【大题专项】专题4 空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角）（A卷·基础巩固）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 一编写说明：2026版山西省（对口升学）三轮复习《鼓学考纲专题练》依据《山西、 省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考！ 1 试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系， 每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，1 【内容为空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角）。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题4空间角（异面直线所成的角、线面角及二 面角) (A卷·基础巩固) 班级 姓名 学号 成绩 1如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，至少找出三条与B,C成异面直线的棱或对角线，并 指出它们所成角的大小. D A B D B 2.已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=25,AD=2V5,AA=2,求： D' B (1)BC与A'C'所成的角是多少？ (2)AA'与BC'所成的角是多少？ 6⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 3.已知ABCD-A,B,CD,是棱长为1的正方体，求： (1)异面直线BD与AB,所成的角的大小； (2)四面体A-BC,D的体积· 4.下图的正四棱柱ABCD-A,B,CD的底面边长为√5，高为1，O为下底面的中心，求： B C A1-- B (1)异面直线AB与CD,所成角的大小； (2)正四棱锥0-ABCD的体积· 5.如图长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=1,BC=1,AA,=√5.求对角线AC与平面ABCD所 成的角 D1 A B1 D A B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·考纲专题练 醇A职教 》 6.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AB,若E为PC的 中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值. P D A 7.如图所示，圆柱的底面直径为10，母线B,B=8,矩形ABCD内接于圆柱的下底面 BC=6求 B1 D (1)圆柱的体积： (2)直线AB,与圆柱的底面所成角的大小 8.如图所示在正四棱柱ABCD-A,BC,D,中，BD=8，,BD,与侧面BC,所成的角为30°.求： 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 D A B B (1)BD,与底面ABCD所成的角； (2正四棱柱的全面积， 9如图，已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=5 a 2 BD=√2a· B (1)求二面角A-BD-C的大小； (2)求三棱锥D-ABC的体积. 10.如图，正三棱柱ABC-A,B,C,的底面边长为4，高为6，截面AC,D把正三棱柱分成两部 分，已知BD=4.求： 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 B (1)二面角D-A,C-B的大小； (2)两部分中体积大的部分的体积. 11.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=L,∠BAC=90°，且异面直线AB与BC所成的 角等于60°，设A4=a· A C B (1)求a的值； (2)求三棱锥B,-ABC的体积 12在直三棱柱ABC-ABC中，A8C-号4B=BC=1 (1)求异面直线B,C与AC所成角的大小； 2若4C与平百ABC所成角为年 ，求三棱锥A-ABC的体积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 13.三棱锥P-ABC,PA=4,BC=6 (1)该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出： (2)若PB中点为M,AC中点为N,MN=4,求异面直线PA与BC所成角的余弦值 14.已知ABCD-AB,CD,是棱长为a的正方体 (1)求直线DA,与BC所成角； (2)求直线DA与BA,所成角； (3)求直线BD,和AC所成角 15.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD,SD=1. S B (1)求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小； (2)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 16.如图，已知ABCD-A,B,C,D,是棱长为a的正方体. D C B D B (1)求异面直线AA与BC所成的角； (2)求异面直线BC与AC所成的角· 17.三棱锥P-ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2,二面角 P-AC-B成直二面角，PA=PC=4,求： B (1)PB与平面ABC所成角的大小； (2)三棱锥P-ABC的体积 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 18.在正三棱柱ABC-A,B,C中，已知它的底面边长为2. (1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积， (2)若直线AC与平面ABC所成角的大小为45°，求三棱锥C,-CA,B,的体积 19.如图，平面ABCD外一点P,PA⊥平面ABCD,ADIIBC,AB⊥BC,PA=AD=4, BC=1,AB=√5，CD=2N5. (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：DC⊥平面PAC; (3)求AD与平面PCD所成角的余弦值 20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD, PA=2,E为PD的中点，求： D E (1)二面角E-AC-D的正切值； (2)三棱锥P-ACE的体积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角）。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题4空间角（异面直线所成的角、线面角及二面角） （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 1.如图，在正方体中，至少找出三条与成异面直线的棱或对角线，并指出它们所成角的大小．    【答案】见解析 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据图形即可看出，与成异面直线的直线分别为，，，然后求出夹角即可． 【详解】与成异面直线的直线分别为，，， 由于,且为等边三角形，所以即为 与所成的角，故为， 由于,且为等边三角形，所以即为 与所成的角，故为， 由于,,故 ，故夹角为．    2. 已知长方体中，，求： (1)与所成的角是多少? (2)与所成的角是多少? 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据长方体的性质，找出异面直线所成角的平面角，再结合三角函数的概念即可求解． 【详解】（1）∵，∴'就是与所成的角， ∵长方体中，， ∴为等腰直角三角形，则， ∴与所成的角是， （2）∵．∴'就是与所成的角， ∵长方体中，， ∴， 因为， ∴，∴与所成的角是． 3. 已知是棱长为1的正方体，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)四面体的体积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】（1）根据正方体的结构特征找出就是异面直线与所成角即可求解. （2）根据棱锥的体积公式即可求解。 【详解】（1）连接，，在正方体中，. 所以就是异面直线与所成角.    在正方体中，，故为正三角形. 所以，即异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，平面. 故. 即四面体的体积为. 4. 下图的正四棱柱的底面边长为，高为1，O为下底面的中心．求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)正四棱锥的体积． 【答案】(1) (2)1 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、锥体体积的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】（1）根据棱柱的几何特征可知，得出为异面直线与所成角，再由特殊角的三角函数值求角即可. （2）根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接，已知为正四棱柱，所以， 则为异面直线与所成角， 因为底面边长为，高为1，所以， 在直角三角形中，，所以， 则异面直线与所成角为. （2）已知O为下底面的中心， 则正四棱锥的高与正四棱柱高相同， 即，底面积为， 所以， 即正四棱锥的体积为1 5. 如图长方体中，．求对角线与平面ABCD所成的角． 【答案】 【知识点】求线面角、线面角的概念及辨析 【分析】根据线面角定义和三角函数的定义易得答案. 【详解】连接， 因为长方体中， 平面， 所以是在平面的投影， 所以是对角线与平面ABCD所成的角， 因为平面， 所以， 因为， 所以在正方形中，， 所以， 因为 所以， 所以对角线与平面ABCD所成的角的角度为. 6. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，若E为的中点，求直线与平面所成角的正切值.    【答案】 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】取中点，证明平面，得到线面角，然后利用直角三角形求正切值即可. 【详解】取中点，连接， 因为分别是中点， 所以，因为平面，所以平面， 所以 又平面，， 则直线与平面所成角为， 因为底面为正方形， 则，， 又因为，则.    7. 如图所示，圆柱的底面直径为10，母线，矩形内接于圆柱的下底面，求 (1)圆柱的体积； (2)直线与圆柱的底面所成角的大小 【答案】(1) (2)45° 【知识点】求线面角、线面角的概念及辨析、柱体体积的有关计算、已知三角函数值求角 【分析】（1）根据圆柱的体积公式即可求解. （2）先找出直线与圆柱的底面所成角再结合三角函数值即可求解. 【详解】（1）由已知得圆柱的底面半径为5， 故圆柱的体积． （2）由已知得垂直于圆柱底面， 故为直线与圆柱底面所成的角， 由已知得，为矩形，则由勾股定理得， 在直角中，，故， 即直线与圆柱底面所成角的大小为． 8. 如图所示在正四棱柱中，，与侧面所成的角为30°.求： (1)与底面ABCD所成的角； (2)正四棱柱的全面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）根据直线与平面所成角求解即可. （2）结合（1）所得条件，再由棱柱的全面积公式求解即可. 【详解】（1）由图可知，平面. ∴与底面ABCD所成角为. ∵侧面. ∴与侧面所成的角为 ∴.又∵  ∴ 在中：    ∴ ∴  ∴与底面ABCD所成的角是45°. （2）由以上可知： ∴ ∴正四棱柱的全面积为. 9. 如图，已知空间四边形中，，对角线，. (1)求二面角的大小； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取的中点，连接，，即为二面角的平面角，由已知利用余弦定理即可求解； （2）把三棱锥分割成两个三棱锥和，即. 【详解】（1）取的中点，连接，， ∵， ∴，， ∴为二面角的平面角，     在中，，，， ∴； （2）， 10. 如图，正三棱柱的底面边长为4，高为6，截面把正三棱柱分成两部分，已知.求： (1)二面角的大小； (2)两部分中体积大的部分的体积. 【答案】(1)30° (2) 【知识点】求二面角、柱体体积的有关计算 【分析】（1）利用二面角的定义得到二面角的平面角，进而求解即可. （2）利用体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，取的中点O，连接，. ∵三棱柱是正三棱柱. ∴平面. ∴（三垂线定理）. ∵平面,平面. ∴为二面角的平面角 在中，∵ ∴，∴. 即二面角的大小为. （2）. 11. 在直三棱柱中，，且异面直线与所成的角等于，设．    (1)求a的值； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、由异面直线所成的角求其它量、棱柱的分类及其有关计算 【分析】（1）连接和，通过已知条件得到为等边三角形，再根据勾股定理即可求出a的值. （2）连接，可知，根据已知条件求出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积. 【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角. 即. 又，，则，所以为等边三角形. 由，，可得. 所以，即，解得. （2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 即，又的面积. 由于三棱柱为直三棱柱，即每个侧面为矩形， 所以；又，所以； 直线与直线交于点，，， 所以. 所以，所以.    12. 在直三棱柱中，，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由线面角的大小求其它量、求异面直线所成的角、柱体体积的有关计算 【分析】(1)由，知为异面直线与所成的角； (2)由平面知为与平面所成角，根据几何关系即可求出三棱柱的棱长. 【详解】（1）∵，∴为异面直线与所成的角(或其补角). 由，，得. 因此异面直线与所成角的大小为. （2）∵平面，∴为与平面所成角，即. 由，，得，于是. 因此三棱锥的体积. 13. 三棱锥，，． （1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出； （2）若中点为，中点为，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）3对；（2）. 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】（1）根据异面直线的定义可知共有3对异面直线. （2）取的中点为，连接，则异面直线与所成角为或其补角，利用余弦定理可求线线角的余弦值. 【详解】（1）6条棱锥，成异面直线，成异面直线，成异面直线， 共3对. （2）取的中点为，连接， 因为，则， 同理，. 所以异面直线与所成角为或其补角， 在，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 14. 已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体． （1）求直线DA1与BC所成角； （2）求直线D1A与BA1所成角； （3）求直线BD1和AC所成角． 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角、证明异面直线垂直 【分析】（1）由得是直线与所成角，求出即可得解； （2）由得是直线与所成角,求出即可得解； （3）证明平面后即可得，即可得解. 【详解】（1）正方体是棱长为的正方体， ∵，∴是直线与所成角， ∵，，∴， ∴直线与所成角为． （2）∵，∴是直线与所成角， ∵，∴ ， ∴直线与所成角为． （3）∵四边形是正方形，∴， ∵正方体中，平面，平面， ∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， ∴直线和所成角为． 15. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，. （1）求平面与平面所成二面角的大小； （2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求二面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角、证明异面直线垂直 【解析】（1）根据题意可证明，所以即为平面与平面所成二面角的平面角，结合线段关系即可求得的大小； （2）根据题意，可证明和，从而由线面垂直的判定定理证明平面，即可得，所以异面直线与所成角为. 【详解】（1）由题意可知底面是边长为1的正方形， 则， 又因为垂直于底面，平面， 则， 由于， 则平面， 而平面， 所以， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 由可知， 在中，； （2）由，且，为棱的中点， 所以由等腰三角形性质可知, 又因为，且， 所以平面， 而平面， 所以，而且， 所以平面， 而平面， 所以， 则异面直线与垂直，所以异面直线与的夹角为. 16. 如图，已知是棱长为a的正方体．    (1)求异面直线与BC所成的角； (2)求异面直线与AC所成的角． 【答案】(1)90°； (2)60°． 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，利用异面直线的定义求出夹角即可. 【详解】（1）在中，因为，则即为直线与BC所成的角或其补角， 因为，所以直线与BC所成的角为90°． （2）在中，连接，，， 则四边形为平行四边形，所以， 因此直线与AC所成的角就是直线与所成的角或其补角， 因为，，，即， 所以直线与所成的角为60°，即直线与AC所成的角为60°． 17. 三棱锥中，底面为直角三角形，，，二面角成直二面角，，求： (1)与平面所成角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取的中点，可得面，则为与平面所成的角，求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解． 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， ∵二面角成直二面角，即面面， 面面，面， ∴面， ∴为在平面上的射影， ∴为与平面所成的角， ∵， ，， ∴，∴． （2）∵面，，，， ∴三棱锥的体积． 18. 在正三棱柱中，已知它的底面边长为2. (1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积. (2)若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【知识点】由线面角的大小求其它量、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积； （2）先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积. 【详解】（1）正三棱柱的两个底面积之和为， 正三棱柱的侧面积为， 故正三棱柱的表面积为； 正三棱柱的体积为； （2）因为⊥平面，所以即为直线与平面所成角， 故， 所以，故， . 19. 如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】（1）通过做平行线将异面直线的角转化成求，利用勾股定理和余弦定理即可求出异面直线PC与AD所成角的大小； （2）通过证明，即可证明结论； （3）通过找出二面角，求出其正弦值，进而求出与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意， 在四棱锥中，，， 面，面， ∴， ∵，，， 作且，则即为异面直线PC与AD所成角 ，，      由几何知识得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 解得：， ∴， ， ∴直线PC与AD所成角的大小为. （2）由题意及（1）得， 在四棱锥中， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，平面， ∴平面. （3）由题意及（1）（2）得， 作，垂足为H，连接， 因为平面， 平面， ∴， ∵且平面， ∴平面， ∴为与平面所成的角， 在中，， ， ∴直线与平面所成角的余弦值为：.    20. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且平面，，E为的中点．求： (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、二面角的概念及辨析、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由题意及图形，找到二面角的平面角，并在三角形中解出即可； （2）由棱锥体积公式计算可解. 【详解】（1）取中点，又为的中点，所以， ∵平面ABCD，∴平面， 过点作，连接， 而平面，故. 因为平面，平面，所以， 又∵面，面，面 ， 所以，面， 而面，故， 所以，就是二面角的平面角，且是直角三角形. 又∵底面是边长为2的正方形，， 而，，，故. 因此. （2）设 ， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $