专题12 直线的倾斜角和斜率 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题12 直线的倾斜角和斜率 一、知识梳理 （1）直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度可以用直线与轴所成的角度表示．当直线与轴相交时，直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角α，称为直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定，倾斜角α=0． 因此，直线的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π． （2）直线的斜率 在直角坐标系中，若直线的倾斜角为α，称倾斜角α(α≠) 的正切值为直线的斜率，用小写字母表示，即 =tanα 设P1(x1，y1)和P2(x2，y2)为直线上任意两点，且x1≠x2，则直线的斜率为： = 二、题型精练 题型1 直线的倾斜角 【典例1】．下图中，能表示直线的倾斜角大小的是 （　　）    A．① B．①② C．①③ D．②④ 【典例2】．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为（），则其倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 题型2 直线的斜率 【典例1】．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】．直线经过两点，则直线的斜率为（    ） A． B．9 C．1 D． 【典例3】．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（　　） A． B． C． D． 【典例4】．过点和点的直线的倾斜角为（     ） A．30° B．45° C．60° D．135° 三、知识检测 1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（    ） A．任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 C．若直线的斜率为0，则它的倾斜角是或 D．若直线与x轴垂直，则它的倾斜角是 2．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不确定 4．若直线m的倾斜角为，那么直线m的斜率（     ） A．0 B．1 C．不存在 D． 5．直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D．不存在 6．过点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．直线的倾斜角是（   ） A．不存在 B． C． D． 8．已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D． 9． 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 . 10． 经过两点的直线的斜率是12，则m的值为 . 11． 已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为 . 12． 已知直线l经过，，三点，则直线l的斜率为 ，y的值为 ． 13． 若直线过和两点且其斜率为2，则是 . 14．判断直线的斜率是否存在，若存在，求出它的值． (1)，； (2)，； (3)，． 15．已知两点坐标，求： (1)两点间的距离； (2)线段的中点坐标； (3)经过两点的直线的斜率. 16．已知，，，三点在同一条直线上，求m的值. 17．根据下列条件求倾斜角： (1)直线经过点； (2)直线斜率为1，过点和，求倾斜角和的值. 18．已知直线过点，，若直线的倾斜角为钝角，求的取值范围 19．已知． (1)求直线和的斜率； (2)若点D在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 直线的倾斜角和斜率 一、知识梳理 （1）直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度可以用直线与轴所成的角度表示．当直线与轴相交时，直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角α，称为直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定，倾斜角α=0． 因此，直线的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π． （2）直线的斜率 在直角坐标系中，若直线的倾斜角为α，称倾斜角α(α≠) 的正切值为直线的斜率，用小写字母表示，即 =tanα 设P1(x1，y1)和P2(x2，y2)为直线上任意两点，且x1≠x2，则直线的斜率为： = 二、题型精练 题型1 直线的倾斜角 【典例1】．下图中，能表示直线的倾斜角大小的是 （　　）    A．① B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义进行判断即可. 【详解】倾斜角为直线与轴正方向的夹角，①符合倾斜角定义， ③中的对顶角大小与倾斜角大小相等，也符合题意， 而②④不满足倾斜角的定义，故错误. 故选：C． 【典例2】．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为（），则其倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先借助直观图形，再利用倾斜角的定义求解. 【详解】 如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为； 当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为. 故选：D. 题型2 直线的斜率 【典例1】．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】依据倾斜角直接求斜率. 【详解】直线的斜率. 故选：A. 【典例2】．直线经过两点，则直线的斜率为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用已知两点坐标求斜率解答即可. 【详解】因为直线经过两点， 所以直线的斜率为， 故选：D. 【典例3】．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知两点坐标求斜率和斜率的定义，进行求解. 【详解】因为直线过，两点，且倾斜角为， 可得， 即，解得. 故选：C. 【典例4】．过点和点的直线的倾斜角为（     ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率, 设直线倾斜角为，则, 所以. 故选：B. 三、知识检测 1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（    ） A．任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 C．若直线的斜率为0，则它的倾斜角是或 D．若直线与x轴垂直，则它的倾斜角是 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角、斜率等知识求解. 【详解】任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为的直线没有斜率， A选项正确，B选项错误；倾斜角的范围是，即倾斜角不能取到， C选项错误；若直线与轴垂直，则它的倾斜角为，D选项错误. 故选：A. 2．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角即可求解. 【详解】直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 3．如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由直线倾斜角的定义即可得解. 【详解】由图像可知，直线与轴正向之间的夹角为， 所以直线与轴正向的夹角为， 故选：. 4．若直线m的倾斜角为，那么直线m的斜率（     ） A．0 B．1 C．不存在 D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】因为直线m的倾斜角为， 所以直线m的斜率. 故选：A. 5．直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由直线倾斜角的概念即可得解. 【详解】直线可化为，图像为平行于轴的直线， 所以直线的倾斜角为， 故选：. 6．过点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线上两点的坐标确定斜率，进而确定倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线过点， 所以直线斜率，则. 故选：A. 7．直线的倾斜角是（   ） A．不存在 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】因为直线为， 即， 所以该直线平行于y轴， 即该直线斜率不存在， 所以直线的倾斜角是. 故选：C. 8．已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为，则， 故. 故选：D. 9．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据斜率公式进行求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为. 故答案为：. 10．经过两点的直线的斜率是12，则m的值为 . 【答案】 【分析】根据两点坐标及斜率求参数. 【详解】∵两点，且斜率为12， ∴，即. 解得. 故答案为：. 11．已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为 . 【答案】或 【分析】利用斜率公式列式即可得解. 【详解】依题意，设或，又， 所以或，解得或， 所以点B的坐标为或. 故答案为：或. 12．已知直线l经过，，三点，则直线l的斜率为 ，y的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式可求解. 【详解】由已知可得， 直线l的斜率， 因为三点共线， 所以，解得． 故答案为：； 13．若直线过和两点且其斜率为2，则是 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式求解参数即可. 【详解】因为直线过和两点且其斜率为2， 所以，解得. 故答案为：. 14．判断直线的斜率是否存在，若存在，求出它的值． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)存在，0； (2)存在，； (3)不存在 【分析】由直线与轴是否垂直，判断直线斜率是否存在；若直线斜率存在，由两点坐标求斜率即可. 【详解】（1）∵，，，两点的横坐标不同， ∴直线与轴不垂直，则直线的斜率存在， ∴斜率． （2）∵，，，两点的横坐标不同， ∴直线与轴不垂直，则直线的斜率存在， ∴斜率． （3）∵，，，两点的横坐标相同， ∴直线与轴垂直，则直线的斜率不存在． 15．已知两点坐标，求： (1)两点间的距离； (2)线段的中点坐标； (3)经过两点的直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解. （2）根据线段中点坐标公式即可求解. （3）根据已知两点坐标求斜率即可求解. 【详解】（1）由题意得，两点间的距离为：. （2）由题意得，线段的中点坐标为. （3）由题意得，经过两点的直线的斜率为. 16．已知，，，三点在同一条直线上，求m的值. 【答案】 【分析】如果三点在同一条直线上，那么任意两点所确定的直线斜率是相等的.我们可以先求出直线的斜率，再求出直线的斜率，令它们相等，从而求出m的值即可. 【详解】，， 因为点A，B，C在同一条直线上， 所以， 即，解得. 故答案为：. 17．根据下列条件求倾斜角： (1)直线经过点； (2)直线斜率为1，过点和，求倾斜角和的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】利用两点的斜率公式和倾斜角的斜率公式求解即可 【详解】（1）由斜率公式得，倾斜角为. （2）直线的斜率，故其倾斜角为， 又，解得. 18．已知直线过点，，若直线的倾斜角为钝角，求的取值范围 【答案】或. 【分析】由直线的倾斜角为钝角得出斜率为负值，将点代入斜率公式即可求出的取值范围. 【详解】∵倾斜角为钝角，∴， ∴，，解得或， ∴的取值范围为或. 19．已知． (1)求直线和的斜率； (2)若点D在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线的斜率为，直线的斜率为． (2)． 【分析】（1）由两点间斜率公式计算即可. （2）由图象结合斜率的变化求解即可. 【详解】（1）因为， 由斜率公式可得直线的斜率． 直线的斜率． 故直线的斜率为，直线的斜率为． （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线的斜率由增大到， 所以直线的斜率的变化范围是． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $