轴上截距不相等，所以两直线的位置关系是平行， 故选：B. 【典例2】．过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行关系设出所求直线方程将点代入即可得解. 【详解】设平行于直线的直线方程为， 将点代入直线方程中得，解得， 所以所求直线方程为， 故选：A. 【典例3】．若直线与直线互相平行，则等于（   ） A．1或 B．3 C． D．或3 【答案】D 【分析】根据两直线平行的充要条件列出方程即可求解. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，直线，直线， 即，两直线斜率相等且不重合，符合题意； 当时，直线，即， 直线，两直线斜率相等且不重合，符合题意； 故选：D. 题型2 两条直线重合 【典例1】．已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（ ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】根据倾斜角和直线上的两点求解斜率，根据斜率即可判断位置关系. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 故选：A. 【典例2】．某施工队要在广场上铺设两条地砖拼接线，直线的方程为，直线的方程为，若两条拼接线重合，则的值为（    ）. A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线重合的条件列式求参数即可. 【详解】因为直线直线重合， 所以，解得. 故选：B. 题型3 两条直线相交 【典例1】．直线与直线的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组即可求解. 【详解】联立方程组，解得. 所以交点为. 故选：B. 【典例2】．过直线与交点，且斜率为的直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程求交点，结合点斜式方程即可求解. 【详解】解：联立方程组， 解得，即交点为. 由点斜式可得，，整理得：． 故选：C 题型4 两条直线垂直 【典例1】．直线与直线的位置关系是（   ） A．重合 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行 【答案】B 【分析】根据两条直线的方程分别求解出两直线的斜率，然后根据两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. 【详解】直线的斜截式方程为:,所以其斜率为:, 直线的斜截式方程为：,所以其斜率为：, 因为,且, 所以两直线的位置关系为:相交但不垂直. 故选:B 【典例2】．直线，的斜率是方程的两个根，则（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】B 【分析】结合根与系数的关系，两直线的位置关系求得答案. 【详解】设直线的斜率分别是， 依题意，所以. 故选：． 【典例3】．以，为端点的线段的垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式以及直线垂直的条件，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 线段的中点是， 设线段的垂直平分线方程是， 所以，解得， 所以，即. 故选：A. 三、知识检测 1．下列说法正确的是（    ） A．平行的两条直线的斜率一定相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两条直线的斜率之积为 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行 【答案】B 【分析】根据直线平行以及直线垂直的性质求解即可. 【详解】若两条直线的倾斜角均为，则两条直线相互平行，但两条直线的斜率不存在，故A不正确； 平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确； 垂直的两条直线的斜率都存在时，斜率之积为，当一条直线的斜率不存在， 另一条直线的斜率为0时，两直线也相互垂直，故C不正确； 斜率都不存在的两条直线也能够平行，故D不正确． 故选：B. 2．已知直线与互相垂直，则，的关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线相互垂直的条件列式即可解答. 【详解】已知直线与互相垂直， 得， 故选：C. 3．若直线，和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先联立直线与求出交点坐标，再将点代入直线得到的值即可. 【详解】由，得 即直线与直线的交点为． 由题意得直线过点， 将点代入得，解得． 故选：C. 4．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线平行斜率相等但截距不相等设出直线方程，进而将点代入即可求解. 【详解】所求直线与直线平行，故设所求直线为， 又直线过点， ， 直线方程为， 故选：A. 5．直线与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的条件即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 当时，解得，经检验成立， 故选：. 6．若点，，三点在同一条直线上，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到斜率相等，从而列式得解. 【详解】因为点，，三点在同一条直线上， 易得该直线的斜率存在，则，解得. 故选：C. 7．直线与的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】联立直线方程解方程组即可求解. 【详解】联立方程解得， 所以直线与的交点坐标是. 故答案为：. 8．若直线与直线平行，则实数 . 【答案】6 【分析】根据两条直线平行，建立关于的方程，再求出的值即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经检验符合题意， 故答案为：. 9．某工厂车间的两条电路线路方程为与.若两条线路重合可节省材料，的值为 . 【答案】10 【分析】根据两条直线重合列出方程即可得解. 【详解】对于与，两条直线重合， 所以，解得， 故答案为：. 10．已知点，，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直，得所求直线的斜率，再由点斜式求解直线方程即可. 【详解】由中点坐标公式可得，的中点为， 可得直线的斜率为， 由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为， 故可得所求直线的方程为：， 化为一般式可得. 故答案为：. 11．直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设直线的方程为，由直线经过点求得即可. 【详解】由直线与直线平行，可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得， 所以直线的方程为． 故答案为：． 12．已知直线过两直线和的交点，求解下列问题： (1)直线经过点，求直线的方程； (2)直线与直线垂直，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出两直线的交点，再利用斜率公式求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即可； （2）由两直线垂直求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）联立，解得， ∴交点， ∵直线经过点，设直线的斜率为， ∴， ∴直线的点斜式方程：， 化为一般式：. （2）∵直线与直线垂直， 设直线的斜率， ∴，∴， ∵直线过交点， ∴直线的点斜式方程：， 化为一般式方程：. 13．已知点，直线． (1)求经过点且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点且与直线垂直的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行，得到所求直线的斜率，再根据直线点斜式方程. （2）根据垂直，得到所求直线的斜率，再根据直线点斜式方程. 【详解】（1）∵直线的方程为，故直线的斜率. ∴与直线平行的直线的斜率. 故，经过点且与直线平行的直线的方程为，. 整理得，. （2）令与直线垂直的直线的斜率，则. 所以，. 故，经过点且与直线垂直的直线的方程为，. 整理得，. 14．已知直线：，： (1)若直线与垂直，求实数的值； (2)若直线与平行，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与直线垂直的条件直接求解. （2）根据直线与直线平行的条件直接求解. 【详解】（1）因为直线：，：，直线与垂直， 所以，可化为，解得. （2）因为直线：，：，直线与平行， 直线的斜率为， 当时，，直线的斜率不存在，不成立； 当时，则，化简得，解得：或， 当时，直线：，：，直线平行不重合， 当时，直线：，：，直线重合，不符合题意. 综上，. 15．已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若，求的边上的中线所在直线方程； (3)已知直线m过点，且与平行，求直线m的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线上两点的坐标得到斜率，再根据直线垂直得到所求直线斜率，进而的得到点斜式方程，化简即可； （2）根据中点坐标公式与斜率的两点坐标公式求解即可； （3）根据直线平行求解方程即可； 【详解】（1）由可得直线的斜率为， 因，故直线的斜率为， 则直线的方程为，即； （2）由可得边的中点， 又，故直线的斜率为， 则所在直线方程为，即； （3）由（1）已得， 直线与平行，故其斜率为， 则直线m的方程为，即. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $