02平行线预习讲义2025-2026学年人教版七年级下学期数学预习讲义

2025-2026学年七年级下学期数学第七章相交线与平行线02平行线预习讲义 （人教版）（思维导图+5大知识点+17题型解读+18强化提升） 01思维导图 02知识点速记 知识点1、定义与公理 （1）. 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示“∥” 直线 a 与直线 b 平行，记作 a ∥l b。 注意： 强调“在同一平面内”，在空间中不相交的直线不一定是平行线（可能是异面直线）。 （2）平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（（平行线的传递性） 即：若 a ∥l b，且 c ∥ b，则 a ∥c. 知识点2、平行线的判定方法 1、基本判定方法（核心依据） 同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同位角（位置相同，在截线同侧、被截线同方向的角）相等，则这两条直线平行。 示例：如图，若∠1=∠2，则 AB∥CD。 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角（在截线两侧、被截线之间的角）相等，则这两条直线平行。 示例：如图，若∠2=∠3，则 AB∥CD。 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角（在截线同侧、被截线之间的角）之和为 180°，则这两条直线平行。 示例：如图，若∠2+∠4=180°，则 AB∥CD。 2、 由基本方法推导 3、 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行公理的推论） 若直线 a∥b，直线 c∥b，则 a∥c。 适用于判断三条及以上直线的平行关系。 垂直于同一条直线的两条直线互相平行（仅限同一平面内） 在同一平面内，若直线 a⊥c，直线 b⊥c，则 a∥b。 此结论仅在同一平面内成立，空间中垂直于同一直线的两条直线可能相交或异面。 3、补充说明（易混点提醒） 判定平行线的前提：两条直线被同一条第三条直线所截，否则无法形成同位角、内错角、同旁内角。 知识点3、平行线的性质 1、核心性质（根据线平行推角关系） a.两直线平行，同位角相等 若两条平行线被第三条直线所截，则同位角（截线同侧、被截线同方向的角）相等。 b.两直线平行，内错角相等 若两条平行线被第三条直线所截，则内错角（截线两侧、被截线之间的角）相等。 C.两直线平行，同旁内角互补 若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角（截线同侧、被截线之间的角）之和为 180°。 知识点4、平行线间距离的补充 平行直线间的距离处处相等 两条平行线中，任意一条直线上的点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线间的距离。 应用：可用于证明三角形、平行四边形的面积相等。 如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 若 a∥b，且 c⊥a，则 c⊥b。 注意：此性质在同一平面内和空间中均成立。 知识点5、平行线判定与性质的区别 类别 逻辑方向 核心口诀 典型句式 判定 角的的关系 由角定线 因为∠1=∠2，所以 AB∥CD 性质 线的平行 由线定角 因为 AB∥CD，所以∠1=∠2 03题型解读 题型解读1平面内两直线的位置关系 例1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 变式1．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 变式2．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 题型解读2立体图形中平行的棱 例2．如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 变式1.．观察下图所示的长方体，回答下列问题． (1)用符号表示两棱的位置关系： ， ， ， ； (2)与所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 变式2．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    题型解读3用直尺三角板画平行线 例3．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 变式1.．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 变式2．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 题型解读4平行公理的应用 例4．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是 ． 变式2．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． （1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． （2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为______． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______． 题型解读5平行公理的推论的应用 13．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式1．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 变式2．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 题型解读6同位角相等，两直线平行 例6．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 变式2．如图，，试证明． 题型解读7内错角相等，两直线平行 例7．如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 变式1．如图，请写出一个能使的条件： ． 变式2．完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 题型解读8同旁内角互补，两直线平行 例8．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 变式1．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 变式2．如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 题型解读9在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例9．已知，，是同一平面内的三条不同直线，且，，则，的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．不能确定 变式1．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 变式2．已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 题型解读10两直线平行，同位角相等 例10．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线a、b被直线c所截，若，，则 ． 变式2．已知：如图，，，，，请问吗？说明理由． 题型解读11两直线平行，内错角相等 例11．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 变式2．已知：如图，，．求证：． 题型解读12两直线平行，同旁内角互补 例12．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向连通管道的夹角（点，在一条直线上），那么管道与纵向连通管道的夹角的度数等于（　　）    A． B． C． D． 变式1．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 变式2．如图，，，．求证：． 题型解读13根据平行线的性质探究角的关系 例13．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 变式1．已知的两边与的两边互相平行，且比的两倍小，则 ． 变式2．综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 题型解读14根据平行线的性质求角的度数 例14．如图，，垂直于于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，分别平分，则 ． 变式 2．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 题型解读15平行线的性质在生活中的应用 例15．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） “ A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 变式1．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 变式2．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 题型解读16根据平行线判定与性质求角度 例16．如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为 ． 变式2．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 题型解读17根据平行线判定与性质证明 例17．如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 变式1．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有 （填序号）． 变式2．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 04强化提升 一、单选题 1．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 2．下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 4．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 6．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 8．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有 ．（写出所有正确条件的序号） 9．如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ． 10．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 11．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 12．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 三、解答题 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 14．如图所示， 由，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 15．（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 16．如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 17．如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 18．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学第七章相交线与平行线02平行线预习讲义 （人教版）（思维导图+5大知识点+17题型解读+18强化提升） 01思维导图 02知识点速记 知识点1、定义与公理 （1）. 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示“∥” 直线 a 与直线 b 平行，记作 a ∥l b。 注意： 强调“在同一平面内”，在空间中不相交的直线不一定是平行线（可能是异面直线）。 （2）平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（（平行线的传递性） 即：若 a ∥l b，且 c ∥ b，则 a ∥c. 知识点2、平行线的判定方法 1、基本判定方法（核心依据） 同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同位角（位置相同，在截线同侧、被截线同方向的角）相等，则这两条直线平行。 示例：如图，若∠1=∠2，则 AB∥CD。 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角（在截线两侧、被截线之间的角）相等，则这两条直线平行。 示例：如图，若∠2=∠3，则 AB∥CD。 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若同旁内角（在截线同侧、被截线之间的角）之和为 180°，则这两条直线平行。 示例：如图，若∠2+∠4=180°，则 AB∥CD。 2、 由基本方法推导 3、 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行公理的推论） 若直线 a∥b，直线 c∥b，则 a∥c。 适用于判断三条及以上直线的平行关系。 垂直于同一条直线的两条直线互相平行（仅限同一平面内） 在同一平面内，若直线 a⊥c，直线 b⊥c，则 a∥b。 此结论仅在同一平面内成立，空间中垂直于同一直线的两条直线可能相交或异面。 3、补充说明（易混点提醒） 判定平行线的前提：两条直线被同一条第三条直线所截，否则无法形成同位角、内错角、同旁内角。 知识点3、平行线的性质 1、核心性质（根据线平行推角关系） a.两直线平行，同位角相等 若两条平行线被第三条直线所截，则同位角（截线同侧、被截线同方向的角）相等。 b.两直线平行，内错角相等 若两条平行线被第三条直线所截，则内错角（截线两侧、被截线之间的角）相等。 C.两直线平行，同旁内角互补 若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角（截线同侧、被截线之间的角）之和为 180°。 知识点4、平行线间距离的补充 平行直线间的距离处处相等 两条平行线中，任意一条直线上的点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线间的距离。 应用：可用于证明三角形、平行四边形的面积相等。 如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 若 a∥b，且 c⊥a，则 c⊥b。 注意：此性质在同一平面内和空间中均成立。 知识点5、平行线判定与性质的区别 类别 逻辑方向 核心口诀 典型句式 判定 角的的关系 由角定线 因为∠1=∠2，所以 AB∥CD 性质 线的平行 由线定角 因为 AB∥CD，所以∠1=∠2 03题型解读 题型解读1平面内两直线的位置关系 例1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 变式1．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 变式2．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 题型解读2立体图形中平行的棱 例2．如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 变式1.．观察下图所示的长方体，回答下列问题． (1)用符号表示两棱的位置关系： ， ， ， ； (2)与所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】【答题空1】∥ 【答题空2】⊥ 【答题空3】⊥ 【答题空4】∥ 【答题空5】不是 【答题空6】同一平面 【分析】根据长方体的结构特点及平行线、垂线的定义可知：，，，，与所在的直线不相交,它们不是平行线,在同一平面内,两条不相交的直线才是平行线, 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴ 故答案为：，，，． （2）与不在同一平面内，与所在的直线不相交，它们不是平行线， ∴平行线的定义，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线． 不是，同一平面． 【点睛】本题考查平行线的定义，相交线，掌握平行线的定义是解题关键． 变式2．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    题型解读3用直尺三角板画平行线 例3．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 变式1.．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 变式2．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 题型解读4平行公理的应用 例4．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线，说法错误． 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 变式1．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，理解题意是解题关键． 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可得． 【详解】解：∵， ∴， 则点三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 变式2．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． （1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． （2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为______． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】（1）根据网格结构作出的垂线即可； （2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得与的位置关系以及结论． 【详解】解：（1）如图，，D为垂足； （2）如图，，， 与的位置关系为平行； 结论：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键． 题型解读5平行公理的推论的应用 13．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 变式1．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 变式2．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 题型解读6同位角相等，两直线平行 例6．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 变式1．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 变式2．如图，，试证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角求出的度数，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型解读7内错角相等，两直线平行 例7．如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1．如图，请写出一个能使的条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法，利用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行解决问题即可． 【详解】解：当（答案不唯一）时，， 故答案为：． 变式2．完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型解读8同旁内角互补，两直线平行 例8．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 变式1．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 变式2．如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用． 利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，根据内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，根据同位角相等，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，根据同旁内角互补，两直线平行得，故C不符合题意； D、与不属于同位角或内错角，故不能判定，故D符合题意， 故选：D． 题型解读9在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例9．已知，，是同一平面内的三条不同直线，且，，则，的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可确定答案． 【详解】解：在同一平面内，若两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行． ∵直线和直线均垂直于直线，如图： ∴ ∴ 即与的位置关系为互相平行． 故选：A． 变式1．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，平面内两直线的位置关系；根据平行线的性质与判定，以及平面内两直线的位置关系逐项分析判断，即可求解． 【详解】①在“一点”前缺少“直线外”的限制；故①错误 ②三条直线也可以交于一点；故②错误 ③若在同一平面内，，，则；若不在同一平面内，和有多种位置关系；故③错误 ④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．正确． 故答案为：①②③． 变式2．已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对顶角的定义，反向延长分别到点C和点D，则即为所求． （2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图即可． （3）根据平行线的性质解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反向延长分别到点C和点D， ． 则即为所求． （2）解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图如下： 则直线交于点N，直线交于点M； 则直线即为所求． （3）解：根据，， 故，， 则， 又， 故． 题型解读10两直线平行，同位角相等 例10．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．如图，直线a、b被直线c所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据对顶角的性质求出，再根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．已知：如图，，，，，请问吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，垂直的定义，掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． 先证明，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：．理由如下∶ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． 题型解读11两直线平行，内错角相等 例11．如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 变式1．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．已知：如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系，解题的关键在于利用平行线的判定与性质，通过角的和差关系推导出新的平行线，进而证明角相等．如图，根据，可得，再通过角的和差关系得到，从而推导出，最后根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：如图， ， ， ， ， ， 即， ， ． 题型解读12两直线平行，同旁内角互补 例12．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向连通管道的夹角（点，在一条直线上），那么管道与纵向连通管道的夹角的度数等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 变式1．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 变式2．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据，得出，根据，，可得，进而得出，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型解读13根据平行线的性质探究角的关系 例13．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．已知的两边与的两边互相平行，且比的两倍小，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，分两种情况：当与相等时；当与互补时；分别利用平行线的性质，列出一元一次方程，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 如图：当与相等时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得，即； 如图，当与互补时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 变式2．综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， ． 题型解读14根据平行线的性质求角的度数 例14．如图，，垂直于于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、垂线，根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 变式1．如图，分别平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式 2．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由对顶角相等和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明，得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ∴， ∵平分， ， ， ． 题型解读15平行线的性质在生活中的应用 例15．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） “ A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于理解图形构造背后的原理，根据题意，其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等． 【详解】解：根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等． 故选C． 变式1．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型解读16根据平行线判定与性质求角度 例16．如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 变式1．如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由同位角相等，两直线平行得到，再由平行线的性质得到，据此求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 题型解读17根据平行线判定与性质证明 例17．如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 变式1．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 变式2．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 04强化提升 一、单选题 1．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 2．下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：同位角不一定相等，故①错误； 对顶角相等，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；故④正确； 故选B． 3． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 4．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 5．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴（同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故选：D． 6．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 【答案】 平行 相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交， 故答案为：平行，相交． 8．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有 ．（写出所有正确条件的序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【详解】①若，无法判断； ②若，则； ③若，无法判断； ④若则； ⑤若，无法判断； 故答案为：②④ 9．如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线 ． 【答案】， 【分析】由，，可得再证明可得 【详解】解： ，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键. 10．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 11．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 【答案】 不能 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，解题的关键是理解并运用平行公理来判断直线与直线的平行关系． 根据平行公理判断叶子与地面是否平行． 【详解】解：平行公理为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 在本题中，把地面看作一条直线，风车的轴心可看作直线外一点，当叶子旋转到与地面平行时，因为经过风车轴心（直线外一点），有且只有一条直线与地面平行，此时已与平行，所以另一片叶子不能与地面平行． 故答案为：不能；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 三、解答题 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，平行线，垂线，垂线段最短． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点A画垂线即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【详解】（1）解：直线即为所求； （2）解：线段即为所求； （3）解：线段即为所求； （4）点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 14．如图所示， 由，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行；B；同旁内角互补，两直线平行；B；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握三个判定是解决问题的关键． 【详解】解：由，可判断直线， 理由是内错角相等，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同旁内角互补，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同位角相等，两直线平行． 15．（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 16．如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【答案】(1)图见解析 (2)30； (3)错误 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，角的和差关系，平行线的判定： （1）根据垂线的定义，画图即可； （2）根据角的和差关系求出的度数，根据平行线的判定方法，得到与的位置关系即可； （3）根据点到直线的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：画图如下：    （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴线段之长等于点D到直线的距离， 故原说法是错误的； 故答案为：错误． 17．如图是一个正方形网格，的三个顶点A、B、C在格点上．请在网格上按要求作图并回答问题： (1)延长线段到点D，使；过点C作的垂线，垂足为点E；过A点作，交直线于点F； (2)用“”、“”或“＝”填空： _____，理由是：___________； (3)结合所作图形，写出一个与相等的角_______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了画线段，平行线，垂线，垂线段最短的性质以及平行线的性质． （1）根据网格特征即可作图； （2）根据垂线段最短即可求解； （3）根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段，直线，直线即为所求； （2）解：由垂线段最短可得， 故答案为：，垂线段最短； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 18．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 学科网（北京）股份有限公司 $