【大题专项】专题4 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角）（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题4 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角） 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角） 1. 了解异面直线所成的角 C A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2.了解直线与平面所成的角 C 3.了解二面角 D 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 无 无 0 （1）题型：解答题 （2）分值：6分 （3）内容：重点考查异面直线所成的角。 2024 无 无 0 2023 解答题 20 异面直线所成角的求解（通过平移直线，将异面直线所成角转化为平面角，再利用几何关系求解 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试解答题可能考查异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角。具体考点可能涉及如下内容： · 异面直线所成角的求解（重点） · 线面角的求解 · 二面角平面角的求解 四、知识梳理 （一）异面直线所成的角 1.定义 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 2.异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围： （二）线面角 直线和平面所成的角 1.定义：平面的一条斜线（）和它在平面上的射影()所成的角()叫做这条直线和这个平面所成的角(如图1)，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. 2.范围：. （三）二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 2.二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角－l－β的平面角是∠AOB. 3.二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 【归纳总结】 空间角与距离的求解“三步法” 几何体 一作 二证 三求 线线角 平移至一个三角形内 说明所找角即为所求角 解三角形（余弦定理） 线面角 找斜足，作垂线，连接垂足与斜足 证明所作角为线面角 解直角三角形 二面角 找棱，作垂直于棱的平面角 证明所作角为二面角的平面角 解三角形（常用余弦定理） 五、10分钟小测验 1.如图所示，在正方体中，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)异面直线与所成角的大小． 2.如图，在正方体中，点分别是上的中点，连接． (1)求异面直线和所成角的大小． (2)求与平面所成角的正弦值． 参考答案 1.【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】（1）根据直线与直线的位置关系，异面直线的概念即可求解. （2）先找出是异面直线与所成角，即可求解. 【详解】（1）在正方体中，， ，异面直线与所成角的大小为. （2）连接，，是异面直线与所成角. 在正方体中，， 则是等边三角形，， 异面直线与所成角为. 2.【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、棱柱的分类及其有关计算 【分析】（1）先构造异面直线的夹角，再根据正方体的性质求解. （2）根据正方体的性质找到线面角，再根据边的关系求得正弦值. 【详解】（1）连接， ∵点分别是的中点， ∴，即所求异面直线所成角为， ∵为正方体，即为正三角形， ∴，即异面直线EF和BC1所成角为； （2）连接与， ∵为正方体， ∴平面，∴所求线面角为， 设正方体棱长为，即，则，， 故． 六、经典例题解析 求空间角 【考试题型1】求异面直线所成的角 【例1】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）如图，在正方体中，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先找到异面直线与所成的角，然后构成三角形，在三角形求角即可. 【详解】连接与， ， 为异面直线与的所成角， ， 为等边三角形，即， 异面直线与的所成角为. 【例2】（2023届·山西省长子县职业技术学校高三模拟）在长方体中，，，，求直线与所成角的大小. 【答案】 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】根据长方体的性质找到直线与所成的角，求出的值即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像，在长方体中，∥ ， 所以即为直线与所成的角或其补角， 又因为，， 所以，所以， 所以直线与所成的角为. 【例3】（2023届·河北省职教高考研究联合体高三第二次联合考试）如图所示，在正方体中，E是的中点，求与所成的角的度数. 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【分析】由线面垂直证明线线垂直即可求解角度. 【详解】在正方体中，面，面， 所以， 所以与所成的角为. 【例4】（2021届·江西省修水中等专业学校高三三校生数学第一次段考）在正方体中，若M为的中点，求异面直线与AM所成角的余弦值. 【答案】. 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】根据正方体特点求出与平行的直线，即可找到异面直线所成角，由正方体边长求出各边长，再根据余弦定理求角的余弦值即可. 【详解】如图，取的中点，连结，， 因为正方体中，，所以为平行四边形， 则，故就是异面直线与所成角， 设边长为，则， ， ， ∴由余弦定理可得. ∴异面直线与所成角的余弦值为. 【例5】（2025届·四川省眉山市中等职业学校高三下学期一诊）如图，正方体的棱长为1. (1)求与所成的角； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】（1）找到与平行的直线，将异面直线所成角转换成求，根据三角形是等边三角形即可得到角的度数. （2）利用等体积法将所求三棱锥体积转换成求三棱锥的体积，再套棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）正方体中，，且， 则四边形是平行四边形，则有， 则所成的角即与所成的角， 因为正方体棱长为1，所以， 即△为等边三角形，则， 所以所成的角为. （2）因为， 且正方体中，平面， 所以. 【例5】（2025届·四川省中职教改共同体学校高三第五次教学质量检测(对口升学类)）如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）通过平行直线，先找出异面直线EF与BC所成角，再由线面垂直的性质，在直角三角形中求正切值即可； （2）通过等体积法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接， E、F分别为线段、BD的中点， ， ∴异面直线EF与BC所成的角为， 又平面平面， ， 正方体的棱长为2， ， ， ∴EF与BC所成角的正切值为； （2）在正方体中，E为线段的中点， 平面ADF，且， 点F是线段BD的中点， ， ∴三棱锥的体积， E，F分别为线段，BD的中点， ， 又， 在中满足，即为直角三角形， 则， 设点D到平面AEF的距离为d， 则，即，解得， ∴点D到平面AEF的距离为. 【考试题型2】求线面角 【例7】（2025届·河南省中等职业学校高三下学期3月联考）在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 【答案】(1)30° (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】（1）由正四棱锥可知底面对角线焦点与顶点连线垂直底面，求出线面角即可. （2）由棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接AC，BD交于点，连接PO. 因为，底面ABCD是正方形，所以， 且平面ABCD，则就是PB与平面ABCD所成的角. ，， 又， 所以，则. （2）正四棱锥的底面面积，高， 根据体积公式， 可得体积. 【例8】（2021届·浙江省高职考单招单考嘉兴市第三次模拟）已知垂直于正方形所在平面，若，，求： (1)四棱锥的表面积； (2)与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）利用线面垂直证得图中所有三角形为，从而求得表面积； （2）由面可知为所求，在中可求解. 【详解】（1）因为垂直于正方形所在平面， ，又，， 面， ， 同理 又， 故、、、都是直角三角形， 在中，求得， 同理可求 ，， 故表面积 （2） 如图所示，连接， 由（1）知，面 即为与平面所成角， ， ∴，即与平面所成角是. 【考试题型3】求二面角的平面角 【例9】（2026届·浙江省职教高考研究联合体适应性考试数学试卷）如图所示，在长方体中，已知，且点为棱AB的中点，求： (1)二面角的余弦值； (2)四棱锥的表面积. 【答案】(1). (2). 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直、棱锥表面积的有关计算 【分析】（）根据题意结合勾股定理找到二面角的平面角即可得解. （）根据棱锥的表面积公式即可得解. 【详解】（1）如图所示，连接DE， 点为棱AB的中点，， 所以， 因为平面，平面，所以，则， ， 在中，，则， 在中，，则， 平面平面，平面，平面， 为二面角的平面角， ， 二面角的余弦值为， （2）因为均为直角三角形， 平面，平面，则，所以为直角三角形， 四边形ADCE为直角梯形. ， ， ， ， ， ∴四棱锥的表面积. 【例10】（2022届·四川省联合模拟职教师资及高职班对口招生第二次模拟）如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，，侧面是等边三角形，，点在平面上的射影恰是线段的中点． (1)二面角的大小； (2)异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角 【分析】（1）设AD的中点F，连接PF，EF，即证∠PFE是二面角的平面角即可求解； （2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角即可求解． 【详解】（1）设，则， 如图，设AD的中点F，连接PF，EF， ∵ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点， ∴ ，， ∵PAD是等边三角形，F为AD的中点 ， ∴，，， ∴∠PFE是二面角的平面角， ∵点P在平面ABCD上的射影为E， ∴，， 在中，， 即，所以. ∴二面角P－AD－M的大小是． （2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角． ∵GADC是平行四边形，∴， 又，则为等边三角形， ∴， ∵底面是等腰梯形，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得： ， ∴异面直线PA与CD所成角的余弦值为. 。 七、专题归纳小结 异面直线所成的角核心解题方法：“平移法” 平移的三大技巧 方法1：利用中位线平移这是最常见的技巧。当题目中出现中点或线段比例时，优先考虑构造三角形的中位线。中位线平行于底边且长度为底边的一半，是实现平移的天然工具。 【典例1】：已知在四面体中，底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为，D为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】    （第一步：作平行线）取中点，连接，由为中点， 则，且； （第二步：证明）则（或其补角）即为直线与直线所成角. 又底面三角形是边长为的等边三角形， 则中线长； 在中，设中线长， 则，由余弦定理得, ， 所以，化简得， 解得，则有， （第三步：求角）在中，由余弦定理得, , 【误区警示】两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.同时要注意异面直线所成的角的范围是，否则很可能会误选答案A 直线与直线所成角为锐角，则余弦值为. 故选：B. 方法2：利用平行四边形平移当图形中存在平行关系时，可以通过构造平行四边形来实现平移。 【典例2】如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小 【答案】 【解析】：如图所示： 取的中点，连接，，易知， （构造平行四边形） 则为异面直线与所成的角， 又，，， 由余弦定理得； 方法3：直接平移当图形结构简单时，可以直接在空间中取一点，过该点分别作两条直线的平行线。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $