2026年高中数学竞赛模拟卷（五）（6题版）

2026年高中数学竞赛模拟卷（五） （考试时间：180分钟） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、解答题 1．如图，是的外接圆，是弧（不含）上一点，为弧的中点.为线段上一点，过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】设是弧的中点，，分别与交于点，. 由知，，，共圆. 由知，，，共圆，即，，，，五点共圆. 注意，同理可知与相似.因此，即. 由平分可知： 因此 . 即是的平分线，结合可知是的垂直平分线，故. 2．设为非负整数，满足，求的最小值和最大值． 【答案】最小值为80，最大值为2409， 【分析】利用引理：对任意在内上凸，从而再进行分类讨论求解. 【详解】最小值为80，最大值为2409， 理由如下：记. （1）先求最小值：一方面，取， 有，此时有. 另一方面，要使最小，不妨设.若，有，不可能； 若，有，注意到完全平方数模11只可能余0，1，3，4，5，9， 则均为11的倍数，但121无法被2024整除，不可能. 故必有. 引理:对任意在内上凸. 考虑二阶导函数，恒成立，则引理成立. 当时，由引理知： 当时，，有. 由引理，； 当时，，有. 时，； 时，，此时； 当时，. 时，； 时，，若； 若，则，有； 综上所述，可得最小值为80. （2）接下来求最大值:取， ，有，且. 一方面，令，此时有. 另一方面，由柯西不等式，. 下证.用反证法，假设存在满足，即，且. 令，计算可得对，有，而. 计算； ； 而为整数，故对有，对有， 则，矛盾!故假设不成立，有. 综上所述，有最大值为2409. 3．设是正实数数列． (1)若收敛，求证：存在严格递增的无界正实数数列满足收敛． (2)若收敛，是否一定存在严格递增的正整数数列，满足收敛，且？ 【答案】(1)证明过程见解析 (2)存在，答案见解析 【分析】（1）利用进行放缩即可得证. （2）先退一步，考虑极限等于的情况，然后将所有数列并在一起，就可以构造出极限等于1的情况. 【详解】（1）设，则严格递减并趋近于，.取定，记， 那么， 所以收敛. （2）结论是肯定的. 证明：首先，对于任意的正整数，存在严格递增的正整数数列，使得，例如，我们可以取充分大的正整数，然后让. 这个时候，设，则收敛，我们要构造数列，使得收敛，且. 因为，， 所以对任意的，有，记. 取正整数，使得是中最小的， 那么 ， 所以， 这表明对任意的，都有收敛. 显然，关于的序列是严格递增的正整数数列. 现在记，然后对每个正整数，取正整数，使得. 并规定. 那么，对任意正整数，都有. 现在定义集合，设， 由于每个都是由正整数构成的无限集， 所以也是由正整数构成的无限集， 这意味着中元素可以排成一个递增的正整数数列. 此时，. 所以收敛. 又因为，， 故， 而，所以， 这里不等式中的又是任意的，所以. 这就表明. 【点睛】关键点睛：关键是要先考虑极限等于时的情形，然后合并所有数列，从而即可顺利构造满足题意的数列. 4．设为个两两不同的正整数且恰有 4048 个质因数. 如果 中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求的最大值. 【答案】 【分析】法一：构造出对，取，其中第个分量为1，每个向量有4048个，再证明； 法二：设是一个质数，再进行合理构造，最后利用费马小定理证明. 【详解】法一：设的4048个互不相同的质因数为， 设， 记一组4048维向量. 中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方等价于存在不全为零的一组数， 使得的每个分量在模4049的意义下)， 求的最大值等价于求能从最多多少个4048维向量中选出若干个向量的和不为0. 下证: 若不然，设前个向量为 其中，有(的每个分量在模4049的意义下)， 易知4049为质数，由费马小定理可知 ， 从而① 对每一组不全为0的成立. 将①式左边看成关于的多项式二项式展开， 由于1的任何次幂都是1，0的任何次幂都是项可看成， ①式左边常数项为，从而存在某个非常数项不为0. 考虑最高次项，不妨设为，由于(1)式左边次数最高为，所以， 取，此时这组不全为0，那么无论如何取值①式均同余于0，这与组合零点定理矛盾. 故的最大值为， 构造:对，取，其中第个分量为1. 每个向量有4048个.(注:由于在模4049的意义下，故向量可以相同). 法二：设是一个质数. 先给出的构造：取， 并取为.该构造明显是符合要求的， 因为若取出了某个中的个元素，那么乘积的含量模余，必然不是的倍数. 下说明时总存在中若干个（至少一个）相乘为整数的次方. 设为，其中.当， 考虑，当不全为时， 它表示中若干个(至少一个)数的乘积. 考虑到， 因此，结合费马小定理，为整数的次方， 当且仅当都有， 即. 考虑：. 易见上式可表示为， 其中是一些关于的次数小于0的单项式之和. 注意到这之中每个单项式W里都存在一个的系数是， 因此. 进而. 因此，结合时对应的求和项模不余0， 因此也存在另一种不全为0的取值使其对应的求和项模不余0. 这样，由前述分析，，代表着中若干个不同数之积， 为整数的次方，进而结论成立. 综上所述，的最大值为. 5．称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数n，均有．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有． 【答案】 【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数m进行分类讨论，结合数列的极限，能求出结果． 【详解】考虑有趣的复数数列，归纳可知，， 由条件得， 解得， ， ①， 进而有②， 记， 当时，利用②可得， 当时， 由①②可知，， 故 当时，． 以上表明满足要求， 另一方面，当，，时， 由题意知为有趣的数列， 此时，， 这表明C不能大于， 综上，所求C的值为． 6．给定素数，定义集合．对于，，定义如下：当时；当时．对于的一个子集，定义．若集合满足且对任意有则称集合为好集合．求最大正整数，使得可以找到个互不相同的好集合，，，，满足． 【答案】 【分析】首先分析题意，做出引理，其次按情况进行讨论分析. 【详解】引理一的证明： 设小弧长度分别为所有不同的连续s段小弧组成的弧长平方之为，则有： 由整数离散性及知， 当取最小值时，应有对任意的 回到原题，对好集合A，若|A|=k，设 则由上述可知 由于当时，可同时取到最小值，因此取最小值时恰同时取到最小值. 故由引理知，此时或特别地，或， 引理二：对于满足条件的好集合A，若，则必存在非负整数t，使得(其中). 引理二的证明：记，则. 若对于每个，均存在另一个使得， 则连一条到的有向线段，则图中必存在圈为下标)， 故，矛盾！ 故存在使得对任意的正整数，由引理一， 知，令即可，引理二得证. 由引理二，对任意，对任意好集合，若，则必存在好集合， 满足且.这是因为，可以不妨设，此时令，由知结论成立. 引理三：当T为好集时，T的补集也为好集. 引理三的证明： 对的补集有： $$ 同理， 故， 即当为好集时，也为好集，引理得证. 故对任意，对任意好集合，若，则必存在好集合，满足且. 引理四：对于任意，对任意的好集合T，若=t，则存在好集合S，满足且. 引理四的证明：不妨设，令(集合中的元素为在模意义下理解)， 则由于，知，此时被的补集所包含，引理四得证. 对好集合，设及， 若，则由引理1及引理. 若，且中至少两个间距取到3： 此时若有两个相邻间距均为3，则由引理一知不存在两个相邻间距均为4(否则连续两段小弧之和为6和8，矛盾). 此时若，则集合中对应长度等于4的小弧被拆分成两个长度等于2的小弧， 此时在中同时存在两个相邻的3及两个相邻的2，同上矛盾.故. 若不存在两个相邻间距均为3，则存在两组连续的弧，两端均为长度为3的小弧， 其内部由长度为4的小弧组成，且长度为4的小弧数量不同(否则所有的弧均匀分布，与为素数矛盾). 设上述两组弧中较短的一组共包含个长度为4的小弧，此时若则将4拆分成两个2， 则同时存在相邻段小弧中有个2及2个3与个2， 由引理一，由于这两组弧的弧长差为2，由引理一矛盾，故. 若，且中恰一个小弧弧长为3，则所有4变为两个2，此时.若，则. 下面计算l的最大可能值. 设为满足要求的l个集合中元素个数小于的集合，由已证结论： 若恒成立，则，否则必有 因此 对元素数大于的集合，由引理三，同理可得这样的集合个数不超过故 另一方面，若，由上述引理，知存在符合要求的集合，使得 若由上述引理，知存在符合要求的集合，使得 综上所述，l的最大可能值为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $)随垫计知 参数学员特 2026年高中数学竞赛模拟卷（五） (考试时间：180分钟) 注意事项 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、解答题 1.如图，O0是ABC的外接圆，D是弧BC(不含A)上一点，S为弧BAC的中点.P为线段SD上一点， 过P作DB的平行线交AB于点E,过P作DC的平行线交AC于点F,过O作SD的平行线交弧BDC于点 T.已知O0上的点Q满足∠QAP被AT平分.证明：QE=OF. A TD 1/4 )强壁守知 参数学镜资 2.设41，a2,…,a20为非负整数，满足a+a+…+a0=2024,求a+2a2+…+20a20的最小值和最大值. 3.设{an}是正实数数列. (①)若∑a,收敛，求证：存在严格递塔的无界正实数数列满足∑1，a,收敛。 n=】 者∑收敛，是香定存在严格递增的止整数数列，满足α，收敛，且而 n5 2/4 )强垫计幼 参数学质洗 4.设a,a2…,an为n个两两不同的正整数且a,a2…an恰有4048个质因数.如果a,a2…,an中任意多 个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n的最大值. 5.称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若=1，且对任意正整数n,均有4z+2zn2+1+z=0.求最大 的常数C,使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m,均有，+z2+…+zn≥C. 3/4 )强垫守知 参数学镜粉 6.给定素数p≥5，定义集合2={L,2,…,p}.对于x,y∈2，定义R(x,y)如下：当y≥x时R(x,y=y-x; 当y<x时R(x,y)=y-x+p.对于2的一个子集A,定义f(A=∑∑(Rc,》.若集合A满足0<A<D 且对任意B=A有∫(B)≥∫(A)则称集合A为好集合.求最大正整数I,使得可以找到1个互不相同的好集 合A,A,,A,满足A二A≤…≤A. 4/4