（寒假讲义-复习篇）专题06 相交线与平行线、多边形（十三大重点考点练+优选题拔尖练 共36题）--2025-2026学年苏科版数学七年级上册精编培优讲练

专题06 相交线与平行线、多边形 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 【易错点拨】 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 角的名称 图示 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补 3. 对顶角与邻补角对比： 知识点二：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【易错点拨】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【易错点拨】 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 【易错点拨】 （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点三：同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 知识点四：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 知识点五：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 知识点六：多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 知识点七：正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 易错点拨 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 考点一：对顶角相等 【例】（25-26七年级上·北京海淀·期末）填空，完成下列解答过程． 如图，直线相交于点O，，是的角平分线，，求的度数． 解：，（已知）， ． 是的角平分线， ①_______． ②_______°． 直线相交于点O， ③_______，， ④_______°（⑤_______）． 【答案】①，②22，③，④22，⑤同角的余角相等 【思路引导】本题考查了角平分线定义，垂直定义，互余，角的和差，对顶角的性质，数形结合是解此题的关键．根据垂直定义，角平分线定义，角的和差，平角，同角的余角相等等知识回答即可． 【完整解答】解：，（已知）， ． 是的角平分线， ． ． 直线相交于点O， ，， （同角的余角相等）． 故答案为：①，②22，③，④22，⑤等角的余角相等． 【变式】（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【思路引导】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 考点二：找邻补角 【例】．（24-25七年级上·黑龙江大庆·月考）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)或 (2)， 【思路引导】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可． 【完整解答】（1）解：∵是的平分线， 由角平分线的性质可得， 又∵，， ∴， ∴的补角是或． 故答案为：或； （2）由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【变式】已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【思路引导】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【完整解答】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 考点三：利用邻补角互补求角度 【例】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查角的运算.掌握角的和差关系是解题的关键. （1）结合，，，即可求得答案； （2）结合，，即可求得答案． 【完整解答】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式】．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】如图，点在直线上，射线在上方，且．    【问题再现】（1）如图1，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，在内部从左到右依次作射线、，使得，平分，若，求的度数；（用含的代数式表示，并化为最简） 【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据平角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再根据角的和差关系求解即可； （3）根据角的和差关系和角平分线的定义求出，进而求出，然后结合求解即可． 本题主要考查了平角，角平分线的定义等知识，运用数形结合思想是解题关键． 【完整解答】（1）解：， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 【例】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【完整解答】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【完整解答】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 考点五：根据平行线的性质求角的度数 【例】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【考点再现】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点六：平行线的性质在生活中的应用 【例】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【完整解答】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 【变式】（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【完整解答】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 考点七：根据平行线判定与性质求角度 【例】（25-26七年级上·山西·月考）如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ． 【答案】或/或 【思路引导】本题主要考查了几何图中的角度计算问题，角平分线的有关计算，平行线的判定和性质等知识，根据题意分两种情况，当射线在直线上方时和当射线在直线下方时，画出图形分别求解即可． 【完整解答】解：根据题意分两种情况： 当射线在直线上方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线在直线下方时： 同理可得出，， ∴ 综上：的度数为或． 故答案为：或． 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键． 【探究】根据平行线性质即可求证； 【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解； （2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可． 【完整解答】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 考点八：根据平行线判定与性质证明 【例】（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是利用垂直得直角、对顶角相等、角平分线分角等条件，结合平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）进行推理． （1）由、得，结合推出，利用内错角相等，两直线平行，证． （2）由对顶角相等得，结合得，证，得；再由角平分线定义得、，推出，利用内错角相等，两直线平行，证． 【完整解答】（1）证明：， ， ，，， ， ． （2）证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ． 【变式】（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【完整解答】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 考点九：利用平行线间距离解决问题 【例】（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【思路引导】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【完整解答】解：， ， ， ， ， ，即， ． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【完整解答】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 考点十：同位角、内错角、同旁内角 【例】（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列正确说法的个数是（    ） ①三条直线，，，若，，则；②若，则B为的中点； ③正整数和负整数统称为整数；④同位角相等；⑤相等的两个角是对顶角； ⑥若代数式与是同类项，则的值为5． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线的传递性、线段中点的定义、同位角、对顶角、同类项等知识点，根据相关知识点，分别判断每个说法的正确性，即可得出结论． 【完整解答】解：∵，， ∴，故①正确； ∵点不一定共线， ∴不一定为中点，故②错误； 正整数、负整数和0统称为整数，故③错误； 同位角不一定相等，故④错误； 相等的两个角不一定是对顶角，故⑤错误； ∵代数式与是同类项， ∴，， ∴， ∴，故⑥正确； 综上，正确说法为①⑥，共2个． 故选：A． 【变式】（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【思路引导】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【完整解答】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 考点十一：多边形截角后的边数问题 【例】（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【完整解答】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 【变式】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【思路引导】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【完整解答】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【考点再现】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 考点十二：多边形对角线的条数问题 【例】（24-25七年级上·山东济南·期末）下列说法错误的是（   ） A．9时30分时钟表的时针和分针的夹角是 B．与是同类项，那么 C．若，则点B是线段的中点 D．从n边形的一个顶点引出的对角线有条 【答案】C 【思路引导】本题考查钟面角、线段的中点、同类项、多边形的对角线，掌握相关的概念是解决本题的关键． 根据相关概念逐项判断即可． 【完整解答】解：A、∵9时30分时，钟表的时针指向9和10中间，分针指向6， ∴时针和分针的夹角，选项说法正确，不符合题意； B、∵同类项要求相同字母指数相同， ∴， 解得，选项说法正确，不符合题意； C、∵时，点B不一定在线段上（如等腰三角形顶点）， ∴B不一定是的中点，选项说法错误，符合题意； D、∵从n边形一个顶点引出对角线时，排除自身及相邻两个顶点， ∴有条对角线，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式】（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【完整解答】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 考点十三：对角线分成的三角形个数问题 【例】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查多边形的性质，由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答． 【完整解答】解：由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， 那么边形被分为个三角形． 当时，即八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为， 故答案为：6． 【变式】（2025八年级上·全国·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【思路引导】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【完整解答】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差. 由题意可得，即得，得到，再根据角平分线的定义求出即可求解，正确识图是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后根据角的和差关系及邻补角可进行求解． 【完整解答】解：∵， ∴，③正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴与互余，①正确； ∵， ∴， ∴与互补，②正确； ∵， ∴；④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共4个； 故选D． 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，， ，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 先根据平行线的性质得到，再根据等角的余角相等得到，则利用得到，于是可对①进行判断；所以，由于，则，然后利用1不能确定等于可对②进行判断；根据平行线的性质得到即所以从而得到，于是可对③进行判断；根据角平分线的定义得到，，而，所以由，然后根据四边形的内角和可计算出，从而可对④进行判断． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，①正确； ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵不能确定等于， ∴不成立，②错误； ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴ ， 在四边形中， ，④正确． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【思路引导】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【完整解答】如图，共有10种 故选：B 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【思路引导】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【完整解答】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 6．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【完整解答】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【完整解答】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 8．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在内部作射线，，射线平分，若，则的度数为______； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，使，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】本题考查角平分线性质，平角定义，利用角度比计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）根据角平分线性质和平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线性质列方程求解即可； （3）由（2）可得，由得，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵点A，O，B在同一直线上， ∴； （2）解：设，， ∵射线平分，射线平分， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：如图： 由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为或． 10．（25-26七年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【思路引导】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【完整解答】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相交线与平行线、多边形 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 【易错点拨】 (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 角的名称 图示 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补 3. 对顶角与邻补角对比： 知识点二：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【易错点拨】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【易错点拨】 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 【易错点拨】 （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点三：同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 知识点四：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 知识点五：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 【易错点拨】 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 知识点六：多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 知识点七：正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 易错点拨 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 考点一：对顶角相等 【例】（25-26七年级上·北京海淀·期末）填空，完成下列解答过程． 如图，直线相交于点O，，是的角平分线，，求的度数． 解：，（已知）， ． 是的角平分线， ①_______． ②_______°． 直线相交于点O， ③_______，， ④_______°（⑤_______）． 【变式】（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 考点二：找邻补角 【例】．（24-25七年级上·黑龙江大庆·月考）如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【变式】已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 考点三：利用邻补角互补求角度 【例】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式】．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】如图，点在直线上，射线在上方，且．    【问题再现】（1）如图1，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，在内部从左到右依次作射线、，使得，平分，若，求的度数；（用含的代数式表示，并化为最简） 【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 【例】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【变式】（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 考点五：根据平行线的性质求角的度数 【例】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 考点六：平行线的性质在生活中的应用 【例】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【变式】（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 考点七：根据平行线判定与性质求角度 【例】（25-26七年级上·山西·月考）如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ． 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 考点八：根据平行线判定与性质证明 【例】（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【变式】（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 考点九：利用平行线间距离解决问题 【例】（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 考点十：同位角、内错角、同旁内角 【例】（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列正确说法的个数是（    ） ①三条直线，，，若，，则；②若，则B为的中点； ③正整数和负整数统称为整数；④同位角相等；⑤相等的两个角是对顶角； ⑥若代数式与是同类项，则的值为5． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 考点十一：多边形截角后的边数问题 【例】（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 考点十二：多边形对角线的条数问题 【例】（24-25七年级上·山东济南·期末）下列说法错误的是（   ） A．9时30分时钟表的时针和分针的夹角是 B．与是同类项，那么 C．若，则点B是线段的中点 D．从n边形的一个顶点引出的对角线有条 【变式】（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 考点十三：对角线分成的三角形个数问题 【例】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为 ． 【变式】（2025八年级上·全国·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，， ，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 6．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 8．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在内部作射线，，射线平分，若，则的度数为______； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，使，若，求的度数． 10．（25-26七年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $