【大题专项】专题4 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角）（B卷·能力提升）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课，考纲专题练 A职教 》 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西 省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新 考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体 系，每个专题均配套对应讲义和B卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题， 内容为空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角） 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题4空间角（异面直线所成的角、线面角及 二面角) (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 1.如图，在正方体 BCD-4B,CD中，求异面直线B与BC所成的角的大小 C D A B 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,CD⊥BC,CDIIAB, AB=2BC=2CD=2PD,求异面直线PA与BC所成角的余弦值 D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 3.如图， 在正方体1BCD-A,BCD中，M=a,E,F分别是BC,DC的中点，求直线 AD,与EF的夹角 D A B 4.如图，1H是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，M 是线段4C的中点，已知M=1C=4,BC=3 A 、M (1)求圆柱的侧面积： (2)求BC与AM所成的角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是正三角形， 且侧面PAB⊥底面ABCD.求 P B (1)四棱锥P-ABCD的高和体积： (2)直线PC与底面ABCD所成角的正切值 6.如下图，在直角△MBC中，已知∠C=90,4C=BC=1PML平面ABC,且PA=5,求 (1)PC与平面ABC所成的角的正切值， (2)BP与平面ABC所成的角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 A职教 》 AC,BC 7.如图，在三棱 D-ABC中.E,F 分别为 的中点 D E d- (1)证明：EF/平面ABD 2若△48Ca4CD均为正三角形.MB=25.BD-35,求直线D与平面ABC所成角的 大小. 8.如图所示，直三棱柱ABC-AB'C的底面是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30° AB=2,且CC'=1.求： B (1)三棱柱ABC-A'B'C'的体积； (2)二面角A-BC-A'的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 A职教 》 9.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，AD L BC,垂足为D.沿AD折成直二面角 B-AD-C求： D (1)二面角B-AC-D的正切值： (2)三棱锥B-ADC的体积」 10.如图，已知ABCD是矩形，PA⊥面ABCD,PA=1,AB=2,BC=4,求： (1)二面角P-BC-A的正切值 (2)三棱锥P-BCD的体积. 1,如图所示的正三棱柱MBC-4B,G中，已知AB=4,1M=5,求： o9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 扇A职教 》 A B B ()三棱锥8-ABC 的体积： 2)二面角月-AC-B 的正弦值， 12.如图，正四棱柱ABCD-AB'C'D',AB=1,AA=2 D D A (1)求二面角A'-DC-A的平面角的正切值； (2)求四棱锥A'-BCCB的体积. 13.如图，长方体 BCD-AB,CD中，AB=BC=V5.4C与底面ABCD所成的角为45” 69 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 D A1 ()求四棱锥A-ABCD 的体积： 2求异面直线48与D所成角的余弦值 14.已知长方体 BCD-4B,CD中，M,W分别是BB和BC的中点 D C A B B (1画出直线N与平面ABCD的公共点K.(保留辅助线，无需说明理由) 2若B=2,D=1,BD与平面ABCD所成的角大小为60°，求异面直线BD与MN所成 角的大小（精确到0.01°）· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 扇A职教 》 15.如图，四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,PC=1,底面ABCD是矩形，且 AB=√2AD=V5 D A 求直线AC与平面APD所成的角的正弦值； 16.已知正三棱锥底面边长为4，D为CC上一点，若棱锥D-48C的体积为8W3,求！ B D (1)CD的长： (2)截面DAB与底面ABC所成二面角的大小· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 17.在棱长为2的正方体1BCD-A8,CD中，求 D D C ww A-BD-A (1)二面角 的正切值； (2)四棱 B-AB,CD的体积。 18.如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为A,PA⊥平面ABC,AB=AC=4, PA=2,求： B (1)二面角P-BC-A的正切值； (2)三棱锥P-ABC的体积； (3)点A到平面PBC的距离， 69 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 19.已如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱PC的中点为E,侧棱与底面所成的角为30°，棱锥 的底面边长为6 (1)求二面角E-BD-A的大小； (2)求四棱锥E-ABCD的体积. 20.已知直角梯形ABCD中，∠D为直角，AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,将三角形 ADC沿AC折起到三角形ACM(如图所示)，使平面MAC与平面ABC互相垂直，求： M(D) D B (1)三棱锥M-ABC的体积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角） 。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题4 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角） （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1. 如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小； 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】证明，由异面直线夹角的定义可知是异面直线与所成角的平面角，又为正三角形，所以可得结果为. 【详解】连接， ，如下图所示： 因为， 所以四边形是平行四边形，则， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 即是异面直线与所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则， 所以为正三角形，因此. 即异面直线与所成的角的大小为. 2. 如图，在四棱锥中，平面，，，，求异面直线与所成角的余弦值.    【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】将异面直线与转化为相交直线，再由余弦定理求解余弦值即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 则是的中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则有， 又，则是异面直线与所成的角或其补角， 因为，，则有， 设，则， ， 平面，平面，所以， ，， ,,， 故， 则异面直线与所成角的余弦值为.    3. 如图，在正方体中，，E，F分别是BC，DC的中点．求直线AD1与EF的夹角. 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接BD，B1D1，AB1，证明EF//B1D1可得直线AD1与EF所成的角，再经计算得解. 【详解】在正方体中，连接BD，B1D1，AB1，如图， 因BB1//DD1，BB1=DD1，则四边形BB1D1D是平行四边形，即有B1D1//BD， 又E，F分别是BC，DC的中点，则EF//BD//B1D1，因此，(或其补角)是直线AD1与EF的夹角， 而，则是正三角形，即， 所以直线AD1与EF的夹角是. 4. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与所成的角． 【答案】(1) (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、求异面直线所成的角、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）由题意在中，利用勾股定理可求，求得底面半径即可得解圆柱的侧面积． （2）由题意利用线面垂直的性质可知，利用线面垂直的判定可证平面，进而根据线面垂直的性质即可证明，从而得解． 【详解】（1）由题意可得，，， 所以在中，， 所以底面半径， 所以圆柱的侧面积． （2）由题意可得， 又因为是圆柱的一条母线，可得底面， 因为底面， 所以， 因为，且，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以与所成的角为． 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，且侧面底面.求： (1)四棱锥的高和体积； (2)直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1)高为， (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角、线面角的概念及辨析、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取的中点，连结，根据面面垂直的性质，可得底面，即为四棱锥的高，在中可求，再利用体积公式可直接求体积； （2）连接，由（1）可知为直线与底面所成的角，在中可求解. 【详解】（1）取的中点，连结.         因为为等边三角形，所以. 因为侧面底面，又侧面，侧面底面， 所以底面.         在正中，. 即四棱锥的高为.     所以；    （2）连结. 因为底面，所以为在底面内的射影. 故为直线与底面所成的角.     在中，. 在中，. 即直线与底面所成角的正切值为. 6. 如下图，在直角中，已知平面，且，求 (1)与平面所成的角的正切值. (2)与平面所成的角. 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角 【分析】（1）根据线面垂直的性质，找出与平面所成的角的平面角，利用直角三角形求出正切值即可； （2）根据线面垂直的性质，找出与平面所成的角的平面角，利用直角三角形求出的大小即可. 【详解】（1）∵平面， ∴是在平面上的射影， ∴是与平面所成的角， 在中，，， ∴. （2）∵平面， ∴是在平面上的射影， ∴是与平面所成的角， 在中，， ∴. 在中，， ∴，即与平面所成的角为. 7. 如图，在三棱锥中，分别为的中点．    (1)证明：//平面． (2)若均为正三角形，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，而平面．平面． 所以//平面； （2）连接， 因为均为正三角形，，分别为的中点． 所以，， 而，因为， 所以，因为平面， 所以平面，因此是直线与平面所成角， 而，所以.    8. 如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： (1)三棱柱的体积； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2). 【知识点】求二面角、柱体体积的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式即可求解. （2）先找出二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）由题意， ，. 则三棱柱的体积为： . （2）由题意， 因为，所以， 在直三棱柱中， 是矩形，所以. 因为，平面 所以平面. 因为平面， 所以. 所以为二面角的平面角. 在直角三角形中，， 得， 所以二面角的大小为. 9. 如图所示，在边长为2的正三角形中，，垂足为D.沿AD折成直二面角.求： (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用线线垂直得到线面垂直，确定二面角的平面角，再结合条件求解即可. （2）利用线面垂直确定棱锥的高，进而由体积公式求解即可. 【详解】（1）如图所示，经过点作于点M，连接BM. ∵，，∴是二面角的平面角. ∵二面角是直二面角， ∴. ∴平面. ∵，∴，∴是二面角的平面角. 在中，，，， ∵AD·DC=AC·DM，  ∴. ∴在中，， 即二面角的正切值为. （2）∵平面，∴， ∴. 10. 如图，已知是矩形，面，，，，求： (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由已知可证得平面，从而，所以是二面角的平面角，在中可求解； （2）由题可知，棱锥的高为，在矩形中可求得，再根据棱锥的体积公式可求解. 【详解】（1）因为面，面，面， 所以，； 在矩形中，，，在平面内， 所以平面； 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角. 在中，，， ； （2） 因为面， 所以三棱锥的高为， 在矩形中，， 所以. 11. 如图所示的正三棱柱中，已知，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、棱柱的分类及其有关计算、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正三棱柱的性质求出底面积再乘高即可解得 （2）将二面角转换为直角三角形内的角，利用勾股定理再求正弦值即可解得 【详解】（1）由题，底面为正三角形，且， 则取中点，连接， 则长为，故， 故三棱柱体积 （2）由（1）继续连接，由题为正三棱柱， 则面，所以 又，所以 所以，则二面角的平面角为 又知， 则由勾股定理解得， 故， 即二面角的正弦值为 12. 如图，正四棱柱，， (1)求二面角的平面角的正切值； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、二面角的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】（1）由题可得平面，则有，从而是二面角的平面角，在中可求解； （2）在正四棱柱中，可得平面，即得四棱锥的高为，据此可求解. 【详解】（1）正四棱柱中， 因为，，，都在平面内， 所以平面. 因为平面， 所以. 所以是二面角的平面角. 在中，； （2）正四棱柱中， 因为，，都在平面内， 所以平面. 所以四棱锥的体积. 13. 如图，长方体中，，与底面所成的角为    (1)求四棱锥的体积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由线面角的大小求其它量、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先求得长方体的高的值，进而求得四棱锥的体积； （2）先作出异面直线与所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决. 【详解】（1）连接，因为平面， 所以是与底面所成的角. 所以，所以， 所以.    （2）连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，    所以就是异面直线与所成的角（或其补角）， 在中，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 14. 已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 【答案】(1)作图见解析 (2)26.57° 【知识点】由线面角的大小求其它量、求异面直线所成的角、空间位置关系的画法 【分析】（1）在平面中，延长与即可得到交点；（2）由线线平行确定为所求角，再由线面垂直找到与平面所成的角，代入数值结合余弦定理计算可求出余弦值，反三角函数求出所求角. 【详解】（1） （2）连接，则，又平面，所以 所以是异面直线与所成角. 连接，平面，为与平面所成的角，故 在中，，所以， 在中，， ， 由余弦定理得. 15. 如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．    求直线AC与平面APD所成的角的正弦值； 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、求线面角、由线面角的大小求其它量 【分析】由等体积法求出点到平面的距离，则直线与平面所成的角的正弦值是，求解即可. 【详解】设点到平面的距离为， 由知， 因为平面，平面，故，又， ，平面，故平面． 又平面，所以，则， ，， 可得， 矩形ABCD中，， 所以直线与平面所成的角的正弦值是． 16. 已知正三棱锥底面边长为4，D为上一点，若棱锥D-ABC的体积为，求： (1)CD的长； (2)截面DAB与底面ABC所成二面角的大小． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算、棱锥的分类及其有关计算 【分析】（1）根据棱锥的体积与底面面积即可求解. （2）得到二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）正三棱锥底面边长为4，棱锥D-ABC的体积为 ∴，且， ∴． （2） 取AB中点O，连接DO和CO，因为， ∴， ∴为所求二面角的平面角， 在中，，， ∴， ∴， 即截面DAB与底面ABC所成二面角的大小为. 17. 在棱长为2的正方体中，求： (1)二面角的正切值； (2)四棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）找出二面角的平面角，解三角形即可； （2）根据锥体的体积公式即可解得. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， 故为所求二面角的平面角， ∵面，面，∴， 又知正方体的棱长为，则 则， 即二面角的正切值为. （2）由题，已知正方体棱长为，面，， 则面的面积为， 故四棱锥的体积为. 18. 如图所示，已知等腰直角三角形的直角顶点为，平面，，，求： (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】线面垂直证明面面平行、求二面角、求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先由线线垂直找到二面角的平面角，再由边的关系即可求解角的正切值. （2）由三棱柱的体积公式代入求解即可. （3）由体积相等转化求解点到面的距离即可. 【详解】（1）取的中点，连接，，则，且.   ∵平面，是在平面内的射影，∴， ∴为二面角的平面角， ∵在直角三角形中，， ∴二面角的正切值为.   （2）∵， ∴. （3）∵， ∴， ∵，即， ∴，即点到平面的距离为. 19. 已如图，正四棱锥P－ABCD的侧棱PC的中点为E，侧棱与底面所成的角为30°，棱锥的底面边长为6．    (1)求二面角E－BD－A的大小； (2)求四棱锥E－ABCD的体积． 【答案】(1)150° (2)． 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】 （1）根据二面角的概念作出二面角的平面角即可求解. （2）根据正方形边长计算出，再结合线面角的正切值计算出，由中点得到四棱锥的高，代棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）    连接交于O，连接，． 因为四棱锥是正四棱锥，所以是正四棱锥的高，即⊥平面， 所以是在平面上的射影，则侧棱与底面所成角为，∴． 在中，O，E分别为，的中点，∴， 所以. 又因为是正方形，所以， 平面，，且平面，， 平面 ，. 即是二面角的平面角. ∴ 二面角的平面角为， 即二面角的大小为． （2）因为平面，为中点，所以到平面的距离即， 在中，， 由可得， 则点到平面的距离 ． 所以四棱锥的体积为. 20. 已知直角梯形中，为直角，，，将三角形沿折起到三角形（如图所示），使平面与平面互相垂直，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据面面垂直性质得到锥体的高，根据直角梯形各边长求出三角形的面积，由高和底面积求得三棱锥的体积即可解得. （2）作辅助线，由面面垂直性质及勾股定理证出，再结合找到二面角的平面角即可解得. 【详解】（1）三棱锥体积 已知为直角，， 则三角形为等腰直角三角形， ， 又为直角梯形，且， 所以， 由可得， 又因为平面平面，且两平面交线为， 所以平面， . （2）取中点，连接， 则在等腰三角形中，， 由题可知平面平面，且两平面交线为， 所以平面，则， 且，， 所以， 则由可得：， 且由（1）可知， 则二面角的平面角即为， 又知三角形为等腰直角三角形， 故所求二面角大小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $