专题11 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题11 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 一、知识梳理 （1）两点间距离公式 在平面直角坐标系中的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离 |OP|＝． （2）线段的中点坐标公式 在平面直角坐标系中的两点A(x1，y1), B(x2，y2)，线段AB的中点为M(，)，则有 ， 二、题型精练 题型1 两点间距离公式 【典例1】．已知两点、，则（   ） A． B． C．3 D．5 【典例2】．、且，则（    ） A． B．6 C．或6 D．或2 【典例3】．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 题型2 线段的中点坐标公式 【典例1】．已知和，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．点关于点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．在中，已知，，，为边的中点，则线段的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【典例4】．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则AB的长为（　　） A．10 B．5 C．8 D．6 三、知识检测 1．已知点，，则以为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．点关于y轴的对称点N到原点的距离为（　　） A．2 B．1 C． D．5 3．已知两点，点关于点对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．轴上一点到原点的距离为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，且的中点坐标为，则m，n的值（    ） A． B． C． D． 6．三个顶点的坐标分别为、、，则三角形边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 7．一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点的坐标为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则等于（　） A．5 B． C． D． 9． 若点、，则线段的长度是 ，线段的中点坐标为 . 10． 已知点关于点的对称点为，则 ， ． 11． 已知点，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为 ． 12． 若点是线段AB的中点，点A的坐标为，则点B的坐标为 ； 13． 若点，且中点为，则 . 14． 已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 15．把五子棋棋盘看作直角坐标系，如图所示    (1)写出点的坐标； (2)求两点的中点坐标； (3)求两点间的距离． 16．已知的三个顶点，求 (1)边上的中点D的坐标； (2)计算边上的中线的长度； 17． 已知点，，在x轴上找一点P使得，并求出的值. 18．已知三角形的三个顶点的坐标分别为，，，判断的形状. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 一、知识梳理 （1）两点间距离公式 在平面直角坐标系中的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离 |OP|＝． （2）线段的中点坐标公式 在平面直角坐标系中的两点A(x1，y1), B(x2，y2)，线段AB的中点为M(，)，则有 ， 二、题型精练 题型1 两点间距离公式 【典例1】．已知两点、，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由两点的距离公式即可得解. 【详解】由两点、， 知. 故选：B. 【典例2】．、且，则（    ） A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】因为、且， 所以，化简为， 即或， 故选：D. 【典例3】．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 题型2 线段的中点坐标公式 【典例1】．已知和，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式即可直接求出答案． 【详解】∵和， ∴的中点坐标为， 故选：A． 【典例2】．点关于点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点对称的性质，结合中点坐标公式即可得解. 【详解】因为所求点与点关于点对称， 所以点是所求点与点的中点， 则所求点的坐标为，即. 故选：A. 【典例3】．在中，已知，，，为边的中点，则线段的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用中点坐标公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得，边的中点. 由两点间的距离公式得|AD|＝＝. 故选：C. 【典例4】．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则AB的长为（　　） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】设，由中点公式，可求得，的值，再根据两点间的距离公式可求解. 【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上， 故设. 又因为线段AB的中点M的坐标是， 所以，解得. 所以. 故选：A 三、知识检测 1．已知点，，则以为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点坐标公式求值即可. 【详解】已知圆的直径的中点即为圆心， 则由，， 可得线段中点为，即， 所以以为直径的圆的圆心坐标为. 故选：B. 2．点关于y轴的对称点N到原点的距离为（　　） A．2 B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据对称点的特征和两点间的距离公式即可求解. 【详解】因为点关于y轴的对称点， 所以点N到原点的距离为. 故选：C． 3．已知两点，点关于点对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式计算即可. 【详解】由题可知：为两点的中点，所以，即. 故选：D 4．轴上一点到原点的距离为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点间的距离公式即可得解. 【详解】点到原点的距离为. ． 所以. 故选：. 5．已知点，且的中点坐标为，则m，n的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式列出方程组求解即可解得. 【详解】由题，，又知中点坐标为， 则，解得， 故选：A 6．三个顶点的坐标分别为、、，则三角形边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式与两点间距离公式可求. 【详解】的中点D的坐标为． ∴ 故选：A． 7．一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点的坐标为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据轴假设点的坐标，再根据求解即可. 【详解】轴，，故设， 又或，即或， 则点的坐标为或. 故选：A 8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则等于（　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求得点AB，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意得，设，则，解得. 即，所以. 故选：C. 9．若点、，则线段的长度是 ，线段的中点坐标为 . 【答案】 6 【分析】根据两点之间的距离公式可求出线段的长度，再由中点坐标公式求出中点坐标即可. 【详解】已知点、， 则， 线段的中点坐标为， 即， 故答案为：6，. 10．已知点关于点的对称点为，则 ， ． 【答案】 12 【分析】根据题意可知，三点共线，且为的中点，根据中点坐标公式求解. 【详解】∵点关于点的对称点为, ∴点为点与的中点， 故有 故答案为:12,. 11．已知点，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】设点P的坐标为，然后利用两点距离公式可求. 【详解】设点P的坐标为，由得， 解得或. ∴点P的坐标为或． 故答案为：或. 12．若点是线段AB的中点，点A的坐标为，则点B的坐标为 ； 【答案】 【分析】利用线段的中点坐标公式即可得解. 【详解】依题意，设， 因为点是线段AB的中点，点A的坐标为， 所以，解得，即. 故答案为：. 13．若点，且中点为，则 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式，求出的值，再根据两点之间的坐标公式求值即可. 【详解】已知点，且中点为， 则由中点坐标公式得，解得. 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解. 【详解】由已知，， 设AB的中点为D，AB的中点D坐标为， ， AB边上的中线长为. 故答案为：. 15．把五子棋棋盘看作直角坐标系，如图所示    (1)写出点的坐标； (2)求两点的中点坐标； (3)求两点间的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据坐标图中各点的位置写出坐标即可. （2）根据两点的中点坐标公式写出中点坐标即可. （3）根据两点之间的距离公式求值即可. 【详解】（1）如图可知，，. （2）由（1）可知，， 则两点的中点坐标为，即. （3）由（1）可知，， 则, 所以两点间的距离为. 16．已知的三个顶点，求 (1)边上的中点D的坐标； (2)计算边上的中线的长度； 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据中点坐标公式求值即可. （2）根据两点之间的距离公式求值即可. 【详解】（1）已知的三个顶点， 则边上的中点D的坐标为，即. （2）边上的中线为， 则. 17．已知点，，在x轴上找一点P使得，并求出的值. 【答案】 【分析】设，再根据两点之间的距离公式表示出，并列方程求出的值，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】设，则，， 由，得， 解得，所以， 所以. 18．已知三角形的三个顶点的坐标分别为，，，判断的形状. 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据距离公式求出三角形的边长即可求解. 【详解】∵， ∴，，， ∵，∴是等腰三角形， 又∵， ∴由勾股定理逆定理得是直角三角形， ∴是等腰直角三角形. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $