专题02 计数原理与二项式定理（知识清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了计数原理与二项式定理专题，涵盖两个计数原理、排列与组合、二项式定理三大核心知识板块，通过思维导图构建知识体系，逐项分解核心概念，聚焦涂色问题、分组分配等重难点内容。 清单采用“基础梳理+重难点突破+易混易错辨析+方法技巧总结”四维设计，如用分步与分类计数原理解决涂色问题，通过典例辨析“0”在数字排列中的位置、二项式系数与系数的区别，培养学生数学思维与逻辑推理能力。配套真题实战与方法技巧（如排列六种方法、组合类型处理），帮助学生精准突破考点，教师可据此引导学生自主构建知识网络，提升复习效率。

专题02 计数原理与二项式定理 目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】两个计数原理 【知能解读02】排列与组合 【知能解读03】二项式定理 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】涂色问题的解法 【重难点突破02】分组分配问题的解题思路 【重难点突破03】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 【重难点突破04】二项展开式系数最大项的求法 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】利用分步乘法原理计数，分步标准错误 【易混易错02】数字排列中“0”的位置不明 【易混易错03】忽略二项式中的负号 【易混易错04】混淆二项式系数与系数 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】求解排列应用问题的六种常用方法 【方法技巧02】组合问题的常见类型与处理方法 【方法技巧03】求二项展开式的特定项 【方法技巧04】求三项展开式中的指定项 【方法技巧05】二项式系数的和与各项的系数和问题 【方法技巧06】求二项式系数最值 【方法技巧07】二项式定理的应用 【方法技巧08】杨辉三角 01 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 【真题实战】（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 02排列与组合1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 【真题实战】（2026·河北保定·一模）A，B，C，D，E，F共6名同学参加AI智能库建立创新大赛，决出第一名到第六名的名次，A和B去询问名次，回答者对A说：“你肯定不会是最差的．”对B说：“很遗憾，你没有得到第一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列可能情况的种数为（   ） A．600 B．580 C．504 D．408 03二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 【真题实战】（2026·重庆九龙坡·一模）的展开式中，各项系数的和是 ． 01 涂色问题的解法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 【典例1】（2025·湖北武汉·三模）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 【典例2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 02 分组分配问题的解题思路 分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例1】（2025·广东江门·模拟预测）把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　） A．270种 B．540种 C．720种 D．360种 【典例2】（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【典例3】（2025·全国·模拟预测）已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【典例4】（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（    ） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 【典例5】（2025·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【典例6】（2025·安徽六安·模拟预测）六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（    ）种. A．348 B．288 C．360 D．60 03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 （1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． （2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. （3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【典例1】（2026·福建·一模）在的展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2025·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 04 二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 【典例1】（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【典例2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 01 利用分步乘法原理计数，分步标准错误 辨析：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理. 【典例1】（2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 02 数字排列中“0”的位置不明 辨析：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。 【典例1】（2025·云南·模拟预测）从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 【典例2】（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 03 忽略二项式中的负号 辨析：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b的系数为-1，展开求解释不要忽略。【典例1】（2023·北京·三模）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【典例2】（24-25高三上·贵州·月考）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 04 混淆二项式系数与系数 辨析：要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是，其值只与有关，与无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定. 【典例1】（2026·陕西咸阳·一模）的展开式中，的系数为（   ） A． B．40 C． D．10 【典例2】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 01 求解排列应用问题的六种常用方法 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； 3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； 4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； 5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、间接法：正难则反、等价转化的方法 1．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（   ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 2．（2025·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种． A．36 B．108 C．120 D．144 3．（25-26高三上·广东·月考）某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（    ） A．20种 B．36种 C．24种 D．18种 4．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 5．（2025·河南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．120种 B．360种 C．240种 D．720种 6．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（   ）种不同的排法． A．216 B．264 C．312 D．528 7．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·三模）某超市在清明节期间出售2款A品牌的清明果，2款B品牌的清明果，1款C品牌的清明果.若将这5款清明果并排摆在货架的同一层上，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 9．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 11．（2025·河北邯郸·二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·四川南充·月考）君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（   ） A．432种 B．486种 C．504种 D．540种 13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 14．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 15．（2025高三·全国·专题练习）要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有 种插入方法． 02 组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 16．【多选】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 17．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 18．（25-26高二上·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 19．（2025高三·全国·专题练习）已知集合， （1）任取两个数，其和能被3整除的取法有 种； （2）任取三个数，能构成等差数列的取法有 种； （3）任取三个数，能构成等比数列的取法有 种. 20．（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 21．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为 ． 03 求二项展开式的特定项 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： （1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项． （2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． （3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 22．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 23．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 24．（24-25高二下·江苏镇江·月考）的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 25．（24-25高二下·重庆·期中）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 26．（2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．4 B． C．1 D． 04 求三项展开式中的指定项 （a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法 27．（25-26高二上·河南驻马店·月考）的展开式中的系数为（    ） A．480 B．160 C． D． 28．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 29．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 30．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 31．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 32．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 05 二项式系数的和与各项的系数和问题 （1）系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． （2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n. 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 34．（25-26高二上·广西桂林·月考）展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 35．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 36．【多选】（2026·陕西宝鸡·一模）在的展开式中，下列说法正确的有（   ） A．含项的系数为 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数之和为32 D．所有项的系数之和为 37．【多选】（2025·湖南永州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 38．【多选】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 39．【多选】（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 40．【多选】（2025·山西·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 41．【多选】（2025·全国·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 42．【多选】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 43．【多选】（2025·江西赣州·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 06 求二项式系数最值 二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 44．【多选】（2025·四川成都·一模）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 45．（2025·四川南充·模拟预测）已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 46．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 48．（2025高二·江苏·专题练习）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 07 二项式定理的应用 1．利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，从而构造二项式．应注意：要证明一个整式能被另一个整式整除，只要证明这个整式按二项式定理展开后的各项均能被另一个整式整除即可． 2．求余数问题中，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的取值范围． 3．二项式定理的逆用． 4．“算两次”是一种重要的数学思想方法，本质上是把同一个量用两种不同的方法表示出来，即同一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理. 49．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 50．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 51．（2025·江西新余·模拟预测）100除的余数为：（    ）． A．48 B．49 C．50 D．51 52．（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 53．（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 54．（2025·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 55．（2025·河南·三模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为．若a为的二项展开式中含x项的系数，且，则b的值可以是（    ） A． B． C． D． 08 杨辉三角 杨辉三角的性质： 1．每一行都是对称的，且两端的数都是1. 2．从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 3．当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的． 4．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 5．C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1(n∈N*)；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n(n∈N*)． 56．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 57．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（   ）    A． B． C． D． 58．（2023·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 59．（2023·河北邯郸·三模）如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（    ） A．680 B．679 C．816 D．815 60．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理与二项式定理 目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】两个计数原理 【知能解读02】排列与组合 【知能解读03】二项式定理 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】涂色问题的解法 【重难点突破02】分组分配问题的解题思路 【重难点突破03】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 【重难点突破04】二项展开式系数最大项的求法 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】利用分步乘法原理计数，分步标准错误 【易混易错02】数字排列中“0”的位置不明 【易混易错03】忽略二项式中的负号 【易混易错04】混淆二项式系数与系数 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】求解排列应用问题的六种常用方法 【方法技巧02】组合问题的常见类型与处理方法 【方法技巧03】求二项展开式的特定项 【方法技巧04】求三项展开式中的指定项 【方法技巧05】二项式系数的和与各项的系数和问题 【方法技巧06】求二项式系数最值 【方法技巧07】二项式定理的应用 【方法技巧08】杨辉三角 01 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 【真题实战】（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 02排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 【真题实战】（2026·河北保定·一模）A，B，C，D，E，F共6名同学参加AI智能库建立创新大赛，决出第一名到第六名的名次，A和B去询问名次，回答者对A说：“你肯定不会是最差的．”对B说：“很遗憾，你没有得到第一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列可能情况的种数为（   ） A．600 B．580 C．504 D．408 【答案】C 【分析】分析可知A不是第六名，B不是第一名，分类讨论A是否为第一名，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】从这两个回答知：A不是第六名，B不是第一名； 当A是第一名时，共有种排列情况； 当A不是第一名时，共有种排列情况． 故6人的名次排列可能情况有种． 故选：C. 03 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 【真题实战】（2026·重庆九龙坡·一模）的展开式中，各项系数的和是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，即可求得展开式中各项系数的和，得到答案. 【详解】设， 令，可得， 所以二项式的展开式的各项系数的和为. 故答案为：. 01 涂色问题的解法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 【典例1】（2025·湖北武汉·三模）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 【答案】C 【分析】由题，三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色，由计数原理列式求解. 【详解】三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色， 所以恰好使用3种颜色的涂法有种. 故选：C. 【典例2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 【答案】C 【分析】分两步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根据分步计数原理相乘即可. 【详解】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有种，再排Ⅳ有种， 故不同的着色方法数有种. 故选：C 02 分组分配问题的解题思路 分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例1】（2025·广东江门·模拟预测）把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　） A．270种 B．540种 C．720种 D．360种 【答案】D 【分析】根据分组分配法，即利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个车间至少分配一名技术员且人数各不相同,故三个车间分配到技术员的人数为1，2，3， 故共有种不同的分配方案. 故选：D. 【典例2】（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故选：B. 【典例3】（2025·全国·模拟预测）已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D 【分析】根据题意先将4位学生分成三组，再分配到A、B、C三地学习，根据分步乘法计数原理即可求解． 【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法， 然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有种方法， 由分步计数原理知共有种不同的分配方法， 故选：D． 【典例4】（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（    ） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 【答案】B 【分析】先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可. 【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式． 若是3，1，1，1，1，则有种； 若是2，2，1，1，1，则有种． 所以共有种. 故选：B． 【典例5】（2025·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙､丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责一个任务，则先在中选取一个任务分给甲， 然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙､丙两人， 有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：C. 【典例6】（2025·安徽六安·模拟预测）六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（    ）种. A．348 B．288 C．360 D．60 【答案】A 【分析】讨论6人乘坐3只船或乘坐2只船，根据这两种情况，结合分组分配模型，即可列式求解. 【详解】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法， 再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船：共有种方法，综上共有：种方法. 故选：A 03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 （1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． （2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. （3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【典例1】（2026·福建·一模）在的展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项公式，再结合多项式乘法法则求出展开式中含的项即可. 【详解】依题意，， 二项式展开式的通项为， 因此的展开式中含的项为， 所以所求系数为. 故选：A 【典例2】（2025·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A 04 二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 【典例1】（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】根据二项式系数的对称性可直接判断结果. 【详解】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 【典例2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据展开式中前三项的二项式系数和为求出的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数最大的项对应的项数. 【详解】的展开式中前三项的二项式系数和为， 整理可得，且，解得， 的展开式通项为， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项. 故选：D. 01 利用分步乘法原理计数，分步标准错误 辨析：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理. 【典例1】（2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 【典例2】（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】完全平方数、新定义问题 【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个． 故选：D. 02 数字排列中“0”的位置不明 辨析：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。 【典例1】（2025·云南·模拟预测）从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 【答案】C 【分析】根据各选项的条件逐一分析判断即可. 【详解】选项A，从百位排起，百位有3种选择（1、2、3，因为不能为0），十位有3种选择，个位有2种选择.总数为个，故A正确； 选项B，百位固定为1，十位从0、2、3中选（3种选择），个位从剩下2个数字中选（2种选择），共有个，故B正确； 选项C，十位固定为1，百位不能为0，且不能为1，所以百位有2种选择（2、3），个位从剩下2个数字（包括0）中选（2种选择），共个，故C 错误； 选项D，因为个位数字为0，则百位和十位可以在中任取两个排列，共个.故D正确. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 【答案】D 【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非0和首位为2，第二位为0，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类： 当首位大于2时有种； 当首位为2，第二位非0时有种； 当首位为2，第二位为0时有种； 综上，总共有种. 故选D. 03 忽略二项式中的负号 辨析：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b的系数为-1，展开求解释不要忽略。 【典例1】（2023·北京·三模）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 【典例2】（24-25高三上·贵州·月考）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 【答案】C 【分析】利用二项式系数的意义求解即可. 【详解】第3项的二项式系数为. 故选：C. 04 混淆二项式系数与系数 辨析：要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是，其值只与有关，与无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定. 【典例1】（2026·陕西咸阳·一模）的展开式中，的系数为（   ） A． B．40 C． D．10 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项可得答案. 【详解】设的展开式的通项为 ， 令，则， 所以， 则的系数为. 故选：A. 【典例2】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得求出的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为零，求出，从而可求出展开式中的常数项. 【详解】因为的展开式中第3项的二项式系数等于36， 所以，得， 因为，所以， 所以展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中的常数项为， 故选：A 01 求解排列应用问题的六种常用方法 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； 3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； 4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； 5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、间接法：正难则反、等价转化的方法 1．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（   ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 【答案】B 【分析】分乙站第一个位置，甲站第四个位置，和甲站第二个位置，乙站第五个位置，两类情况求解即可. 【详解】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况： 乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种， 甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种， 共有种， 故选：B 2．（2025·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种． A．36 B．108 C．120 D．144 【答案】D 【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可． 【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． 3．（25-26高三上·广东·月考）某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（    ） A．20种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】C 【分析】分甲值一天班和甲值两天班两种情况，结合甲不安排在第一天值班分类讨论求解即可. 【详解】若甲值一天班且甲不安排在第一天值班，则甲有种安排方式， 则剩下三天安排乙、丙2人值班，则其中有一人需安排值两天班， 则乙、丙2人有种安排方式， 此时甲、乙、丙3人共有种安排方式； 若甲值两天班且甲不安排在第一天值班， 先从乙、丙2人中选择一人安排在第一天值班，则有种安排方式， 再安排乙、丙2人中剩下的一人与甲值剩下三天班且甲值两天班， 有种安排方式，此时共有种安排方式； 综上，共有种安排方式. 故选：C 4．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【分析】先排相邻的2道工序，再把它与其它3道工序作全排列，即可得. 【详解】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排， 所以加工顺序有种. 故选：C 5．（2025·河南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．120种 B．360种 C．240种 D．720种 【答案】C 【分析】由捆绑法结合排列数计算即可求解. 【详解】先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有， 2位老师自身有， 所以2位老师相邻，不同的排法共有， 故选：C 6．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（   ）种不同的排法． A．216 B．264 C．312 D．528 【答案】D 【分析】根据给定条件，按小明和小刚坐在左、右分类，再利用排列、组合计数问题列式求解. 【详解】按照1－7的序号对座位进行编号，左侧编号1－4，右侧编号5－7， 若小明和小刚坐在左侧，则安排情况为，共3种排法， 小明和小刚可互换位置，小强排在右侧有3种排法，剩下的4人有种排法， 因此小明和小刚坐在左侧时共有种排法； 若小明和小刚坐在右侧，则安排情况为，共2种排法，小明和小刚可互换位置， 小强只有一种排法，剩下的4人有种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 故选：D 7．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据捆绑法计算出仅有两人相邻和三人均相邻的不同情况数，再根据古典概型计算事件概率，再根据条件概率定义求出事件概率. 【详解】设“甲乙丙之间恰有两人相邻”，“甲乙丙三人均相邻” 则，，故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为 ， 故选：A. 8．（2025·江西·三模）某超市在清明节期间出售2款A品牌的清明果，2款B品牌的清明果，1款C品牌的清明果.若将这5款清明果并排摆在货架的同一层上，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 【答案】C 【分析】利用捆绑法可求得总的排法数. 【详解】将2款A品牌的清明果，2款B品牌的清明果分别捆绑， 则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有种. 故选：C. 9．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故选：A. 10．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【分析】利用插空法可求不同的排列方法. 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 11．（2025·河北邯郸·二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出共有种情况，再利用捆绑法和插空法结合古典概型概率公式求出和，最后利用条件概率公式求出结果即可. 【详解】我们先把6个不同的芯片全排列，共有种情况， 设甲，乙两个芯片不相邻为，丙、丁相邻为， 当甲，乙两个芯片不相邻时，先对除了甲、乙两个芯片的其它芯片全排列， 其它芯片全排列共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有种情况， 将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 故，， 则由条件概率公式得，故D正确. 故选：D. 12．（24-25高三上·四川南充·月考）君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（   ） A．432种 B．486种 C．504种 D．540种 【答案】A 【分析】分“礼”与“乐”相邻和“礼”与“乐”中间插一艺，利用相邻和插空法求解. 【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有种； 当“礼”与“乐”中间插一艺时，有种； 所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种， 故选：A 13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 14．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 15．（2025高三·全国·专题练习）要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有 种插入方法． 【答案】55440 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的11个节目全排列，有种，已排定顺序的6个舞蹈节目的全排列数有种， 故满足题意的插入方法有（种）. 故答案为： 02 组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 16．【多选】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 17．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 18．（25-26高二上·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题， 不同的选择方法种数为. 故选：D. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知集合， （1）任取两个数，其和能被3整除的取法有 种； （2）任取三个数，能构成等差数列的取法有 种； （3）任取三个数，能构成等比数列的取法有 种. 【答案】 64 180 22 【分析】（1）集合中元素除以3的余数分三类：为0，1,2并求出相应的集合为，从集合中任取两个数、从集合中各取一个数可得答案； （2）设所取的三个数为，则由知，与的和为偶数，与的奇偶性相同．根据与的奇偶性分类可得答案； （3）设所取的三个数为，则有．按平方数分类，对其余的数进行质因数分解可得答案. 【详解】（1）3的余数分三类： 余数为0，这样的集合， 余数为1，这样的集合， 余数为2，这样的集合， ①可从集合中任取两个数，则有种； ②可从集合中各取一个数，则有种. 可得，故满足题意的取法有64种； （2）设所取的三个数为，则由知，与的和为偶数， 故与的奇偶性相同． 令集合，， 根据与的奇偶性分类如下． ①当与同为奇数时，从集合中任取两个数，有种； ②当与同为偶数时，从集合中任取两个数，有种． 考虑到为递增或递减两种情况，故共有（种）； （3）设所取的三个数为，则有． 按平方数分类，令集合． 对其余的数进行质因数分解：2，3，5，，7，，，11， ，13，，，17，，19，， 满足题意的有：3与12；5与20；8与2；2与18；8与18． 故有，故满足题意的取法有22种. 故答案为：64；180；22. 20．（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【答案】(1)144 (2)162 【分析】（1）结合排列数和组合数的应用，利用分步乘法原理求解即可； （2）结合排列数和组合数的应用，利用分类加法原理求解即可. 【详解】（1）第一步，从1．3．5这3个奇数中选择1个放在个位，有种； 第二步，从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上，有种； 第三步，从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位，有种． 由分步乘法计数原理可得，共有个满足条件的四位数． （2）第一类，在千位和百位不变的情况下，十位可以是4或者5，共有6个； 第二类，在千位不变的情况下，需要百位大于1，则从2，4，5这3个数中任选1个，有种， 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位，有种，故共有个； 第三类，千位是4或5，有种，再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上，有种，则共有个． 由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有个． 21．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为 ． 【答案】 【分析】先求出总取法，再分正方体的个面，个中间平面，个对角面和8个斜切面四种情况讨论，求出四点共面的取法，再利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从个点中取4个点，共有种取法， 四点共面分下面四种情况： ①正方体的个面：每个面包含个顶点和个中心点，此时共有种； ②个中间平面：每个平面包含个点，此时共有种； ③个对角面：每个对角面包含个顶点和个中心点，此时共有种； ④8个斜切面（三条面对角线形成的）：每个面包含3个顶点和3个中心点，此时共有种； 所以四个点不共面共有种， 所以所求概率. 故答案为：. 03 求二项展开式的特定项 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： （1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项． （2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． （3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 22．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 23．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 【答案】A 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，再求出对应的值，进而求出的系数． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， ， 的系数为，故A正确． 故选：A． 24．（24-25高二下·江苏镇江·月考）的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式式系数为. 故选：B. 25．（24-25高二下·重庆·期中）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 【答案】D 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可. 【详解】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 26．（2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， . 故选：B. 04 求三项展开式中的指定项 （a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法 27．（25-26高二上·河南驻马店·月考）的展开式中的系数为（    ） A．480 B．160 C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二项式展开特点，写出项，即可得答案． 【详解】因为的展开式中，项是由5个因式中，1个因式出x，3个因式出，1个因式出3， 所以含的项为． 故选：D． 28．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 29．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 30．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 31．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 32．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 05 二项式系数的和与各项的系数和问题 （1）系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． （2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n. 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 【答案】C 【分析】利用赋值法，可得答案. 【详解】令，即得的展开式中的各项系数之和为. 故选：C. 34．（25-26高二上·广西桂林·月考）展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法求得正确答案. 【详解】令，得，即展开式的各项系数之和为. 故选：C 35．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 36．【多选】（2026·陕西宝鸡·一模）在的展开式中，下列说法正确的有（   ） A．含项的系数为 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数之和为32 D．所有项的系数之和为 【答案】BCD 【分析】先求出的展开式的通项，赋值可判断AD，所有项的二项式系数之和为可判断C，由二项式定理可判断B. 【详解】的展开式的通项为. 令，可得含项的系数为，故A错误； 第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，故B正确； 所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，可得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD. 37．【多选】（2025·湖南永州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用赋值法求或系数和判断A、C，由二项式定理求对应项系数判断B，对等式两侧求导，再应用赋值法求系数和判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 38．【多选】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 【答案】AC 【分析】令可判断A；由二项式的系数和可判断B；利用展开式的通项可判断C；在通项中令可判断D. 【详解】对于，令，得，解得，故A正确； 二项式系数的和为，故B错误； 展开式的通项为，因为1314为偶数，所以展开式中每一项的指数都是偶数，故C正确； 令，得，所以展开式中存在常数项，故D错误. 故选：AC. 39．【多选】（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令代入即可求解；对于B，由二项式定理，对照系数即可得到；对于C，令，结合A即可求解；对于D，令，结合A即可求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D正确. 故选：ACD. 40．【多选】（2025·山西·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，计算可判断A；令，结合计算可判断B；令，结合B选项计算可判断C；令，计算可判断D. 【详解】对于A，令，则， 故，故A正确； 对于B，令，则， 又，故，故B正确； 对于C，令，则， 又，故，故C错误； 对于D，令，则，故D正确. 故选：ABD 41．【多选】（2025·全国·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过赋值法判断ABC，由二项式定理判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则1，故B正确； 对于C，令，则，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：ABD． 42．【多选】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，再两边同乘以可判断A；令，，两式相减可判断B；对题目所给的式子，两边求导，再令，可判断C；根据二项式的展开式可得，即，继而即可判断D. 【详解】对于A，令，得， 两边同乘以，得，故A正确； 对于B，令，得， 令，得， 两式相减，得， 即，故B正确； 对于C，两边同时求导数， 得， 再令，得，故C错误； 对于D，，所以， 同理， 所以，故D正确. 故选:ABD. 43．【多选】（2025·江西赣州·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分别令、、求相关系数或系数和判断A、B、D，应用二项式定理写出通项公式求判断C. 【详解】A：令，则，错； B：令，则①，又，则，错； C：由二项式展开式，， 所以时，则；时，则； 所以，对； D：令，则②， ①②得，则，对. 故选：CD 06 求二项式系数最值 二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 44．【多选】（2025·四川成都·一模）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 【答案】ABC 【分析】先由题设结合组合数的性质求出n即可判断A；由二项式系数的定义和组合数性质即可求解判断B；由二项式的展开式的通项公式即可求解判断C；由系数定义赋值即可求解判断D. 【详解】由题意得，所以，故A正确； 因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 故选：ABC 45．（2025·四川南充·模拟预测）已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【答案】B 【分析】根据二项式系数和公式，结合二项式系数的性质、二项式的通项公式、赋值法逐一判断即可. 【详解】由题意可得，解得，故正确； 二项式的展开式的通项公式为，，1，，6，令，解得，则常数项为第4项，故错误； 因为，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，最大值为，故正确； 令，则展开式的所有项的系数和为，故正确， 故选：B 46．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以，二项展开式的通项为 ， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 47．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 它的展开式共计有项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：A． 48．（2025高二·江苏·专题练习）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二项式定理展开式化简得出通项，结合已知列出方程组求出的值，结合二项式定理的性质即可得出答案. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 . 由已知可得，，解得. 根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项. 故选：C. 07 二项式定理的应用 1．利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，从而构造二项式．应注意：要证明一个整式能被另一个整式整除，只要证明这个整式按二项式定理展开后的各项均能被另一个整式整除即可． 2．求余数问题中，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的取值范围． 3．二项式定理的逆用． 4．“算两次”是一种重要的数学思想方法，本质上是把同一个量用两种不同的方法表示出来，即同一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理. 49．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 50．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，令得， 两式相减得， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以被8整除的余数为4. 故选：C. 51．（2025·江西新余·模拟预测）100除的余数为：（    ）． A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】B 【分析】将化为，利用二项式定理展开可得. 【详解】 ， 因为是100的倍数 而20249除以100的余数为49. 故选：B． 52．（2025·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【答案】A 【分析】将转化为，写出其二项展开式，即可求解. 【详解】，故98除的余数是1． 故选：A 53．（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】A 【分析】根据二项式定理展开后进行估值运算即可. 【详解】 故小数点后第二位的数字是0. 故选：A. 54．（2025·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【答案】C 【分析】利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余3，由此能求出的值． 【详解】因为， 又 所以 所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3， 而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以. 故选：C. 55．（2025·河南·三模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为．若a为的二项展开式中含x项的系数，且，则b的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项可求含x项的系数，再结合二项式定理可求该系数除以5的余数，最后根据除以5的余数相同得正确的选项. 【详解】的二项展开式中含x项的系数为， 由二项定理可得： ， 而能被5整除， 故除以5的余数为1，而除以5的余数相同， 故除以5的余数为1， 而，，，，故D正确． 故选：D. 08 杨辉三角 杨辉三角的性质： 1．每一行都是对称的，且两端的数都是1. 2．从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 3．当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的． 4．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 5．C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1(n∈N*)；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n(n∈N*)． 56．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 57．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果． 【详解】根据广义杨辉三角的定义：； 故； 关于的多项式的展开式中项的系数为． 故选：D． 58．（2023·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杨辉三角每行的数字特征，结合等比数列求和公式可得，由此可整理得到；根据的整数项可确定数列的奇数项和偶数项的变化规律，结合等差数列通项公式可求得结果. 【详解】由题意知：第行数字之和构成的数列的通项为， ，； 则数列的整数项为：， 数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列， ，，. 故选：B. 59．（2023·河北邯郸·三模）如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（    ） A．680 B．679 C．816 D．815 【答案】D 【分析】根据“杨辉三角”以及组合数性质运算可求出结果. 【详解】根据“杨辉三角”，得， 因此，此数列的前30项和为： . .故选：D. 60．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； 第行是二项式的展开式的系数， 故第行中第个数为，第个数为，又，B正确； “杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； 第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 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