专题13 直线方程的几种形式 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题13 直线方程的三种形式 一、知识梳理 直线方程的三种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求__A2＋B2≠0__ 适用于平面直角坐标系内的所有直线 特殊情况： （1）当斜率k=0时，直线的方程为y=，此时直线 平行于轴(或与轴重合) （2）当斜率不存在时，直线的方程为=．此时直线平行于y轴(或与y轴重合) 二、题型精练 题型1 直线的点斜式方程 【典例1】．经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角可得斜率，进而得到直线的点斜式方程. 【详解】由题意得所求直线的斜率. 所以直线方程为. 故选：B. 【典例2】．已知直线过点且斜率为，则直线的点斜式方程为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】点斜式方程为 ，已知点，斜率为， 则方程为 . 故选：A. 【典例3】．已知直线经过点，，求直线的点斜式方程. 【答案】. 【分析】由两点确定斜率，再将斜率和点代入点斜式即可. 【详解】直线经过点，， 直线的斜率为， 直线的点斜式方程为. 题型2 直线的斜截式方程 【典例1】．若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角得到斜率，即可得到直线的斜截式方程. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线在y轴上的截距为，所以直线方程为. 故答案为：. 【典例2】．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】由直线的斜率存在，把直线方程设为点斜式，求出在两坐标轴上的截距，利用截距相等得方程求出斜率k，可得直线方程. 【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 【典例3】．直线的斜截式方程中，斜率和截距分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜截式方程的结构特征即可得解. 【详解】在直线的斜截式方程中，斜率，截距. 故选：A. 题型3 直线的一般式方程 【典例1】．过点且斜率为2的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点斜式方程和一般式方程代入求解即可 【详解】因为直线过点且斜率为2， 根据直线的点斜式方程可得：， 即. 故选：B. 【典例2】．已知直线在y轴上的截距为，且斜率为3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜截式方程即可得解. 【详解】因为直线在y轴上的截距为，且斜率为3， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 【典例3】．过两点，的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据两点求出斜率，再求出直线方程即可. 【详解】点，，则直线的斜率 所以直线的方程为，即. 故选：A. 三、知识检测 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的一般式方程中求出斜率，再由斜率的定义和倾斜角范围即可求值. 【详解】已知直线的斜率， 设倾斜角为，则， 由，所以倾斜角为. 故选：A. 2．直线在x轴、y轴上的截距分别为（　　） A．2和 B．1和 C．和5 D．和5 【答案】C 【分析】由直线的一般式方程分别令求得截距即可. 【详解】由直线， 令，可得， 令，可得， 故直线在x轴、y轴上的截距分别为和5. 故选：C． 3．经过点，且斜率为的直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点斜式方程求出直线的方程再化为一般式方程即可求解. 【详解】经过点，且斜率为的直线方程是， 化为一般式方程是. 故选：A. 4．经过点，且垂直于x轴的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线垂直于轴与直线上一点的坐标确定方程即可. 【详解】因为直线垂直于轴，可设直线方程为， 因为直线过点，所以直线方程为. 故选：C. 5．已知直线过点，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，由直线的两点式写出方程，再化为一般式即可. 【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即． 故选：C． 6．直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程可得斜率，再利用斜率公式求倾斜角. 【详解】由直线可知，其斜率. 设直线的倾斜角为，则 ，且， 所以. 故选：B 7．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据直线的截距的定义即可求解. 【详解】直线方程为 令，得，故直线在y轴上的截距． 令，得，故直线在x轴上的截距． 故选：B. 8．过原点且倾斜角的余弦值等于的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角的余弦值求出倾斜角的正切值，再过原点易得答案. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得，因为， 因为，所以， 所以，又直线过原点， 所以直线的方程为. 故选：A. 9．斜率与直线的斜率相等，且过点的直线的点斜式方程是 ；直线的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】直接根据点斜式的定义求解即可，进而可整理得斜截式. 【详解】直线的斜率为， 又所求直线过点，故由点斜式得． 斜截式方程是. 故答案为：； 10．若点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】将点代入直线方程即可求. 【详解】依题意，， 解得， 故答案为：． 11．直线与坐标轴围成的三角形的面积是 . 【答案】/ 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】由直线方程可得， 令，解得，则直线与y轴交于点； 令，解得，则直线与x轴交于点； 则. 故答案为：. 12．已知的顶点分别为，，，求： (1)边所在直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据已知两点求得斜率公式，结合点斜式方程即可求解. （2）根据中点坐标公式，已知两点求斜率公式，点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由题意得，. 所以直线的方程为，即. （2）的中点的坐标为. 则， 所以直线的方程为，即. 13．求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A，且斜率等于直线的斜率的2倍； (2)过点M，且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线的斜率，根据点斜式即可求出直线方程； （2）根据设直线与x轴的交点为，根据两坐标轴围成三角形的周长为12，求出a，再根据截距式即可求出直线方程. 【详解】（1）因为可化为， 所以直线的斜率为，则所求直线的斜率， 又直线经过点A，因此所求直线的方程为， 即直线方程为. （2）设直线与x轴的交点为， 因为点M在y轴上，所以由题意有，解得， 所以所求直线的方程为或， 即直线方程为或. 14．设直线的方程为，根据下列条件分别确定m的值. (1)直线在轴上的截距是； (2)直线的斜率是1； (3)直线与轴平行. 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由已知可得经过点，代入计算即可； （2）利用一般式的斜率公式可得，计算即可； （3）由已知可得直线的斜率不存在，即. 【详解】（1）直线在轴上的截距是－3，则经过点， 所以，解得. （2）直线斜率是1，， ，解得. （3）直线与y轴平行，所以直线的斜率不存在， 所以. 15．若直线的倾斜角为，求实数m的值； 【答案】 【分析】根据直线方程得到斜率，进而求解即可. 【详解】因为直线方程 时，直线倾斜角为，不合题意； 所以斜率. 又因为直线倾斜角为. 所以. 所以解得或. 当时，原方程为：不成立. 当时，原方程为：成立. 故. 16．已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为．求： (1)直线l的一般式方程； (2)直线l与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的倾斜角确定斜率，再由点和斜率写出直线的点斜式方程转化为一般式即可. （2）首先分别求出直线的横截距和纵截距，再由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为， 则直线斜率为， 所以直线方程为，即. （2）由（1）可知，直线l的方程为， 当时，，即直线的纵截距为， 当时，，即直线的横截距为， 所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 直线方程的三种形式 一、知识梳理 直线方程的三种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求__A2＋B2≠0__ 适用于平面直角坐标系内的所有直线 特殊情况： （1）当斜率k=0时，直线的方程为y=，此时直线 平行于轴(或与轴重合) （2）当斜率不存在时，直线的方程为=．此时直线平行于y轴(或与y轴重合) 二、题型精练 题型1 直线的点斜式方程 【典例1】．经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知直线过点且斜率为，则直线的点斜式方程为 （     ） A． B． C． D． 【典例3】．已知直线经过点，，求直线的点斜式方程. 题型2 直线的斜截式方程 【典例1】．若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 【典例2】．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【典例3】．直线的斜截式方程中，斜率和截距分别为（    ） A． B． C． D． 题型3 直线的一般式方程 【典例1】．过点且斜率为2的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．已知直线在y轴上的截距为，且斜率为3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．过两点，的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线在x轴、y轴上的截距分别为（　　） A．2和 B．1和 C．和5 D．和5 3．经过点，且斜率为的直线的一般式方程是（    ） A． B． D． D． 4．经过点，且垂直于x轴的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线过点，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 7．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．过原点且倾斜角的余弦值等于的直线方程是（   ） A． B． C． D． 9． 斜率与直线的斜率相等，且过点的直线的点斜式方程是 ；直线的斜截式方程是 . 10．若点在直线上，则 ． 11．直线与坐标轴围成的三角形的面积是 . 12．已知的顶点分别为，，，求： (1)边所在直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 13．求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A，且斜率等于直线的斜率的2倍； (2)过点M，且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 14．设直线的方程为，根据下列条件分别确定m的值. (1)直线在轴上的截距是； (2)直线的斜率是1； (3)直线与轴平行. 15． 若直线的倾斜角为，求实数m的值； 16．已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为．求： (1)直线l的一般式方程； (2)直线l与坐标轴围成的三角形的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $