19.1 第1课时 平均数-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

指南针·八年级 =/MND+/NMD=90° (2)口BDFE为菱形.证明略 .四边形MNPQ是正方形. 【例4】解：(1)图中四边形ADEG是平行四边形.理由略 【变式训练2】(1)证明略 (2)当四边形ADEG是矩形时，/DAG=90°. (2)解：AB=7,AE=3, 则∠BAC=360°一∠BAD一∠DAG一∠GAC .'.AN=BE=AB-AE=4, =360°-45°-90°-90°=135°， .EN=√AE+AN=5, 即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形 .正方形EFMN的周长=4X5=20 章末测试题 课后演练 1.B2.B3.B4.不对5.√26.20 一、选择题 7.略8.略9.①②③④10.15°或45 1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.D 核心素养 、填空题 11.略 8 9.5cm10.30°或150° 专题训练六特殊四边形和反比例函数 11.112.(3)"-1 1.-12253y=是4-35号 6.1:5 三、解答题 7.(1)k=xy=4×8=32. 13.（1)略 (2)矩形OBEC的周长=6√3+6. (②)菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为9， 14.(1)略 (2)四边形CEPG的面积是婴。 15.(1)略 专题训练七 (2)AF=45 以特殊平行四边形为背景的计算和证明 16(1双画线为y=号 直线DE的解析式为y=3x一3 1.(1)EF=√2(2)略2.(1)DE=√40(2)略 3.略4.(1)FG=2.(2)略 (2)Sm=号 第18章专题复习 第19章 数据的分析 【例1】(1)证明：在矩形EFGH中， EH=FG,EH∥FG.∴.∠GFH=∠EHF, 19.1 数据的集中趋势 ∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF, ∴.∠BFG=∠DHE, 第1课时平均数 在菱形ABCD中，AD∥BC, 知识梳理 .∠GBF=∠EDH,.△BGF≌△DEH(AAS), 2a十十…十x）3+士… f1十f2+…+f .'.BG=DE: 典例精析 (2)解：如图，连接EG, 在菱形ABCD中，AD LBC, 【例1】解：x=号(14+26十53十37+30)=32. .E为AD中点，.AE=ED, 【变式训练1】D BG=DE,∴AE LBG, ∴.四边形ABGE为平行四边形， 【例2】 解：x=55+号[(51-55)+(53-55)十 ∴.AB=EG,在矩形EFGH中，EG (59-55)]=56. FH=2. 【变式训练2】85.4182 AB=2.菱形的周长为8. 【例3】解：1)由题意得=97+95+96=96（分， 【例2】解：过E作EF⊥DC于F, 3 ,四边形ABCD是正方形， c张=90+9+98≈95.7（分）， .AC⊥BD, 3 :CE平分∠ACD交BD于点E, 故王老师应被评为优秀 .EO=EF,.△COE≌△CFE, (2)x王=97×0.20+95×0.60+96×0.20 95.6(分)， .CO=CF,正方形ABCD的边长 为1， x张=90×0.20+99×0.60十98×0.20=97（分）， 故张老师应被评为优秀。 AC=E0=2AC-=号CF=C0=号 【变式训练3】(1)小明朗诵水平的成绩x是82分. (2)82.5>79,所以小文将被录用. ∴EF=DF=DC-CF-1-9, 【例4】解：由题意得： ∴.DE=√/EF+DF=√2一1. 十2十x3=3a,x4+…十0=7b, 【例3】证明：(1)，△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=a(a ∴z=ba十a十十a十…十0)=2t 10 <60),线段AD绕，点A顺时针旋转α到AE, 【变式训练4】(1)D(2)5 ∴.AB=AC,∴.∠BAE=∠CAD, 课后演练 在△ACD和△ABE中， 1.C2.B3.D4.B5.126.6.67.85.88.3.3 (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, 9.解：（①由题意，得A地考生的数学平均分为00(90X3 AE-AD, +80×2000)=86(分). .△ACD≌△ABE(SAS),∴.BE=CD: (2)不能，说明略 册·数学参考答案(HS) 10.解：(1)该校的班级总数是12. 答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”(x≥ (2)植树11颗的班级数为12一1一2一3一4=2，补全统计 90)的总共有310人· 图如下： 10.(1)25一6一12一5=2（人），补图略. 植树班级数条形统计图 (2)a=87.6,b=90,c=100. 班级数 (3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中 位数，故一班的成绩好于二班；②一班和二班平均数相等， 班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班；③B级 以上（包括B级）一班18人，二班12人，故一班的成绩好于 0 二班 8棵9棵11棵12棵15棵棵数 11.C12.C13.中位数 (3)该校各班在这一活动中植树的平均数是12棵 核心素养 1.解：0调整前的平均价格为10+10+5+20+25=16（元，14.8解：12-88+87+90+98+92-91（分）， 5 5 调整后的平均价格为5十5+15十25+30 中位数是90分 5 =16(元) (2)a=8, (2),调整前后的平均价格不变，平均日人数不变， 补全条形统计图如图所示： .平均日收人持平 民主测评统计图 ,原平均日总收入为10×1十10×1+15×2十20×3十 25×2=160(千元)， 50叶票 40 42 现平均日总收入为5×1十5×1+15×2十25X3十 30×2=175(千元) 30 吕名 平均日总收入增加了175160≈9.4%， 20 160 10 ∴，游客算法正确.(3)略 0 23 12.D13.3 较好 般选项 核心素养 (3)①应选拔甲同学去参加艺术节演出， 14.(1)该公司员工原平均月收入和提高后的平均月收人分别为 ②k≠0.5. 1230元和1630元. 19.2 数据的离散程度 (2)员工收入提高后，该公司每月需要多拿出32000元支付知识梳理 员工的月收入 1.方差2.波动大小 第2课时 中位数和众数 典例精析 知识梳理 【例1】解：(1)x甲=(501+500+503十506+504+506+ 1.中位数 2.出现次数最多 500+498+497+495)÷10=501(g), 典例精析 xz=(503+504+502+498+499+501+505+497+ 【例1】C【变式训练1】(1)C(2)26(3)B 502+499)÷10=501(g). 【例2】A 【变式训练2】 (1)B(2)B (2)编=0×[(501-501)2+(500-501)2+…+(495 课后演练 501)2]=12.6(g), 1.B2.B3.C4.C5.A6.66千米/时7.5 8.99.7 克=0×[(503-501)2+(504-501)2+…+(49 核心素养 501)2]=6.4(g). 10.(1)6.3;(2)6.3; (3)>忌，∴乙包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定. (3)乙块试验田里的大麦整体生长情况好一些 【变式训练1】(1)C(2)C(3)D(4)2.8 第3课时平均数、中位数、众数的选用 【例2】B 知识梳理 【变式训练2】C 1.大2.不易3.它也不易 【例3】解：乙组选手的平均数为 典例精析 【例】解：(1)6.6万元，4万元，5万元. z=0(7×4+8X3+9×2+10×1)=8(道)， (2)用中位数，因为平均数6.6万元受极端值20的影响较 中位数为8道，众数为7道， 大，若把它定为标准，大多数不能完成任务，会挫伤员工的积极 性，而众数4万元，绝大多数员工不必努力就能超额完成，不利 方差为元=0[(？-8P×4+(8-8》×3+(9-8)严× 于提高销售额.若将5万元作为标准，多数人能完成任务，并且2十(10一8)门=1. 经过努力能超额完成任务，有利于提高销售人员的积极性， 优秀率为60%. 【变式训练】 151515平均数155.5 6中位数 ①从甲、乙两组选手成绩的平均数来看是一样的；②从众数 课后演练 来看，甲组选手的成绩好些；③从方差来看，乙组选手成绩稳定 1.B2.A3.A4.C5.896.17.5 些；④从优秀率看，甲组选手成绩好一些. 8.(1)9070甲(2)80806254甲(3)4048乙 【变式训练3】(1)B(2)乙同学的射击成绩比较稳定， 9.(1)88,87,40; 课后演练 (2)八年级学生数学文化知识较好， 1.A2.C3.B4.C5.①②6.> 理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，7.(1)88810 所以八年级学生数学文化知识较好； (2)m2=6×[(7-8)2×2+(9-8)2×2+(10-8)2+ (3)500×3+40×40%=310(人)， (6-8)2]=2; 183第19章数据的分析 第19章 数据的分析 19.1 数据的集中趋势 第1课时 平均数 规律与方法：当一组数中的各个数的大小比 较分散时，可选择定义法求平均数， 知 识 梳 理 【变式训练1】在一次青年歌手大奖赛上， 七位评委为某位歌手打出的分数是：9.5,9.4,9.6， 1.平均数的意义：反映一组数据的集中趋 9.9,9.3,9.7,9.0,去掉一个最高分和一个最低分 势或一般水平. 后，所剩数据的平均数是 () 2.算术平均数 A9.2B.9.3C.9.4 D.9.5 一般地，对于n个数，2，…，x,其算术平均 考点2)用简便方法求算术平均数 数元= 【例2】求下列数据的平均数. 51,53,60,58,49,62,59. 3.加权平均数 在求n个数据的算术平均数时，如果x1出 现f1次，x2出现f2次，…，x出现f。次，且f +f2+f3+…+f=n,那么这n个数的算术平 规律与方法：当一组数据的各个数据比较接 均数x= ,也叫做x1,x2, 近某一数值时，可采用新数据法，先计算出每一 个数据与该数的差的平均数，然后再加上该数即 …,x这k个数的加权平均数，其中f,f2,…, 为所求的平均数。 f分别叫做x1,x2,…,x%的权重，数据的权能 够反映数据的相对“重要程度” 【变式训练2】(1)在一次数学测试中，第 一组10名学生的成绩，与全班平均分的差是：5， 典 例 精 析 2,-1,10,14,-10,-8,-5,-6,-7(全班平均 分是86分)，则这个小组的平均分是 考点① 用定义法求算数平均数 分. 【例1】求下列数据的平均数. (2)为了解某初级中学附近路口的汽车流 14,26,53,37,30. 量，交通管理部门调查了某周一至周五下午放 学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结 果如下： 183,191,169,190,177. ·143· 措南针·八年纸下册·数学(HS) 则在该时间段中，通过这个路口的汽车数 (1)评委计算三项测试的平均成绩，发现小 量的平均数是 明与小文的相同，求小明朗诵水平的成绩x是 考点3加权平均数 多少分？ 【例3】学校对王老师与张老师的工作态 (2)评委按应变能力占10%，知识面占 度、教学成绩及业务学习三个方面作了一个初 40%,朗诵水平占50%计算加权平均数，作为最 步评估，成绩如下表： 后评定的总成绩，成绩高者将被录用，小文和小 工作态度（分） 教学成绩（分）业务学习（分） 明谁将被录用？ 王老师 97 95 96 张老师 90 99 98 (1)如果用工作态度、教学成绩、业务学习 三项平均成绩来作为评优的依据，你认为谁会 被评为优秀？ (2)如果三个方面成绩的重要性所占的百 分比依次为20%，60%，20%，那么按成绩的重 要性所占的权重来计算他们的成绩，其结果又 如何？ 考点④算术平均数的应用 【例4】已知数据c1,x2…c10,其中x1,x2, xg的平均数为a;x4,x5,x6…x1o的平均数为b, 求这10个数的平均数. 规律与方法：加权平均数的“权”的形式是多 样的，可以是个“数”，可以用“百分数”、“小数”表 示，也可以用“比例”的形式展现.同时一组数据 “权”不同，则这组数据的加权平均数可能不同， 实际问题中，各项的“权”相同时，计算平均数可 规律与方法：理解工=1(x十2十十… n 采用算术平均数，当各项的“权”不同时，计算平 十xn),学会根据平均数的意义列方程求某一个 均数就采用加权平均数 数据的值， 【变式训练3】学校广播站要招聘一名播 音员，需考查应聘学生的应变能力、知识面、朗 【变式训练4】 (1)某同学使用计算器求30 诵水平三个项目，决赛中，小文和小明两位同学 个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入 的各项成绩如下表： 为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的 测试成绩 差为 ) 测试项目 小文 小明 A.35 B.3 C.0.5D.-3 应变能力 70 80 (2)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均 知识面 80 75 数是3，则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1, 朗诵水平 87 x 2x5一1的平均数是 ·144· 第19章鼓据的分析 6.某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的 课后演 练 时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 【基础过关】 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 3 2 1.某中学积极响应党的号召，大力开展各项有 益于德智体美劳全面发展的活动.小明同学 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的 在某学期德智体美劳的评价得分如图所示， 平均数是 小时. 则小明同学五项评价的平均得分为 ( 7.(德阳中考)某校拟招聘一名优秀的数学教 A.7分 B.8分 C.9分 D.10分 师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综 得分 合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲 占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图 所示，则她的综合成绩为 分. 第1题图 第2题图 分数 人数 2.某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行， 该球员每节得分如折线统计图所示，则该球 员平均每节得分为 A.7分B.8分 C.9分 D.10分 0「笔试面试试讲测试项目 2345棵数 3.已知A、B、C、D,E五名射击运动员在一次比 第7题图 第8题图 赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的 8.某校300名学生参加植树节活动，要求每人植 平均成绩是78环，那么下列说法中一定正确 的是 ( ) 树2~5棵，活动结束后随机抽查了20名学 A.E的成绩比其他四人好 生，调查他们每人的植树情况，并绘制成如图 B.B、E两人的平均成绩是83环 所示的折线统计图，则这20名学生平均每人 C.最高分得主不是A、B、C 植树 棵 D.D、E中至少有1人的成绩不少于83环 9.(福建中考)已知A、B两地都只有甲、乙两类 4.(南充中考)学校举行篮球技能大赛，评委从 控球技能和投球技能两方面为选手打分，各 普通高中学校.在一次普通高中学业水平考 项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占 试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平 60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩 均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学 (百分制).选手李林控球技能得90分，投球 平均分为80分 技能得80分.李林综合成绩为 ( (1)求A地考生的数学平均分； A.170分 B.86分 C.85分 D.84分 (2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙 5.(宿迁中考)一组数据6,8,10，x的平均数是 类学校数学平均分为82分，据此，能否判断 9,则x的值为 B地考生数学平均分一定比A地考生数学平 ·145· 措南针·八年纸下册·数学(HS) 均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例11.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了 说明· 调整，据统计，调价前后各景点的游客人数 基本不变，有关数据如下表所示： 景点 A B C D E 原价/元 10 10 15 20 25 现价/元 5 5 15 25 30 平均日人数 2 3 /千人 (1)该风景区称调整前后这5个景点门票的 平均收费不变，平均日总收人持平，问风 景区是怎样计算的？ (2)另一方面，游客认为调整收费后风景区 10.今年我市将创建全国森林城市，提出了“共 的平均日总收入相对于调价前，实际上 建绿色城”的倡议.某校积极响应，在3月12 增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？ 日植树节这天组织全校学生开展了植树活 动，校团委对全校各班的植树情况进行了统 (3)你认为风景区和游客哪一个的说法比较 计，绘制了如图所示的两幅不完整的统 能反映整体实际？ 计图. 植树班级数条形统计图 植树班级数扇形统计图 班级数 11棵的 班级数 9棵的 25% 班级数 8稞的 15棵的 04 班级数 8棵9棵11棵12棵15棵棵数 (1)求该校的班级总数； (2)将条形统计图补充完整； (3)求该校各班在这一活动中植树的平 均数. ·146· 第19章鼓据的分析 【能力提升】 第2课时 中位数和众数 12.已知数据x1,x2,x3的平均数是5，则数据 3x1+2,3x2+2,3x3+2的平均数是（) 知 识梳理 A.5 B.7 C.15 D.17 1.几个数据按大小顺序排列后，处在最中 13.如果a,b,c的平均数是4，则a-1,b一5，c+ 间位置的一个数据或最中间两个数据的平均 3的平均数是 数，叫做这组数据的 2.一组数据中 的那个数 核 据叫做这组数据的众数. 14.某公司对员工的月收入统计如下： 典例精析 收入x 600≤ 1000≤ 1400≤ (单位：元) x<1000 x<1400 x<1800 考 点①求一组数据的中位数 人数 12 50 18 【例1】 某学校绿化小组，在植树节这天种下 由于公司的效益不断提高，公司领导决定提 银杏树的棵数如下：10,6,11,8,10,9，则这组数据的 高员工的月收入，提高后员工的月收入情况 中位数是 ( ) 如下： A.8 B.9 C.9.5 D.10 收入x 1000≤ 1400≤ 1800≤ 规律与方法：求中位数时必须将所有数据按 (单位：元) x<1400 x<1800 x<2200 序排列，若数据个数为奇数，则中间一个数为中 人数 12 50 18 位数；若数据个数为偶数，则中间两数的平均数 为中位数， (1)求该公司员工原平均月收入和提高后的平 均月收人： 【变式训练1】(1)下面是九年一班23名 (2)员工收入提高后，该公司每月需要多拿 女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表： 出多少元支付员工的月收入？ 个数/个 35 38 42 45 48 人数 3 4 4 则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是 () A.35个B.38个C.42个D.45个 (2)如图，是张家界市某周每天最高气温 的折线统计图，则这7天的最高气温的中位数 是 ℃. 最高温度/℃ 星期 三四五六日 ·147·