（寒假讲义-复习篇）专题04 几何体的展开与折叠、三视图（九大重点考点练+优选题拔尖练 共28题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精编培优讲练

专题04 几何体的展开与折叠、三视图 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：正方体的平面展开图 1.平面展开图：有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应空间几何体的平面展开图. 2.正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 知识点二：常见空间几何体的平面展开图 知识点三：主视图、左视图、俯视图 一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图. 要点：一个物体的三视图由主视图、左视图和俯视图组成.其中，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示． 　　　　　　　　　　　　　 考点一：几何体展开图的认识 【例】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）下面图形分别是哪种几何体的表面展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：__________，图2：__________；图3：__________ （2）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【变式】（24-25七年级上·吉林·期末）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题． (1)聪聪一共剪开了______条棱； (2)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，则他有______种粘贴方法，请你帮他在①上补全一种情况． (3)经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是原长方体高的倍．若该纸盒所有的棱长和是，求这个纸盒的体积． 考点二：由展开图计算几何体的表面积 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 【变式】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家定制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，请用含a，b，c的代数式表示制作一个该长方体纸箱需要__________平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？此时的最大外围周长是__________．（直接写出答案） 考点三：由展开图计算几何体的体积 【例】（25-26七年级上·吉林长春·月考）【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 【变式】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 考点四：正方体几种展开图的识别 【例】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，正方体盒子的外表面上画有一个五角星和两根细线，将这个正方体盒子的表面展开，外表面朝上，则展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·广东揭阳·期中）问题情境：小明在学习中发现：棱长为的正方体的表面展开图面积为，但是反过来，在面积为的长方形纸片（如图，图中小正方形的边长为）上是画不出这个正方体表面展开图的．于是，爱思考的小明就想：要画出（沿着网格线画）这个正方体的表面展开图，最少需要选用多大面积的长方形纸片呢？ 问题解决：小明仔细研究正方体的表面展开图的11种不同情形后发现，至少要用“”和“”两种不同的长方形纸片才能剪出一个正方体的表面展开图． (1)请你在图的两个网格中分别画出一种； (2)拓展延伸：若要在如图所示的“”和“”的两种规格的长方形纸片上分别剪出两个正方体的表面展开图，请在图中画出裁剪方法．（提示：可用不同阴影表示） 考点五：正方体相对两面上的字 【例】（25-26七年级上·贵州·期末）某校七（1）班小明在期末复习期间，他碰到了这样一道习题： 如图所示是一个正方体表面展开图，正方体的每个面上都写着一个整式，且相对两个面上的整式的和都相等．请根据展开图回答下列问题： (1)与A相对的面是 ；与B相对的面是 ；（填写字母） (2)小明发现A面上的整式为：，B面上的整式为：，C面上的整式为：，D面上的整式为：，请你求出F面上的整式； (3)在（2）的条件下，当时，求出F面上的整式的值． 【变式】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 考点六：含图案的正方体的展开图 【例】下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·山东枣庄·月考）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 考点七：求展开图上两点折叠后的距离 【例】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    考点八：补一个面使图形围成正方体 【例】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【变式】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，小明同学设计了某个产品的正方体包装盒，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你帮小明把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得．（直接在图中填上） 考点九：从不同方向看几何体 【例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是6个棱长为1的正方体组成的几何体． (1)该几何体的体积是________，表面积是________（包括底面）； (2)请你利用下边的三个网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形． 【变式】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 1．（25-26七年级上·福建泉州·月考）一个立体图形，从前面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形至少需要小正方体（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 3．（23-24七年级上·贵州黔西·月考）用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是由一些相同的小立方块构成的几何体从左面和上面看到的形状图，这些相同方块最多个数记为p个，最少个数记为q个，求的值为 ． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是 ． 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）用小立方块搭一个几何体，使从前面和上面看到的图形如图所示，则它最少需要的小立方块的个数是 ． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ． 8．（25-26七年级上·四川成都·期中）请完成下列问题： (1)如图一是用若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，在下方网格中用粗实线画出这个几何体从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形． (2)求（1）问中这个几何体的表面积（包括底面）； (3)如图二是一张长方形纸片，长为4，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 9．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，图1，图2是两个几何体的表面展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：__________，图2：__________； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，请求出的值． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______cm； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，你能设计一个外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图，标注长度，并求出该长方体表面展开图的最大外围周长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何体的展开与折叠、三视图 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 知识点一：正方体的平面展开图 1.平面展开图：有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应空间几何体的平面展开图. 2.正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 知识点二：常见空间几何体的平面展开图 知识点三：主视图、左视图、俯视图 一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图. 要点：一个物体的三视图由主视图、左视图和俯视图组成.其中，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示． 　　　　　　　　　　　　　 考点一：几何体展开图的认识 【例】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）下面图形分别是哪种几何体的表面展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：__________，图2：__________；图3：__________ （2）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）三棱柱；圆锥；六棱柱；（2）见解析 【思路引导】本题考查了几何体的展开图、从不同方向看几何体． （1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为3、1、2，从左面看有2列，每列小正方形的数目是3、3，据此可画出图形． 【完整解答】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是三棱柱，图2是圆锥，图3是六棱柱， 故答案为：三棱柱；圆锥；六棱柱； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为3、1、2，从左面看有2列，每列小正方形的数目是3、3，如图： 【变式】（24-25七年级上·吉林·期末）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题． (1)聪聪一共剪开了______条棱； (2)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，则他有______种粘贴方法，请你帮他在①上补全一种情况． (3)经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是原长方体高的倍．若该纸盒所有的棱长和是，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8； (2)4； (3)． 【思路引导】本题考查了长方体的展开图，长方体的体积，熟练掌握展开图是解题的关键． （1）根据展开图，判断聪聪剪开了8条棱，解得即可； （2）根据长方体展开图的基本意义，解答即可． （3）设长方体的高为，根据题意，得长宽都是，列式列式解答即可． 【完整解答】（1）解：根据展开图，得聪聪剪开了8条棱， 故答案为：8． （2）解：根据展开图的意义，可得到如下4种粘贴方式： 故答案为：4． （3）解：设长方体的高为，根据题意，得长、宽都是， 根据题意，得，整理得， 解得． ∴长、宽都是， ∴体积为： ． 答：长方体的体积为． 考点二：由展开图计算几何体的表面积 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2)216 【思路引导】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积再减去底面面积即可求解； 【完整解答】（1）解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， （2）解：该几何体的表面积是， 故答案为：216． 【变式】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家定制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，请用含a，b，c的代数式表示制作一个该长方体纸箱需要__________平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？此时的最大外围周长是__________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)图，，所需外包装盒的纸板面积分别为平方分米，平方分米，平方分米，图所需外包装盒的纸板面积更少； (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了列代数式，长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）结合长方体表面积公式列出代数式，即可解题； （2）分别计算出图，，所需外包装盒的纸板面积，再进行比较判断，即可解题． （3）要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【完整解答】（1）解：制作的长方体纸箱需要纸板面积为平方厘米， 故答案为：． （2）解：图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； 图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； 图所需外包装盒的纸板面积为： （平方分米）； ， 图所需外包装盒的纸板面积更少； （3）解：如图所示，此时外围周长最大， 最大外围周长为：； 故答案为：． 考点三：由展开图计算几何体的体积 【例】（25-26七年级上·吉林长春·月考）【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 【答案】（1）C；（2）卫；（3）①见详解；② 【思路引导】本题主要考查了展开图折叠几何体，正方体相对两面上的字，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次用虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点； ②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【完整解答】解：（1）无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体，∴A不符合题意； 故选：C； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是“卫”， 故答案为：卫； （3）①如图： ②折成的无盖纸盒的容积为： ． 【变式】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）综合与实践 【问题情境】 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） 【操作探究】 如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为 ； ②图3中的长方体纸盒的体积为 ． 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个无盖长方体纸盒，仿照图2的绘图方式，画出2种不同裁剪的设计图，并计算其体积． 【答案】（1）①③；（2）①40；②294；（3）见解析，图3的体积为，图4的体积为： 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【完整解答】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①③， 故答案为：①③； （2）①图2中的正方体的底面是边长为的正方形， 因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图3中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 图3的体积为： ， 图4的体积为：． 考点四：正方体几种展开图的识别 【例】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，正方体盒子的外表面上画有一个五角星和两根细线，将这个正方体盒子的表面展开，外表面朝上，则展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图形是解题的关键． 根据三个外表面的关系判断不存在对面的情况，根据此信息判断选项中的展开图的正误，同样的注意表面图形的形状是否会变化． 【完整解答】解：∵将外表面朝上展开这个正方体盒子的表面， ∴这三个面不存在是对面的情况， 对于A：两个细线的面是对面，不符合题意； 对于B：五角星和其中一个细线的面是对面，不符合题意； 对于C：若展开时细线的面在五角星面的上方，则细线应该为横线，不符合题意； 对于D：展开图正确，符合题意； 故选：D． 【变式】（24-25七年级上·广东揭阳·期中）问题情境：小明在学习中发现：棱长为的正方体的表面展开图面积为，但是反过来，在面积为的长方形纸片（如图，图中小正方形的边长为）上是画不出这个正方体表面展开图的．于是，爱思考的小明就想：要画出（沿着网格线画）这个正方体的表面展开图，最少需要选用多大面积的长方形纸片呢？ 问题解决：小明仔细研究正方体的表面展开图的11种不同情形后发现，至少要用“”和“”两种不同的长方形纸片才能剪出一个正方体的表面展开图． (1)请你在图的两个网格中分别画出一种； (2)拓展延伸：若要在如图所示的“”和“”的两种规格的长方形纸片上分别剪出两个正方体的表面展开图，请在图中画出裁剪方法．（提示：可用不同阴影表示） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路引导】本题主要考查正方体的展开图，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据正方体展开图的特点即可求解； （2）根据正方体展开图的特点即可求解； 【完整解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 考点五：正方体相对两面上的字 【例】（25-26七年级上·贵州·期末）某校七（1）班小明在期末复习期间，他碰到了这样一道习题： 如图所示是一个正方体表面展开图，正方体的每个面上都写着一个整式，且相对两个面上的整式的和都相等．请根据展开图回答下列问题： (1)与A相对的面是 ；与B相对的面是 ；（填写字母） (2)小明发现A面上的整式为：，B面上的整式为：，C面上的整式为：，D面上的整式为：，请你求出F面上的整式； (3)在（2）的条件下，当时，求出F面上的整式的值． 【答案】(1)D，F (2) (3)6 【思路引导】本题考查正方体表面展开图，理解正方体表面展开图的特征是解决问题的前提，掌握整式加减的计算法则是得出正确答案的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据相对的面的整式的和相等进行计算即可； （3）将x，y值代入计算即可． 【完整解答】（1）解：由正方体表面展开图可得， “A”与“D”是对面， “B”与“F”是对面， “C”与“E”是对面， 故答案为：D，F． （2）解：因为相对两个面上的整式的和都相等，所以：， 所以 ． （3）解：当时， ． 【变式】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了正方体展开图，通过邻面找对面，代数求值，解题的关键是找出对面． 根据图形找出对面，表示出代数式的值，然后代数求值即可． 【完整解答】解：由两个图可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；① 由第1个和第3个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；② ∴由第1个和第2个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴； 由①+②得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 考点六：含图案的正方体的展开图 【例】下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．根据有图案的表面之间的位置关系解答即可. 【完整解答】根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D． 故选D． 【变式】（25-26七年级上·山东枣庄·月考）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【答案】（1）①③④；（2）①B；②一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图；一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图，图见解析 【思路引导】本题考查了正方形展开图． （1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图2折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒B；②画图说明即可． 【完整解答】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． 考点七：求展开图上两点折叠后的距离 【例】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路引导】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【完整解答】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【完整解答】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    考点八：补一个面使图形围成正方体 【例】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【完整解答】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：； 填写如下： 【变式】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，小明同学设计了某个产品的正方体包装盒，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你帮小明把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得．（直接在图中填上） 【答案】(1)见解析； (2)见解析（答案不唯一）． 【思路引导】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键 （1）根据正方体展开图特点：中间4连方，上下各一个，中间3连方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法； （2）利用（1）的分析画出图形，把数字填上即可． 【完整解答】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4连方，上下各一个，中间3连方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，如下图是其中一种： ； （2）解：如图所示（答案不唯一）： ． 考点九：从不同方向看几何体 【例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是6个棱长为1的正方体组成的几何体． (1)该几何体的体积是________，表面积是________（包括底面）； (2)请你利用下边的三个网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形． 【答案】(1)6；26 (2)见解析 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是能正确辨认从不同方向观察到的图形． （1）根据几何体的体积和表面积公式计算即可； （2）根据题意作图即可． 【完整解答】（1）解：该几何体的体积是， 该几何体从正面或背面看，有5个小正方形；从左面或右面看，有4个小正方形；从上面或下面看，有4个小正方形， 则该几何体的表面积是； 故答案为：6；26； （2）解：如图， 【变式】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，熟练掌握及运用空间能力是做题的关键． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可； （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可； （3）把从不同方向看到的面积相加即可． 【完整解答】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）解：保持这个几何体从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块，如图所示： 故答案为：． （3）解：由图可得， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·福建泉州·月考）一个立体图形，从前面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形至少需要小正方体（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】此题考查了从不同方向看立体图形，同时考查根据不同方向看到的图形确定小正方体组合体最少数量的分析推理能力． 先通过从正面看到的图形明确小正方体的上下层位置分布，再结合从左面看到的图形确定立体图形的列数与层数，在满足两个形状要求的前提下，剔除冗余的小正方体摆放位置，从而计算出最少需要的小正方体数量． 【完整解答】解：从前面看，底部第一层有4个，第二层有1个，至少有5个，从左面看第二层最少有一个， 至少需要小正方体6个才能搭成这样的立体图形． 故选：B． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，可得3与9是相对面，5与x是相对面，4与y是相对面，然后根据已知可得：，从而可得：，，最后把x，y的值代入式子中进行计算即可解答． 【完整解答】解：由题意得：3与9是相对面，5与x是相对面，4与y是相对面， ∵正方体相对面上的两个数字之和相等， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 3．（23-24七年级上·贵州黔西·月考）用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义．在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，再根据表面积的定义求解． 【完整解答】解：最多时，小立方块的个数如俯视图所示． 则几何体左右各9个小正方形的面，上下各6个小正方形的面，前后各个小正方形的面， ∴表面积． 故选：D． 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是由一些相同的小立方块构成的几何体从左面和上面看到的形状图，这些相同方块最多个数记为p个，最少个数记为q个，求的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查从不同方向看几何体，以及代数式求值．根据从左面看和上面看的图形，得到小立方块最多与最少的个数情况，再代入中求解，即可解题． 【完整解答】解：由该几何体从左面和上面看到的形状图可知， 第一行只有1个小立方块， 第二行最少有4个小立方块，最多有6个小立方块， 第三行只有2个小立方块， ， ； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了立体图形的展开图，准确分析判断是解题的关键．通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系，来确定相对面的数字即可． 【完整解答】解：由题意可知：的相邻面有，，，；的相邻面有，，，， 的对面是；的对面是， 对面的数字是． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）用小立方块搭一个几何体，使从前面和上面看到的图形如图所示，则它最少需要的小立方块的个数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求由小立方体堆砌的几何体中小立方体的个数，根据图形确定每一列小立方块的最少个数，再相加即可求解，正确识图是解题的关键． 【完整解答】解：由图可知，左边列有个小立方块，中间列至少有个小立方块，右边列至少有个小立方块， ∴搭几何体最少需要的小立方块的个数是， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体；在上面看到的图形中标出相应的位置小立方体的数量可能的情况即可． 【完整解答】解：需要小立方块最多时，如图所示， 从图中可得：； 当需要小立方块最少时，如图所示， 从图中可得：； ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·四川成都·期中）请完成下列问题： (1)如图一是用若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体，在下方网格中用粗实线画出这个几何体从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形． (2)求（1）问中这个几何体的表面积（包括底面）； (3)如图二是一张长方形纸片，长为4，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积，面动成体，圆柱体积公式． （1）将从不同方向看几何体得到的图形画出来即可； （2）结合从不同方向看几何体得到的图形判断出表面正方形的个数即可得到答案． （3）根据面动成体得到长方形纸片绕边所在直线旋转一周形成的几何体，再结合圆柱体积公式求解，即可解题． 【完整解答】（1）解：从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形如下图所示： （2）解：这个几何体的表面积为：； （3）解：此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，形成的几何体为圆柱， 长为4，长为2， 该几何体的体积为：． 9．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，图1，图2是两个几何体的表面展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：__________，图2：__________； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，请求出的值． 【答案】(1)圆柱，三棱柱． (2)． 【思路引导】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，判断图1、图2对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、、的值，进而计算． 【完整解答】（1）解：图1：圆柱，图2：三棱柱， 故答案为：圆柱，三棱柱． （2）解：在图3的正方体展开图中，相对的面为：与，与，与． ∵ 相对的两个面上的数字之和均相等，且， ∴ ，解得； ． ∴． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______cm； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，你能设计一个外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图，标注长度，并求出该长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④，（2）①，②1000，（3）作图见详解，最大外围周长为70 【思路引导】本题考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何体的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可求解； ②根据长方体的体积公式即可求解； （3）要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，据此可得出答案． 【完整解答】解：（1）根据题意，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $